山西省忻州市原平礦務局中學2021年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.三棱錐S﹣ABC及其三視圖中的正視圖和側視圖如圖所示，則棱SB的長為（）A．2 B．4 C． D．16參考答案：B【考點】簡單空間圖形的三視圖．【專題】空間位置關系與距離．【分析】由已知中的三視圖可得SC⊥平面ABC，底面△ABC為等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC邊上的高為2，進而根據勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC為等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC邊上的高為2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故選B【點評】本題考查的知識點是簡單空間圖象的三視圖，其中根據已知中的視圖分析出幾何體的形狀及棱長是解答的關鍵．2.已知是銳角，若，則A.

B.

C．

D．參考答案：D3.已知定義在R上的可導函數f(x)的導函數為，滿足，且，則不等式（e為自然對數的底數）的解集為（

）A．(－1,+∞)

B．(0,+∞)

C.

(1,+∞)

D．(－∞,0)參考答案：B4.現有一半球形原料，若通過切削將該原料加工成一正方體工件，則所得工件體積與原料體積之比的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】設球半徑為R，正方體邊長為a，由題意得當正方體體積最大時：=R2，由此能求出所得工件體積與原料體積之比的最大值．【解答】解：設球半徑為R，正方體邊長為a，由題意得當正方體體積最大時：=R2，∴R=，∴所得工件體積與原料體積之比的最大值為：==．故選：A．5.函數y＝x－x的圖像大致為__________.參考答案：A略6.復數的共軛復數是

A．

B．

C．3＋4i

D．3－4i參考答案：A略7.“”是“函數有零點”的

(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A8.根據如圖所示程序框圖，若輸入m=42，n=30，則輸出m的值為（）A．0 B．3 C．6 D．12參考答案：C【考點】程序框圖．【專題】計算題；操作型；算法和程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量m的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：第一次執行循環體后，r=12，m=30，n=12，不滿足退出循環的條件；第二次執行循環體后，r=6，m=12，n=6，不滿足退出循環的條件；第三次執行循環體后，r=0，m=6，n=0，滿足退出循環的條件；故輸出的m值為6，故選：C；【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環的次數不多，或有規律時，常采用模擬循環的方法解答．9.若方程在內有解，則的圖象是參考答案：D略10.程序框圖如圖所示，若輸入值t∈（1，3），則輸出值S的取值范圍是（）A．（3，4] B．（3，4） C．[1，9] D．（1，9）參考答案：A【考點】程序框圖．【分析】模擬執行程序框圖，可得程序框圖的功能是計算并輸出S=的值，由t的范圍，利用二次函數的圖象和性質即可得解．【解答】解：由程序框圖可知程序框圖的功能是計算并輸出S=的值，可得：當t∈（1，3）時，S=4t﹣t2=4﹣（t﹣2）2∈（3，4]．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設樣本數據x1，x2，…，x2017的方差是4，若yi=2xi﹣1（i=1，2，…，2017），則y1，y2，…y2017的方差為

．參考答案：16【考點】極差、方差與標準差．【分析】根據題意，設數據x1，x2，…，x2017的平均數為，由方差公式可得=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=4，進而對于數據yi=2xi﹣1，可以求出其平均數，進而由方差公式計算可得答案．【解答】解：根據題意，設樣本數據x1，x2，…，x2017的平均數為，又由其方差為4，則有=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=4，對于數據yi=2xi﹣1（i=1，2，…，2017），其平均數=（y1+y2+…+y2017）=[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+…+（2x2017﹣1）]=2﹣1，其方差=[（y1﹣）2+（y2﹣）2+（y3﹣）2+…+（y2017﹣）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=16，故答案為：16．【點評】本題考查數據的方差計算，關鍵是掌握方差的計算公式．12.在正項等比數列中，a3a7=4，則數列{}的前9項之和為

