山西省忻州市原平崞陽鎮聯合校2021年高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知某三棱錐的三視圖如圖所示，圖中的3個直角三角形的直角邊長度已經標出，則在該三棱錐中，最短的棱和最長的棱所在直線的成角余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖還原原幾何體，補形找出異面直線所成角，求解三角形得答案．【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖：幾何體是三棱錐A﹣BCD，滿足面ACD⊥面BCD，且AD⊥CD，BC⊥CD．最短棱為CD，最長棱為AB．在平面BCD內，過B作BE∥CD，且BE=CD，∴四邊形BEDC為正方形，可得AE=2，在Rt△AEB中，求得AB=，∴cos∠ABE=．即最短的棱和最長的棱所在直線的成角余弦值為．故選：A．2.要得到函數f（x）＝2sinx的圖像，只需把函數y＝sinx－cosx的圖像

（

）A．向左平移的單位

B．向右平移個單位C．向左平移的單位

D．向右平移個單位參考答案：C3.在三棱錐P﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，PA=PC=2，AC中點為M，cos∠PMB=，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A． B．2π C．6π D．π參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【分析】利用條件，判斷AB，PB，BC互相垂直，可得三棱錐的外接球的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積．【解答】解：由題意，AC=2，BM=1，PM=，∵cos∠PMB=，∴PB=，∴AB，PB，BC互相垂直，∴三棱錐的外接球的直徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為=6π，故選C．4.函數f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在點（1，f（1）處的切線斜率為1，則的最小值是（）A．10 B．9 C．18 D．10參考答案：C【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求出原函數的導函數，可得f′（1）=2a+b=1，再用“1”的代換，展開后利用基本不等式，即可求最小值．【解答】解：由f（x）=ax2+bx，得f′（x）=2ax+b，又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在點（1，f（1））處的切線斜率為1，所以f′（1）=2a+b=1，即．則=?（2a+b）=10++≥10+2=18．當且僅當時，“=”成立．所以的最小值是18．故選：C．5.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=AB，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，則BM與AN所成角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】異面直線及其所成的角．【分析】如圖所示，取AC的中點D，A1C1的中點D1，建立空間直角坐標系．利用=，即可得出．【解答】解：如圖所示，取AC的中點D，A1C1的中點D1，建立空間直角坐標系．不妨設AC=2．則A（0，﹣1，0），M（0，0，2），B（﹣，0，0），N．=（0，1，2），=．∴===．故選：C．6.設隨機變量ξ服從正態分布N（3，σ），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），則c=（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】隨機變量ξ服從正態分布N（3，σ），得到曲線關于x=3對稱，根據P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），結合曲線的對稱性得到點c+1與點c﹣1關于點3對稱的，從而做出常數c的值得到結果．【解答】解：隨機變量ξ服從正態分布N（3，σ），∴曲線關于x=3對稱，∵P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），∴c+1+c﹣1=6，∴c=3，故選：C．【點評】本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查概率的性質，是一個基礎題．7.公差不為0的等差數列中，，數列是等比數列，且，則

（

）

2

4

8

16參考答案：D8.已知點C在∠AOB外且設實數滿足則等于（）A．2 B． C．-2 D．-:Z§參考答案：A略9.已知點關于直線的對稱點為,則圓關于直線對稱的圓的方程為

A.

B.C.

D.參考答案：A10.下列說法中錯誤的個數是（）①一個命題的逆命題為真，它的否命題也一定為真；②命題“?x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x≥0”；③“矩形的兩條對角線相等”的逆命題是真命題；④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分條件．

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知甲射手射中目標的頻率為，乙射手射中目標的頻率為，如果甲乙兩射手的射擊相互獨立,那么甲乙兩射手同時瞄準一個目標射擊，目標被射中的頻率為

.參考答案：12.擲兩顆均勻的骰子，得到其向上的點數分別為m和n，則復數(m＋ni)(n－mi)(i為虛數單位)為實數的概率為

.參考答案：【測量目標】數學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數學中有關數據整理與概率統計的基本知識.【知識內容】數據整理與概率統計/概率與統計初步/等可能事件的概率；數與運算/復數初步/復數的四則運算.【試題分析】復數為實數，則，擲兩顆骰子，其向上的點數的組合有36種，其中相等的組合有6種，故事件“復數為實數”的概率為.13.電腦系統中有個“掃雷”游戲，要求游戲者標出所有的雷，游戲規則是:一個方塊下面有一個雷或沒有雷，如果無雷，掀開方塊下面就會標有數字（如果數字是0，常省略不標），此數字表明它周圍的方塊中雷的個數（至多八個），如圖甲中的“3”表示它的周圍八個方塊中有且僅有3個雷.圖乙是張三玩的游戲中的局部，根據圖乙中信息，上方第一行左起七個方塊中（方塊上標有字母），能夠確定下面一定沒有雷的方塊有

