第八章組合變形Chapter8Combineddeformation材料力學Mechanics

ofMaterials

第八章組合變形

組合變形§8-1

組合變形和疊加原理§8-2

拉伸（壓縮）與彎曲的組合§8-3

偏心拉（壓)?截面核心§8-4

扭轉與彎曲的組合

一、組合變形的概念

構件在荷載作用下發生兩種或兩種以上的基本變形,

則構件的變形稱為組合變形。二、解決組合變形問題的基本方法－疊加法疊加原理的成立要求：內力，應力，應變，變形等與外力之間成線性關系。§8-1

組合變形和疊加原理三、工程實例(Engineeringexamples)

Fhg1、外力分析

將外力簡化并沿主慣性軸分解，將組合變形分解為基本變形,使之每個力(或力偶)對應一種基本變形3、應力分析

畫出危險截面的應力分布圖，利用疊加原理將基本變形下的應力和變形疊加,建立危險點的強度條件

四、處理組合變形的基本方法

2、內力分析

求每個外力分量對應的內力方程和內力圖，確定危險截截面。分別計算在每一種基本變形下構件的應力和變形=++=+一、受力特點桿件將發生拉伸(壓縮)與彎曲組合變形作用在桿件上的外力既有軸向拉(壓)力，還有橫向力二、變形特點§8-2

拉伸(或壓縮)與彎曲的組合FF1F2F2F1

產生彎曲變形F2

產生拉伸變形FyFxFy

產生彎曲變形Fx

產生拉伸變形示例1示例2三、內力分析xy0zMZFN橫截面上內力2、彎曲1、拉(壓)：軸力FN彎矩

MZ剪力FS因為引起的剪應力較小，故一般不考慮。

橫截面上任意一點(z,y)處的正應力計算公式為四、應力分析1、拉伸正應力

2、彎曲正應力xy0zMZFN(z,y)軸力所以跨中截面是桿的危險截面F1F2F2l/2l/23、危險截面的確定作內力圖彎矩xxFN圖M圖F2F1l/4拉伸正應力最大彎曲正應力桿危險截面下邊緣各點處上的拉應力為4、計算危險點的應力F1F2F2l/2l/2-

當材料的許用拉應力和許用壓應力不相等時，應分別建立桿件的抗拉、抗壓強度條件。五、強度條件由于危險點處的應力狀態仍為單向應力狀態，故其強度條件為例題1懸臂吊車如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。其抗彎剛度Wz

=237cm3,橫截面面積A=35.5cm2，總荷載F=34kN，橫梁材料的許用應力為[]=125MPa。校核橫梁AB的強度。FACD1.2m1.2mB30°AB桿為平面彎曲與軸向壓縮組合變形中間截面為危險截面。最大壓應力發生在該截面的上邊緣解：(1)分析AB的受力情況BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°FACD1.2m1.2m30°B(2)壓縮正應力(3)最大彎曲正應力(4)危險點的應力BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°FACD1.2m1.2m30°B例題2小型壓力機的鑄鐵框架如圖所示。已知材料的許用拉應力[t]=30MPa，許用壓應力[c]=160MPa。試按立柱的強度確定壓力機的許可壓力F。yzz0z1350FF5050150150解：(1)確定形心位置A=1510-3m2Z0=7.5cmIy

=5310cm4計算截面對中性軸y

的慣性矩yzz0z1350FF5050150150FnnFNMy(2)分析立柱橫截面上的內力和應力在n—n

截面上有軸力FN及彎矩Mynn350FFyzz0軸力FN產生的拉伸正應力為FnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150由彎矩My產生的最大彎曲正應力為5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（3）疊加在截面內側有最大拉應力[F]45.1kN5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy在截面外側有最大壓應力[F]171.3kN[F]45.1kN所以取5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy例題3正方形截面立柱的中間處開一個槽，使截面面積為原來截面面積的一半。求開槽后立柱的的最大壓應力是原來不開槽的幾倍。FFaaaa11FFa/2未開槽前立柱為軸向壓縮解：Faa開槽后1-1是危險截面危險截面為偏心壓縮將力F