.參考答案：答案：913.已知點,,若，則

.參考答案：14.若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是．參考答案：3考點：循環結構．專題：壓軸題；圖表型．分析：根據所給數值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執行循環語句，一旦不滿足條件就退出循環，執行語句輸出i，從而到結論．解答：解：當輸入的值為n=12時，n不滿足判斷框中的條件，n=6，n不滿足判斷框中的條件，n=3，n滿足判斷框中的條件，n=10，i=2，n不滿足判斷框中的條件，n=5，n滿足判斷框中的條件，n=16，i=3，n不滿足判斷框中的條件，n=8，n不滿足判斷框中的條件，n=4，n不滿足判斷框中的條件，n=2，n不滿足判斷框中的條件，n=1，n滿足下面一個判斷框中的條件，退出循環，即輸出的結果為i=3，故答案為：3．點評：本題主要考查了循環結構，是當型循環，當滿足條件，執行循環，屬于基礎題．15.滿足約束條件的目標函數的最小值是

參考答案：－2.作出約束條件表示的平面區域可知，當，時，目標函數取最小值，為－2.16.如圖，是以為圓心，半徑為1的圓的內接正方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形內”，B表示事件“豆子落在扇形（陰影部分）內”，則（1）；（2）

參考答案：（1）；

（2）

17.規定記號“”表示一種運算，即．若，則函數的值域是

參考答案：(1,+∞)由a△b=ab+a+b，a，b∈R+，若1△k=3，則1?k+1+k=3，解得k=1，∴函數f（x）=k△x=1△x=1?x+1+x=2x+1，其中x∈R+，∴2x+1＞1，∴f（x）的值域是（1，+∞）．故答案為：（1，+∞）．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數（1）求函數的值域；（2）若，函數的最小值為-7，求的最大值。參考答案：(1)令a=t

則t﹥0

∴y=-t-2t+1

（t﹥0）二次函數對稱軸為：t=-1，開口向下∴y=-t-2t+1在（0，+∞）上單調遞減∴y﹤1∴函數的值域為：（﹣∞，1）.(2)因為所以當時，解得：當時，函數有最大值。19.如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分別為PD、AC上的動點，且==λ，（0＜λ＜1）．（Ⅰ）若λ=，求證：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱錐E﹣FCD體積最大值．參考答案：考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關系與距離．分析：（Ⅰ）分別取PA和AB中點M、N，連接MN、ME、NF，四邊形MEFN為平行四邊形．由此能證明EF∥平面PAB．（Ⅱ）在平面PAD內作EH⊥AD于H，則EH⊥平面ADC，EH∥PAEH=λPA=λ．，由此能求出三棱錐E﹣FCD體積最大值．解答： （Ⅰ）證明：分別取PA和AB中點M、N，連接MN、ME、NF，則NFAD，MEAD，所以NFME，∴四邊形MEFN為平行四邊形．∴EF∥MN，又EF?平面PAB，MN?平面PAB，∴EF∥平面PAB．

（Ⅱ）解：在平面PAD內作EH⊥AD于H，因為側棱PA⊥底面ABCD，所以平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，所以EH⊥平面ADC，所以EH∥PA．因為（0＜λ＜1），所以，EH=λPA=λ．==1﹣λ，，VE﹣DFC=×λ==，（0＜λ＜1），∴三棱錐E﹣FCD體積最大值．點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．20.設銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范圍．參考答案：考點：正弦定理；正弦函數的定義域和值域．專題：計算題．分析：（1）先利用正弦定理求得sinB的值，進而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用兩角和公式化簡整理，進而根據A的范圍和正弦函數的性質求得cosA+sinC的取值范圍．解答： 解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根據正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC為銳角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC為銳角三角形知，0＜A＜，，所以．由此有≤，所以，cosA+sinC的取值范圍為（，]．點評：本題主要考查了正弦定理得應用和三角函數中兩角和公式的運用．涉及了正弦函數的性質，考查了學生對三角函數知識的把握．21.已知x=1是函數的一個極值點。（）（1）求a的值；（2）任意時，證明：（1）參考答案：解：，………………2分由已知得.當a=1時，，在x=1處取得極小值，所以a=1.…………4分（2）證明：由（1）知，.當在區間[0，1]單調遞減；當在區間(1，2]單調遞增；所以在區間[0，2]上，f(x)的最小值為f(1)=-e.………………8分又,所以在區間[0，2]上，f(x)的最大值為f(2)=0.…………10分對于，有.所以.……12分

略22.本小題滿分12分)已知公差不為０的等