山西省忻州市關縣陳家營中學2023年高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合A={x|﹣1＜x＜5}，B={x|x2≥4}，則?R（A∪B）=（）A．（﹣2，﹣1） B．（2，5） C．（﹣2，﹣1] D．（﹣∞，2）∪[5，+∞）參考答案：C【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】化簡集合B，根據并集和補集的定義寫出運算結果即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜5}，B={x|x2≥4}={x|x≤﹣2或x≥2}，則A∪B={x|x≤﹣2或x＞﹣1}，所以?R（A∪B）={x|﹣2＜x≤﹣1}=（﹣2，﹣1]．故選：C．2.

給出平面區域（圖中陰影部分）作為可行域．其中A（5，3），B（2，1），C（1，5）。若目標函數（>0）取得最大值的最優解有無窮多個．則的值為

（

）

A．4

B．2C．

D．

參考答案：答案:C解析:由題：。3.已知向量，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B當共線時，，，此時方向相同夾角為，所以要使與的夾角為銳角，則有且不共線。由得，且，即實數的取值范圍是，選B.4.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，則（?UA）∪B為（）A．{1} B．{1，5} C．{1，4} D．{1，4，5}參考答案：D【考點】交、并、補集的混合運算．【專題】集合．【分析】由全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}先求出CUA={1，5}，再由B={1，4}，能求出（CUA）∪B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，∴CUA={1，5}，∵B={1，4}，∴（CUA）∪B={1，4，5}．故選：D．【點評】本題考查集合的交、交、補集的混合運算，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．5.已知則

A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.下列說法正確的是A.命題“若x2=1,則x=1”的否命題是“若x2=1,則x≠1”B.命題“x∈R,x2﹣x＞0”的否定是“x∈R,x2﹣x＜0”C.命題“若函數f（x）=x2﹣ax+1有零點，則a≥2或a≤-2”的逆否命題為真命題D.“x=-1”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分條件參考答案：【知識點】命題的真假判斷與應用.L4

【答案解析】C解析：對于A．命題“若x2=1，則x=1”的否命題是“若x2≠1，則x≠1”，故A錯；對于B．命題“x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“x∈R，x2﹣x≤0”，故B錯；對于C．命題“若函數f（x）=x2﹣ax+1有零點，則a≥2或a≤﹣2”即有△=a2﹣4≥0，則a≥2或a≤﹣2，故原命題為真，由于互為逆否命題為等價命題，故其逆否命題為真命題，故C對；對于D．“x=﹣1”可推出“x2﹣x﹣2=0”，反之不能推出，故為充分不必要條件，故D錯．故選C．【思路點撥】由命題的否命題是既對條件否定，又對結論否定，即可判斷A；由命題的否定是對結論否定，即可判斷B；先判斷原命題的真假，再由互為逆否命題為等價命題，即可判斷C；由充分必要條件的定義，即可判斷D.7.下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的函數為（）A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.設圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A．

B．C．

D．參考答案：D9.已知實數x，y滿足，如果目標函數的最小值為－1，則實數m等于A．7 B．5 C．4 D．3參考答案：B選項代入不等式組中，驗證當時成立.10.已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若兩個不等的實數x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，則f（x）的最小正周期是(

) A．3π B．2π C．π D．參考答案：A考點：正弦函數的圖象；三角函數的周期性及其求法．專題：三角函數的圖像與性質．分析：由題意可得?=π，求得ω的值，可得f（x）的最小正周期是的值．解答： 解：由題意可得sin（wx+θ）=的解為兩個不等的實數x1，x2，且?=π，求得ω=，故f（x）的最小正周期是=3π，故選：A．點評：本題主要考查正弦函數的圖象特征，正弦函數的周期性，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平行四邊形ABCD中，，，，且，則平行四邊形ABCD的面積的最大值為

．參考答案：12.點在不等式組表示的平面區域內，若點到直線的最大距離為，則參考答案：做出不等式組對應的區域為三角形BCD，直線過定點，由圖象可知點D到直線的距離最大，此時，解得。13.若等比數列{an}的各項均為正數，且a10a11+a9a12=2e5，則lna1+lna2+…+lna20=．參考答案：50【考點】等比數列的性質．

