13.5.3角平分線（兩課時）

學習目標1．掌握角平分線性質定理和逆定理，并能運用這兩個定理證明線段相等和角相等．2．提高學生對角平分線性質和判定在實際生活中的應用能力．學習重難點重點：角平分線性質定理和逆定理的內容。難點：角平分線性質定理和逆定理的運用。復習線段的垂直平分線的性質定理線段的垂直平分線的判定定理它們互為？

逆定理創設情境、導入新課在一個三角形居住區內修有一個學校P，P到AB、BC、CA三邊的距離都相等,請在三角形居住區內標出學校P的位置,P在何處？ABC探究角平分線的性質

(1)實驗：將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論？(2)猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.證明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=900

在△PDO和△PEO中,

∠PDO=∠PEO（已證）∠1=∠2（已證）

OP=OP（公共邊）

∴

△PDO≌△PEO（A.A.S.）∴PD=PE（全等三角形的對應邊相等）PAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E求證:PD=PE(3)驗證猜想符號語言∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴PD=PE（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）PAOBCED12(4)角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。注意：敘述時，條件是3個，缺一不可判斷題∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴BD=DC

（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）。（×）如圖，在Rt△ABC中，你能總結一下，證明兩條線段相等，除了證它們所在的三角形全等之外，還有什么方法

思考利用角平分線的性質ABCBD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，EDE與DC相等嗎？D答：DE=DC。∵BD是∠ABC的平分線

且DE⊥BA，∴DE=DC。為什么？DC⊥BC，已知：如圖,PD⊥OA，PE⊥OB，點D、E為垂足，PD＝PE．求證：點P在∠AOB的平分線上．OCB1A2PDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，在Rt

△PDO與Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=900

PD=PE（已知）OP=OP（公共邊）∴Rt△PDO≌Rt

△PDO(H.L.)∴∠1=∠2即點P在∠AOB的平分線上角平分線上的點到角兩邊的距離相等。逆定理角的內部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上.你能證明三角形的三條角平分線交于一點嗎？ACBEDPMHK如圖，在△ABC的頂點B的外角的平分線BD與頂點C的外角的平分線CE相交于點P．求證：點Ｐ到三邊AB、BC、AC的距離相等．證明：過點P作PM⊥AB、PK⊥BC、PH⊥AC，垂足分別為M、K、H。∵BD平分∠CBMPM⊥AB、PK⊥BC∴PK＝PM同理PK＝PH∴PK＝PM＝PH即點P到三邊AB、BC、AC的距離相等若求證點P在∠BAC的平分線上，又該如何證明呢？證明：過點F作FG⊥AE于G，FH⊥AD

于H，FM⊥BC于M，GHM∵點F在∠BCE的平分線上，

FG⊥AE，FM⊥BC，∴FG=FM.又∵點F在∠CBD平分線上，FH⊥AD，FM⊥BC.∴FM=FH.∴FG=FH，∴點F在∠DAE的平分線上.

如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．課本98頁練習21．如圖，在直線l上找出一點P，使得點P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．提示：作∠AOB的平分線，交直線l于點P，點P即為所求練習1練習2：

如圖,求作一點P,使PC=PD,并且點P到∠AOB的兩邊的距離相等.C●D●ABOP利用結論，解決問題練一練

1、如圖，為了促進當地旅游發展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應在何處修建?想一想在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?拓展與延伸2、直線表示三條相互交叉的公路,現要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。P1P2P3P4l1l2l3如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E。求證：△DBE的周長等于AB。ABCDE如圖，O是三條角平分線的交點，OD⊥