，下面一定有雷的方塊有

.（請填入所有選定方塊上的字母）圖甲

圖乙參考答案：BDEF(3分)；AC（2分）略14.已知cos（﹣φ）=，且|φ|，則tanφ=

．參考答案：【考點】同角三角函數基本關系的運用．【專題】三角函數的求值．【分析】直接利用誘導公式化簡，求出角的大小，然后求解所求函數值．【解答】解：cos（﹣φ）=，可得sinφ=，∵|φ|，∴0＜φ，φ=．tan=．故答案為：．【點評】本題考查三角函數的值的求法，誘導公式的應用，考查計算能力．15.計算=

．參考答案：110【考點】方根與根式及根式的化簡運算．【分析】利用冪的性質和運算以及根式與冪的互化解決．【解答】解：原式=+==11016.在中，，面積為,則=________.參考答案：略17.等比數列中，，，則（

）A．－4

B．4

C．±4

D．－5參考答案：A三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)

已知函數f(x)=ex，g(x)=lnx，h(x)=kx+b.

(1)當b=0時，若對x∈（0，+∞）均有f(x)≥h(x)≥g(x)成立，求實數k的取值范圍；

(2)設h(x)的圖象為函數f(x)和g(x)圖象的公共切線，切點分別為(x1,f(x1))和(x2,g(x2))，其中x1>0.

①求證：x1>1>x2；②若當x≥x1時，關于x的不等式ax2－x+xe+1≤0恒成立，求實數a的取值范圍.參考答案：解：(1)依題意對x∈（0，+∞）均有ex≥kx≥lnx成立

即對任意x∈（0，+∞）均有≥k≥成立…………………(1分)

∴()min≥k≥

因為()=

故在（0，1）上減，（1，+∞）增

∴（）min=e

又

故在（0，e）上減，（e，+∞）增

∴

即k的取值范圍是[，e]

(2)由題知：h(x)即為y－e=e(x－x1)即y=e·x+e－x1e

也為y=lnx2=即y=+lnx2－1

∴………………(6分)

又x1=0

∴e>1

即>1x1>1

即x1>1>x2………………(8分)

(3)令F(x)=ax2－x+xe+1(x≥x1)

∴F′(x)=－1－xe+e=－1+e(1－x)(x≥x1)

又x≥x1>1

F′(x)=－1－xe+e=－1+e(1－x)<0

即F(x)=ax2－x+xe+1(x≥x1)單減

所以只要F(x)≤F(x1)=ax2－x1+1xe+1≤0

即a+x1－x1e+e≤0………………(12分)

由

∴

即

故只要≤0得：a≤1綜上，實數a的取值范圍是（－∞，1]……………(14分)19.旅行社為某旅行團包飛機去旅游，其中旅行社的包機費為15000元.旅行團中的每個人的飛機票按以下方式與旅行社結算：若旅行團的人數不超過35人時，飛機票每張收費800元；若旅行團的人數多于35人時，則予以優惠，每多1人，每個人的機票費減少10元，但旅行團的人數最多不超過60人.設旅行團的人數為人，飛機票價格為元，旅行社的利潤為元.(1)寫出飛機票價格元與旅行團人數之間的函數關系式；(2)當旅行團人數為多少時，旅行社可獲得最大利潤？求出最大利潤.參考答案：(1)依題意得，……5分(2)設利潤為……12分20.(本題13分)已知橢圓C的對稱中心為坐標原點O，焦點在軸上，左右焦點分別為，且=2,點在該橢圓上．（1）求橢圓C的方程；

(2)設橢圓C上的一點在第一象限，且滿足,圓的方程為．求點坐標，并判斷直線與圓的位置關系；（3）設點為橢圓的左頂點，是否存在不同于點的定點,對于圓上任意一點,都有為常數，若存在，求所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由．參考答案：解：（1）設橢圓的方程為，由題意可得：橢圓C兩焦點坐標分別為，

由點在該橢圓上，.又得，

故橢圓的方程為.

（2）設點P的坐標為,則-------------①由得，∴，即-------②由①②聯立結合解得：，即點P的坐標為∴直線的方程為∵圓的圓心O到直線的距離∴直線與相切

(3)設點M的坐標為，則假設存在點，對于上任意一點,都有為常數，則,

∴(常數)恒成立可得∴∴或（不合舍去）∴存在滿足條件的點B，它的坐標為.21.已知數列{}的前n項和Sn滿足（p為大于0的常數），且a1是6a3與a2的等差中項。（I）求數列{an}的通項公式； （II）若an·bn=2n+1，求數列{bn}的前n項和Tn.參考答案：

解：（I）當n=1時，，得．當n≥2時，，，兩式相減得an=pan﹣1，即．故{an}是首項為，公比為p的等比數列，∴．由題意可得：2a1=6a3+a2，，化為6p2+p﹣2=0．解得p=或（舍去）．∴=．---------------