B3.1.2微分形式的連續性方程(2- B3.1.2B3.1.2微分形式的連續性方程(2- B3.1.2微分形式的連續性方邊長為dx,dy,dz的長方體控制體元δt內x方向凈流 dxdydzδt單位時間單位體積x，y，z方向凈流出質量因密度變化引起的質量減,,由質量守恒定ρuρvρwdxdydzδt0，即在一點上仍成立B3.1.2微分形式的連續性方程(2- ρρuρvρwρ(ρv) 用場量公式并運用質點導數概念，微分形式連續性方程Dρρv或改v1ρ不可壓縮流體連續性方B3.1.1流體運動的連續性原理(2- B3.1微分形式的質量守恒方..流體運動的連續性原質量守恒在易變形的流體中的體現——流動連續性古代，漏壺、水流計17世紀哈維：血液循環理解剖發現：從心臟到動脈末端血液單定量測量：每小時流出心臟血液河水流速與河橫截面積成反16世紀，達河水流速與河橫截面積成反16世紀，達·芬17世紀，哈維發血液循環理45年后發血液循環理18世紀，達朗貝爾推導不可壓縮流體微分形式連續性方血液18世紀，達朗貝爾推導不可壓縮流體微分形式連續性方[例B3.1.2]不可壓縮流動連續性方程求：

u

x2y

（C為常數解：由不可壓縮流連vuv

vu

B3.2.1體積力和表面力(2- B3.2作用在流體元上的..體積B3.2.1體積力和表面力(2- B3.2作用在流體元上的..體積力和表面1.體積單位質量流體上的體積f(,,,)limδδτ0ρδ單位體積流體上的體積ρflimδδτδB3.2.1體積力和表面力(2- 2.表面表面力定義：作用在單位平面面積元上的短程p(x,y,z,t)limδnδA0δδn——面積元外法線單位－n——pnp-B3.2.2重力 B3.2.2重力在直角坐標系的重力場x y zfgkπ稱為重力勢，代表單位質量流體具有的重力勢fπxfπyfzv2cxydyf(x) f(x)(x2y2 x2=當f(x)=U，表示點渦流疊加y方向速度為UB3.2.3應力場(4-B3.2.3應力場(4- 作用在外法矢沿x軸向的面積元dAx上三個應力分量如作用在任n(nxnynz)面元上的p τPnnP=n,n,τ zττp表面pnpnτn xx yy zzpnτnpn xx yy zzpnτnτn xx yy zz1.運動粘性流體中的應力與作用力的大小、方向、應力矩用過量唯一確pPxττzτpzzpxy,pyy,zx,τxyττxzτzxτyzτzyB3.2.3應力場(4- 3.應力的常用表達運動粘性流體中的(平均)壓p1 在法向應力中把壓強分離pxxppyypσ pσ,σ z為附加法向應力分量（與流體線應變率有關 0應力矩陣表示P zyτxzτ0σz壓強矩偏應力B3.2.3應力B3.2.3應力場(4- 2.靜止流體中的應力狀無切應無切應靜止流體的應力狀只有pxxpyypzzpnnP 0 0結論：靜止流體中一點的應力狀態 0u求：

v

（k為常數解： σx2μu2μ

σy2μvpxxpσx σ

τxyτyxμ(uv)μ 已知：二維不可壓縮平面流場uv（k為常數求：試分析該流場中的應力狀解：附加法向應σx2μxσy2μv流體中任一點的法向應力pxxpσxppyypσy切向應力τxyτyxμ(uv)μ(kk) 討論（1）線應變率處處為零，附加法向應力為零，全流的法向應力均等于平衡壓B3.3微分形式的動量方程(2- 按牛頓第二定律，長方體流體元的運動方程dFdFsdmdbd各面元上x方向表面力的分量如圖示，表力合力dFsx由應力梯造dFsx(pxxdx)dydz(τyxdy)dxdz(τzxdz)dxd討論：附加法向應力與該方向的線應變率有關，平面線性剪切流中任點處在x、y均為零，x,yB3.3微分形式的動量方程(2-xx方向的體積力分量 dFx將dFsx和dFbx代入運動方程，并利用dmρdxdydz和質點導數

