第四章

相似和量綱分析DimensionalAnalysisandSimilitude4-1相似原理4-2Π定理和量綱分析的應用

第四章相似原理與量綱分析以相似原理為基礎

解決流體力學問題的方法數學分析

實驗研究

模型實驗在相似原理和準則的指導下，進行流體力學模型實驗。應用量綱分析理論尋找表示流動過程的關系式。主要解決兩個問題：4-1相似原理SIMILITUDE相似條件相似：如果兩個流動系統的相應點上所有表征流動狀況的物理量都維持各自的固定比例關系，則這兩個流動系統就是相似。確定兩者之間存在相似關系的原理稱為相似原理。流體力學實驗方法之一就是進行模型試驗模型試驗葛洲壩船模試驗模型－相似理論－原型4-1相似原理SIMILITUDE一、力學相似1.幾何相似幾何相似是指原型和模型兩個流場的幾何形狀相似，兩個流動的對應的線段長度成比例，對應角相等。線性比例尺面積比例體積比例2.運動相似運動相似是兩個流場相應點的速度方向相同，大小成比例，即

速度比例尺時間比例尺加速度比例尺3.動力相似動力相似是指模型和原型流動受同種外力作用，而對應點上的對應力成比例。密度比例尺質量比例尺力的比例尺1、幾何相似、運動相似、動力相似的涵義是什么？2、為什么說動力相似是運動相似的保證？幾何相似是力學相似的前提？思考題一、力學相似基本比例尺是各自獨立的，它們確定后，一切物理量的比例尺都可以確定。幾何相似是前提，動力相似是決定運動相似的主導因素，運動相似是幾何相似和動力相似的表現。二、相似準則

兩個流動要實現動力相似，作用在相應質點上的各種作用力的比尺要滿足一定的約束關系，這種約束關系稱為相似準則。作用在流體質點上的力可以分為兩類:①是企圖維持原有運動狀態的力；②是企圖改變其運動狀態的力。兩個流動對應處作用在流體質點上的慣性力與其它各種力的比值應相等。在幾何相似的前提下，要保證流動相似，主要看動力相似。相似準則數即由重力和慣性力的關系式中為一無量綱量，稱為佛勞德數

上式表明，兩個流動的慣性力和重力成比例，則它們的佛勞德數相等，這就是佛勞德準則，或稱重力相似準則。1.佛勞德數即式中為雷諾數。

上式表明，兩個流動的慣性力和粘滯力成比例，則它們的雷諾數相等，這就是雷諾準則，或稱為粘滯力相似準則。2.雷諾數由慣性力和粘性力的關系相似準則數即式中

為一無量綱量，稱為歐拉數

上式表明，兩個流動的慣性力和流體動壓力成比例，則它們的歐拉數相等，這就是歐拉準則，或稱為壓力相似準則。3.歐拉數由總壓力和慣性力的關系相似準則數近似模型法

在有自由面的流動現象中，重力起主導作用，粘性力不起顯著作用，重力相似準則Fr數就是相似準則。采用弗勞德相似準則進行模型設計。應用在模擬船舶的運動和水利工程上。1.佛勞德模型法2.雷諾模型法

實際流體在管內流動，粘性力決定流體流動的阻力損失，形成壓降。此時重力等是次要因素，雷諾數是主要相似準則。采用雷諾相似準則進行模型設計如果是可壓縮流動還要滿足馬赫準則。應用在管內流動、液壓技術、流體機械的試驗中。

當Re數大于某一定值時流體的速度分布彼此相似與雷諾數不再有關，流體的流動進入自模化區內，慣性力起主要作用，粘性力的影響減弱。此時盡管雷諾數不同，但粘性的效果卻是一樣的，雷諾數處在自動模型區，雷諾準則失去判別相似的作用。3.歐拉模型法歐拉模型法用于自動模型區德管中流動、風洞實驗及氣體繞流等情況。4-2∏定理和量綱分析的應用量綱是各種類別物理量的標志，量綱又稱為因次。量綱和單位單位是度量各種物理量數值大小的標準。量綱力學中任何一個物理量n的量綱都可以用三個基本量綱的指數乘積形式表示，即基本量綱導出量綱無量綱量

某些物理量的量綱可以化簡為1，即量綱公式中各指數均可化簡為零，用公式表示即為稱n為無量綱量（數），也稱純數無量綱量的組成①由兩個具有相同量綱的物理量相比而得到。②由幾個有量綱的量通過乘除組合而成，組合的結果為各基本量綱的指數均為零。流體力學中無量綱量一般有三種①相似準數；②系數；③比例數常用量的量綱[]3-MLrπ定理

(Buckinghamπ-Theorem)在量綱和諧原理基礎上發展起來的量綱分析方法有兩種。瑞利法（Rayleigh），適用于比較簡單的問題。π定理或稱為布金漢（Buckingham）定理，是一種具有普遍性的方法π定理

量綱和諧原理

是指凡正確反映客觀規律的物理方程，其各項的量綱都必須是一致的例如：

有量綱

長度量綱無量綱用途：①確定方程式中系數的量綱，以及分析經驗公式的結構是否合理；②確定方程式中物理量的指數，找到物理量之間的函數關系。

π定理

(Buckinghamπ-Theorem)①π定理的基本內容是：若某一物理過程包含有n個物理量，可表示為如下函數關系其中有m個基本物理量，則該物理過程可由n個物理量所構成的（n-m）個無量綱組合量所表達的關系式來描述，即式中個無量綱數，因為這些無量綱數用π表示，所以此定理就稱為π定理。π定理

(Buckinghamπ-Theorem)②π定理的解題步驟是:a.找出對物理過程有影響的n個物理量，寫成關系式b.從n個物理量中選取m個相互獨立的基本物理量。對于不可壓縮流體運動，一般取m=3。設n1、n2、n3為所選的基本物理量。

π定理

c.基本物理量依次與其余量組合成（n-m）個無量綱π項式中xi、yi、zi為各π項的待定系數。d.根據量綱和諧原理，求出各π項指數xi、yi、z