向1-1形心簡化未開槽前立柱的最大壓應力開槽后立柱的最大壓應力例題4矩形截面柱如圖所示，F1的作用線與桿軸線重合，F2作用在y

軸上。已知:F1=F2=80kN，b=24cm,h=30cm。如要使柱的m—m

截面只出現壓應力，求F2的偏心距e。yzebhF1F2mm解：(1)外力分析將力F2向截面形心簡化后，梁上的外力有軸向壓力力偶矩yzebhF1mmF2mz(2)m--m

橫截面上的內力有軸力彎矩軸力產生壓應力彎矩產生的最大正應力(3)依題的要求,整個截面只有壓應力得yzebhF1mmF2mz

§8-3

偏心拉（壓）?截面核心1、定義當外力作用線與桿的軸線平行但不重合時，將引起軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲兩種基本變形。O1yzF一、偏心拉（壓）A(yF,zF)xyzFeF2、以橫截面具有兩對稱軸的等直桿承受偏心拉力F

為例

(1)將外力向截面形心簡化，使每個力(或力偶)只產生一種基本變形形式O1yzA(yF,zF)FFe軸向拉力

F力偶矩

m=Fe，將m

向y軸和z軸分解F

使桿發生拉伸變形My

使桿發生xz

平面內的彎曲變形（y為中性軸）Mz

使桿發生

xy

平面內的彎曲變形（z

為中性軸）yzO1FxMyMz

二、任意橫截面n-n上的內力分析軸力FN=FFyO1MyMznnyzMyMzFN彎矩

三、任意橫截面n-n

上C

點的應力分析yzMyMzFN(y,z)由F產生的正應力由My

產生的正應力由Mz

產生的正應力由于C

點在第一象限內,根據桿件的變形可知,由疊加原理，得C點處的正應力為

均為拉應力yzMyMzFN(y,z)式中A為橫截面面積;

Iy

,Iz

分別為橫截面對

y軸和z

軸的慣性矩;

(zF，yF

)為力F

作用點的坐標;(z，y)為所求應力點的坐標.上式是一個平面方程。表明正應力在橫截面上按線性規律變化。應力平面與橫截面的交線（直線=0）就是中性軸。四、中性軸的位置令

y0,z0代表中性軸上任一點的坐標，即得中性軸方程討論

(1)在偏心拉伸(壓縮)情況下，中性軸是一條不通過截面形心的直線Oz中性軸yyz中性軸O(2)用ay和az

記中性軸在y,z

兩軸上的截距，則有(yF

,zF

)ayaz(3)中性軸與外力作用點分別處于截面形心的相對兩側y0z中性軸外力作用點yz中性軸（4）中性軸將橫截面上的應力區域分為拉伸區和壓縮區橫截面上最大拉應力和最大壓應力分別為D1,D2兩切點D1(y1,z1)D2(y2,z2)(a)(b)(c)yyzz(5)對于周邊具有棱角的截面，其危險點必定在截面的棱角處，并可根據桿件的變形來確定NMzyzFyF/WzMyFzF/WyyzD1D2中性軸最大拉應力tmax

和最大壓應力cmin

分別在截面的棱角D1

D2

處.無需先確定中性軸的位置,直接觀察確定危險點的位置即可五、強度條件由于危險點處仍為單向應力狀態，因此，求得最大正應力后，建立的強度條件為yz六、截面核心中性軸（yF，zF）為外力作用點的坐標ay，az為中性軸在y軸和z軸上的截距(yF,zF)當中性軸與圖形相切或遠離圖形時，整個圖形上將只有拉應力或只有壓應力yz中性軸yz中性軸中性軸yz(yF,zF)(yF,zF)(yF,zF)yz截面核心1、定義當外力作用點位于包括截面形心的一個區域內時，就可以保證中性軸不穿過橫截面（整個截面上只有拉應力或壓應力，這個區域就稱為截面核心yz當外力作用在截面核心的邊界上時，與此相應的中性軸正好與截面的周邊相切。截面核心的邊界就由此關系確定。中性軸2、截面核心的確定(yF,zF)截面核心

例5求圓形截面的截面核心yzOdA1作切線為中性軸

,在兩個形心主慣性軸上的截距分別為圓截面的慣性半徑1d/8

由于圓截面對于圓心O是對稱的,因而,截面核心的邊界對于圓也應是對稱的,從而可知,截面核心邊界是一個以O為圓心,以d/8為半徑的圓2hbABCDyzO例6求矩形截面的截面核心

