山西省忻州市五寨縣杏嶺子鄉聯校2021年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.圓ρ=（cosθ+sinθ）的圓心的極坐標是（）A．（1，） B．（，） C．（，） D．（2，）參考答案：C【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程．【分析】先在極坐標方程ρ=（cosθ+sinθ）的兩邊同乘以ρ，再利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換化成直角坐標方程求解即得．【解答】解：將方程ρ=（cosθ+sinθ）兩邊都乘以ρ得：ρ2=pcosθ+ρsinθ，化成直角坐標方程為x2+y2﹣x﹣y=0．圓心的坐標為（，）．化成極坐標為（1，）．故選C．2.在ΔABC中，a=2，b=3，c=4，則ΔABC的面積是

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A3.某人從2008年起，每年1月1日到銀行新存入元(一年定期)，若年利率為保持不變，且每年到期存款自動轉為新的一年定期，到2012年1月1日將所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數為（

）(單位為元)A.

B.

C.

D.參考答案：B4.在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數如下：

90

89

90

95

93

94

93去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均值和方差分別為（

）

A.92,2

B.92,2.8C.93,2

D.93,2.8參考答案：B5.已知隨機變量η＝8--ξ，若ξ～B(10,0.6)，則Eη，Dη分別是()

A．6和2.4

B．2和5.6

C．6和5.6

D．2和2.4參考答案：D6.命題“x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是（

）A．x∈Z，使x2＋2x＋m>0

B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．x∈Z，使x2＋2x＋m≤0

D．x∈Z，使x2＋2x＋m>0參考答案：D7.為了解一片速生林的生長情況,隨機測量了其中100株樹木的底部周長(單位:cm).根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖(如右),那么在這100株樹木中,底部周長小于110cm的株數是（）A．30

B．60

C．70

D．80參考答案：C8.在△ABC中，AC＝6，BC＝7，＝，是△ABC的內心，若，其中,動點的軌跡所覆蓋的面積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.設,集合是奇數集,集合是偶數集．若命題,則

（） A． B． C． D．參考答案：A10.拋物線y2=4px（p＞0）上一點M到焦點的距離為，則M到y軸距離為(

)A.a-p

B.a+p

C.a－

D.a+2p

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓（x﹣1）2+（y+1）2=16的一條直徑恰好經過直線x﹣2y+3=0被圓所截弦的中點，則該直徑所在直線的方程為

．參考答案：2x+y﹣1=0【考點】直線與圓的位置關系．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】由題意求出圓心坐標（1，﹣1），再由弦的中點與圓心的連線與弦所在的直線垂直求出斜率，進而求出該直徑所在的直線方程【解答】解：由題意知，已知圓的圓心坐標（1，﹣1）∵弦的中點與圓心的連線與弦所在的直線垂直得，且方程x﹣2y+3=0∴該直徑所在的直線的斜率為：﹣2，∴該直線方程y+1=﹣2（x﹣1）；即2x+y﹣1=0，故答案為：2x+y﹣1=0．【點評】本題考查了過弦中點的直徑和弦所在的直線的位置關系，直線垂直和直線的斜率關系，進而求直線方程，屬于中檔題．12.已知函數在區間（-1,1）上恰有一個極值點，則實數的取值范圍是

____

．參考答案：略13.已知實數x∈[1，9]，執行如圖所示的流程圖，則輸出的x不小于55的概率為．參考答案：【考點】循環結構．【專題】圖表型．【分析】由程序框圖的流程，寫出前三項循環得到的結果，得到輸出的值與輸入的值的關系，令輸出值大于等于55得到輸入值的范圍，利用幾何概型的概率公式求出輸出的x不小于55的概率．【解答】解：設實數x∈[1，9]，經過第一次循環得到x=2x+1，n=2經過第二循環得到x=2（2x+1）+1，n=3經過第三次循環得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此時輸出x輸出的值為8x+7令8x+7≥55，得x≥6由幾何概型得到輸出的x不小于55的概率為==．故答案為：．【點評】解決程序框圖中的循環結構時，一般采用先根據框圖的流程寫出前幾次循環的結果，根據結果找規律．14.命題“若x＞1，則x＞2”的逆命題為