【專題】計算題；等差數列與等比數列．【分析】直接由等比數列的性質結合已知得到a10a11=e5，然后利用對數的運算性質化簡后得答案．解：∵數列{an}為等比數列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案為：50．【點評】本題考查了等比數列的運算性質，考查對數的運算性質，考查了計算能力，是基礎題．14.的展開式中常數項是

．參考答案：615.設x，y滿足約束條件，則的最小值是__________．參考答案：-2.【分析】畫出約束條件所表示平面區域，結合圖象，確定目標函數最優解，代入即可求解，得到答案.【詳解】畫出約束條件所表示平面區域，如圖所示，目標函數化為，當直線過點A時，此時在y軸上的截距最大，目標函數取得最小值，又由，解得，所以目標函數的最小值為.【點睛】本題主要考查簡單線性規劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．16.已知,,，且，則

．參考答案：略17.已知函數有兩個極值，則實數a的取值范圍為．參考答案：a≤﹣2【考點】利用導數研究函數的極值．【分析】由原函數有兩個極值，可知其導函數有兩個不同的實數根，轉化為直線y=﹣ax﹣a與曲線y=2ex有兩個不同交點求解．【解答】解：由，得f′（x）=2ex+ax+a，要使有兩個極值，則方程2ex+ax+a=0有兩個不同的實數根，即2ex=﹣ax﹣a有兩個不同的實數根，令y=2ex，y=﹣ax﹣a，直線y=﹣a（x+1）過點（﹣1，0），設直線y=﹣a（x+1）與y=2ex的切點為（），則y′=，則切線方程為，代入（﹣1，0），得，解得：x0=0．∴切點為（0，2），則過（﹣1，0），（0，2）切線的斜率為k=，由﹣a≥2，得a≤﹣2．∴實數a的取值范圍為a≤﹣2．故答案為：a≤﹣2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.用分層抽樣方法從高中三個年級的相關人員中抽取若干人組成研究小組,有關數據見下表:(單位:人)

年級相關人數抽取人數高一99高二27高三182(Ⅰ)求,;(Ⅱ)若從高二、高三年級抽取的人中選人,求這二人都來自高二年級的概率.參考答案：略19.已知函數f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w為常數且＜w＜1），函數f（x）的圖象關于直線x=π對稱．（I）求函數f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點】正弦函數的圖象；三角函數中的恒等變換應用．【分析】（1）化簡f（x），根據對稱軸求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式計算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面積公式得出面積的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的對稱軸為x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴當k=1時，ω=．∴f（x）=sin（x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=．（2）∵f（）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．∴S△ABC==≤．∴△ABC面積的最大值是．20.（本小題滿分15分）如圖，設P是拋物線：上的動點。過點做圓的兩條切線，交直線：于兩點。

（Ⅰ）求的圓心到拋物線準線的距離。（Ⅱ）是否存在點，使線段被拋物線在點處得切線平分，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。參考答案：本題主要考查拋物線幾何性質，直線與拋物線、直線與圓的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。滿分15分。

（Ⅰ）解：因為拋物線C1的準線方程為：

所以圓心M到拋物線C1準線的距離為：

（Ⅱ）解：設點P的坐標為，拋物線C1在點P處的切線交直線于點D。

再設A，B，D的橫坐標分別為

過點的拋物線C1的切線方程為：

（1）

當時，過點P（1，1）與圓C2的切線PA為：

可得

當時，過點P（—1，1）與圓C2的切線PA為：

可得

所以

設切線PA，PB的斜率為，則

（2）

（3）

將分別代入（1），（2），（3）得

從而

又

即

同理，

所以是方程的兩個不相等的根，從而

因為

所以

從而

進而得

綜上所述，存在點P滿足題意，點P的坐標為21.已知為半圓的直徑，，為半圓上一點，過點作半圓的切線，過點作于，交圓于點，．（Ⅰ）求證：平分；（Ⅱ）求的長．

參考答案：解：（Ⅰ）連結，因為，所以， 2分

因為為半圓的切線，所以，又因為，