ρfx

同理可

τyxpyy

ρfyx

τzy

ρfzzx

zzρ(wuwvwwB3.4納維－斯托克斯方程(4- B3.4納維－斯托克斯方 斯托B3.4納維－斯托克斯方程(4- B3.4納維－斯托克斯方 斯托克斯假設：1.將牛頓粘性定律從一維推廣靜止時法向應力等于靜壓對牛頓流體（μ＝常數pp2μu2μxττ u xypp2μv2μyττ wpp2μw2μv ττ z不可壓縮條件（ρ＝常數vuvx 均代入粘性流體運動一般微分方B3.4納維－斯托克斯方程(4- 可得均質不可壓縮牛頓流體的納維-斯托克斯方程(N－S方程 ρf uup zx uuu22 v v v ρf pz vvvy 222x 2 w www222 ρf zz 2N－S常數常上式稱為粘性流體運動一般微分方程，適用于任何流B3.4納維－斯托克斯方程(4-N－SDvfpN－S加上連續性方程v0四個方程求解四個未知u、v、w、p，方程組是在邊界條件較簡單時可求解析解;在邊界雜時可求對不同的流動專題可作不同程度的簡化（見專題篇）(v((v(v)v[例B3.5.1A]沿斜坡的重力粘性層流(3-求：(1)速度分 (2)壓強分(3)切應力分布(4)解在圖示坐標系中連續性方程uv (uuuvu) fxp(2u2u (tuxvy) fyy x2y2＝體積力力粘性＝—＋歐拉方(v(v)v＝ —0相對a＝ 0＝—B3.5邊界條件與初始條件(2- 粘性流體：不滑移條件(圖vv無粘性流體：法向速度連續(圖vn=vn(2)v=v∞，p=N－S方慣性N－S方慣性平衡方平衡方B3.5邊界條件與初始條件(2- (3)條v=v(3)條v=vin(4)p=pinpτs定常流時無初始條不定常流時給出某時刻的v(t0),p(t0),ρ(t0) B3.6壓強 B3.6壓強由N－S方粘性流由邊界條件(2):y=0,u=0可得C2由邊界條件(3):y=b,h(ddygsinhCCghsi11ugsin(2hyy2Qudyh(hyy) 1h3h30uufy=ρgcosθpgcos由邊界條件(1y=h,p=0,C(x)=ρghcosθp g(hy)且p0，由(b0gsind2u gugsi 1Cy (v(vB3.6.1靜止重力流體中的壓強分布(3- B3.6.1靜止重力流體中的壓強分1.壓強分布一般表達均質靜止流 ρ=常數在重力場fxfy f由N-Spp上式說明：z方向壓強梯度由單位體積流體的重力p積分可 無粘性流

＝

(v(v相對平相對平

＋絕對平pppp00在垂直方向壓強與淹深成線性在水平方向壓強保持常p為自由面上的壓強，h為淹B3.6.2壓強計算方法與單位(2- B3.6.2壓強1.壓強計示方式pp0p0提供壓強完全真絕對壓強基表壓強習慣pB3.6.13-3.等壓在連3.等壓在連通的同種流體中的等壓強面稱為等壓面在靜止重力流體中的等壓面為水hh＝2－2不同液1－1非壓[例B3.6.1][例B3.6.1]大氣壓強真空度U 1[例B3.6.2]單管測U 1[例B3.6.2]單管測壓計 求：pA與測壓管高度h的關系解pA(表壓強)ghh為被測點的淹深，稱為測壓管高度pAg壓強勢重力勢討論：pAh[例B3.6.2]U形管測壓計已知：U形管水銀測壓計中h120cm,Δh=10cm求：pAPa解：沿pAρgh1ρmghpρghA115303.61.013105[例B3.6.2A]U形管差zAzBU形管水銀測壓計中液面差Δh ΔppApB(Pa,表壓強絕對壓強解沿pAρg(zAh)pBρgzBpp- ρg(zz)(ρ- 國際單位制（SI）：帕斯卡1Pa=1N1Pa=1N測壓管高 h=pA米水柱mH2O（水頭高）毫米柱mmHg（血壓計標準大氣壓atm(標準國際大氣模型1a