．參考答案：若x＞2，則x＞1

【考點】四種命題．【分析】根據已知中的原命題，結合逆命題的定義，可得答案．【解答】解：命題“若x＞1，則x＞2”的逆命題為命題“若x＞2，則x＞1”，故答案為：若x＞2，則x＞1【點評】本題考查的知識點是四種命題，難度不大，屬于基礎題．15.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M、N分別在線段AB1、BC1上運動（不包括線段端點），且.以下結論：①；②若點M、N分別為線段AB1、BC1的中點，則由線MN與AB1確定的平面在正方體ABCD-A1B1C1D1上的截面為等邊三角形；③四面體MBCN的體積的最大值為；④直線D1M與直線A1N的夾角為定值.其中正確的結論為______.（填序號）參考答案：①②③【分析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F，可得四邊形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得結論成立；②截面為△AB1C，為等邊三角形，故正確．③設，則＝dM﹣BCN=，故③成立；④設，當接近于0時，直線與直線的夾角接近于，當接近于1時，夾角接近于，故④不正確；【詳解】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F，∵AM＝BN，∴NE＝MF，∴四邊形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF?面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正確；②點M、N分別為線段AB1、BC1的中點，則由線MN與AB1確定的平面在正方體ABCD﹣A1B1C1D1上的截面為△AB1C，為等邊三角形，故②正確．③設，則＝dM﹣BCN，又AM=BN=,∴=，dM﹣BCN=，∴＝dM﹣BCN=，當且僅當時取得最大值，故③成立；④設，當接近于0時，直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角，接近于，當接近于1時，直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角，接近于，故④不正確；綜上可知，正確的結論為①②③故答案為：①②③【點睛】本題考查線面平行、垂直，考查點到面的距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．16.橢圓的長軸長為；參考答案：617.已知點P（m，n）是直線2x+y+5=0上的任意一點，則的最小值為

．參考答案：【考點】7F：基本不等式．【分析】變形利用二次函數的單調性即可得出．【解答】解：∵點P（m，n）是直線2x+y+5=0上的任意一點，∴2m+n+5=0．則==≥，當且僅當m=2時取等號．∴的最小值為．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）設g（x）是f（x）的導函數，討論g（x）的單調性；（Ⅱ）證明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區間（1，+∞）內恒成立，且f（x）=0在區間（1，+∞）內有唯一解．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．【專題】創新題型；導數的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求出函數f（x）的定義域，把函數f（x）求導得到g（x）再對g（x）求導，得到其導函數的零點，然后根據導函數在各區間段內的符號得到函數g（x）的單調期間；（Ⅱ）由f（x）的導函數等于0把a用含有x的代數式表示，然后構造函數φ（x）=x2，由函數零點存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用導數求得a0∈（0，1），然后進一步利用導數說明當a=a0時，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區間（1，+∞）內恒成立，且f（x）=0在區間（1，+∞）內有唯一解．【解答】解：（Ⅰ）由已知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），g（x）=，∴．當0＜a＜時，g（x）在上單調遞增，在區間上單調遞減；當a時，g（x）在（0，+∞）上單調遞增．（Ⅱ）由=0，解得，令φ（x）=x2，則φ（1）=1＞0，φ（e）=．故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由知，函數u（x）在（1，+∞）上單調遞增．∴．即a0∈（0，1），當a=a0時，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上單調遞增，故當x∈（1，x0）時，f′（x）＜0，從而f（x）＞f（x0）=0；當x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，從而f（x）＞f（x0）=0．∴當x∈（1，+∞）時，f（x）≥0．綜上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區間（1，+∞）內恒成立，且f（x）=0在區間（1，+∞）內有唯一解．【點評】本題主要考查導數的運算、導數在研究函數中的應用、函數零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創新知識，考查了函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化等數學思想方法，是壓軸題．19.（本題6分）已知，且。求的值。參考答案：由，得，所以，

2分此時

3分由題意可知，,

4分所以。

6分20.已知函數f（x）=cos2x+sinxcosx﹣．（1）若x∈[0，]，求f（x）的最大值及取得最大值時相應的x的值；（2）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若f（）=1，b=l，c=4，求a的值．參考答案：【考點】GT：二倍角的余弦；GQ：兩角和與差的正弦函數；GS：二倍角的正弦；H4：正弦函數的定義域和值域；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及輔助角公式對函數化簡可得f（x）=，結合，可求sin（2x+）的范圍，進而可求函數的最大值及取得最大值的x（Ⅱ）由，及0＜A＜π，可求A，結合b=1，c=4，利用余弦定理可求a【解答】解：（Ⅰ）==．

…（4分）∵，∴，∴，即．∴f（x）max=1，此時，∴．

…（8分）（Ⅱ）∵，在△ABC中，∵0＜A＜π，，∴，．

…（10分）又b=1，c=4，由余弦定理得a2=16+1﹣2×4×1×cos60°=13故．

…（12分）【點評】本題主要考查了三角函數中二倍角公式、輔助角公式在三角函數化簡中的應用，正弦函數的性質的應用，及余弦定理解三角形的應用．21.如圖，平面平面，四邊形為矩形，．點為的中點，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若二面角的余弦值為時，求的值．

參考答案：

略22.已知：等差數列{an}中，a4=14，前10項和S10=185．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）將{an}中的第2項，第4項，…，第2n項按原來的順序排成