作切線為中性軸，得兩截距分別為1

矩形截面的1hbABCDyz01234

同理,分別作切線、、，可求得對應的核心邊界上點的坐標依次為2

矩形截面核心形狀分析3直線繞頂點B

旋轉到直線時，將得到一系列通過

B點但斜率不同的中性軸，而

B點坐標yB

,zB

是這一系列中性軸上所共有的。hbABCDyz02341

這些中性軸方程為上式可以看作是表示外力作用點坐標間關系的直線方程。故外力作用點移動的軌跡是直線。

這些中性軸方程為hbABCDyz01234

(1)對于具有棱角的截面，均可按上述方法確定截面核心

(2)對于周邊有凹進部分的截面（如T字形截面），能取與凹進部分的周邊相切的直線作為中性軸，因為這種直線穿過橫截面。

4、討論(Discussion)LaABCF研究對象圓截面桿受力特點

桿件同時承受轉矩和橫向力作用變形特點

發生扭轉和彎曲兩種基本變形§8-4

扭轉與彎曲的組合一、內力分析

設一直徑為

d

的等直圓桿AB,B端具有與AB成直角的剛臂。研究AB桿的內力。將力F

向AB

桿右端截面的形心B簡化得橫向力F

（引起平面彎曲）力偶矩m=Fa

（引起扭轉）AB

桿為彎、扭組合變形BAFmxlaABCF畫內力圖確定危險截面固定端A截面為危險截面AAFmmFlA截面

C3C4TC3C4C2C1二、應力分析危險截面上的危險點為C1

和C2

點最大扭轉切應力

發生在截面周邊上的各點處。

C2C1危險截面上的最大彎曲正應力

發生在C1

、C2處A截面

對于許用拉、壓應力相等的塑性材料制成的桿，這兩點的危險程度是相同的。可取任意點C1

來研究。C1點處于平面應力狀態,該點的單元體如圖示C1C3C4

C2C1TC3C4C2C1三、強度分析1、主應力計算

C12、相當應力計算

第三強度理論,計算相當力

第四強度理論,計算相當應力3、強度校核C11該公式適用于圖示的平面應力狀態。是危險點的正應力，是危險點的切應力。且橫截面不限于圓形截面討論C1該公式適用于彎，扭

組合變形；拉（壓）與扭轉的組合變形;以及拉（壓），扭轉與彎曲的組合變形彎、扭組合變形時，相應的相當應力表達式可改寫為對于圓形截面桿有2C1式中W為桿的抗彎截面系數。M，T分別為危險截面的彎矩和扭矩.以上兩式只適用于彎，扭組合變形下的圓截面桿。例題7空心圓桿AB和CD桿焊接成整體結構，受力如圖。AB桿的外徑D=140mm，內、外徑之比α=d/D=0.8，材料的許用應力[]=160MPa。試用第三強度理論校核AB桿的強度ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABFm解：(1)外力分析將力向AB桿的B截面形心簡化得AB桿為扭轉和平面彎曲的組合變形ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABFm+15kN·m-(2)內力分析--畫扭矩圖和彎矩圖固定端截面為危險截面20kN·m例題8傳動軸如圖所示。在A處作用一個外力偶矩

m=1kN·m，皮帶輪直徑D=300mm，皮帶輪緊邊拉力為F1，松邊拉力為F2。且F1=2F2，L=200mm，軸的許用應力[]=160MPa。試用第三強度理論設計軸的直徑zF1F2xyABl/2l/2m解：將力向軸的形心簡化軸產生扭轉和垂直縱向對稱面內的平面彎曲mmF=3F2zF1F2xyABl/2l/2m+T=1kN·m+中間截面為危險截面1kN·mmmF=3F2例題9

圖示一鋼制實心圓軸，軸上的齒輪C

上作用有鉛垂切向力5kN，徑向力1.82kN；齒輪D上作用有水平切向力10kN，徑向力3.64

kN

。齒輪

C

的節圓直徑d1=400mm,齒輪

D

的節圓直徑d2=200mm。設許用應力=100MPa

,試按第四強度理論求軸的直徑。BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN解：(1)外力的簡化將每個齒輪上的外力向該軸的截面形心簡化BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kNxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN.m1kN·m

使軸產生扭轉

5kN

，3.64kN

使軸在xz

縱對稱面內產生彎曲

1.82kN，10kN使軸在xy

縱對稱面內產生彎曲

(2)軸的變形分析