山西省太原市師愛中學2022年高三數學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，若粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為A．6 B．8C．10 D．12參考答案：C2.若點到直線的距離比它到點的距離小1，則點的軌跡為（

）A．圓

B．橢圓

C．雙曲線

D．拋物線參考答案：【標準答案】:D【試題分析】:把到直線向左平移一個單位，兩個距離就相等了，它就是拋物線的定義。【高考考點】:二次曲線（圓錐曲線）的定義。【易錯提醒】:沒有轉化的意識【備考提示】:基本概念、基本技巧、基本運算的訓練是基礎。3.2002年8月，在北京召開的國際數學家大會會標如圖所示，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中較小的銳角為，大正方形的面積是1，小正方形的面積是，則的值等于（

）A.1

B.

C.

D.參考答案：D.試題分析：由題意得，，∴，∴，∴，故選D.考點：三角恒等變形.4.以下是某樣本數據，則該樣本的中位數、極差分別是（）數據31，12，22，15，20，45，47，32，34，23，28A．23、32 B．34、35 C．28、32 D．28、35參考答案：D【考點】BC：極差、方差與標準差；BB：眾數、中位數、平均數．【分析】將數據從小到大按順序排成一列，結合中位線和極差的定義進行求解即可．【解答】解：將數據從小到大按順序排成一列為12，15，20，22，23，28，31，32，34，45，47，共11個數據，則中位數為第6個數28，最大值為47，最小值為12，則極差47﹣12=35，故選：D．5.已知函數，在區間內任取兩個數，且，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（

）A．[8,+∞)

B．(3,8]

C.[15,+∞)

D．[8,15]參考答案：C6.已知是定義在R上的奇函數，當時，，則函數g（x）=f（x）－x+3的零點的集合為A．{1，3} B．{-3，-1，1，3}C．{2，1，3}

D．{－2，1，3}參考答案：【知識點】函數的奇偶性函數零點B4B9D∵是定義在R上的奇函數，當時，可得的解析式為：則∵∴，令當時，，解得，或，當時，，解得（舍去）

∴函數的零點的集合為．故選擇D.【思路點撥】首先根據是定義在R上的奇函數，求出函數在R上的解析式，再求出的解析式，根據函數零點就是方程的解，問題得以解決7.（2009江西卷理）一個平面封閉區域內任意兩點距離的最大值稱為該區域的“直徑”，封閉區域邊界曲線的長度與區域直徑之比稱為區域的“周率”，下面四個平面區域（陰影部分）的周率從左到右依次記為，則下列關系中正確的為

A．

B．

C．

D．參考答案：C解析：前三個區域的周率依次等于正方形、圓、正三角形的周長和最遠距離，所以、、，第四個區域的周率可以轉化為一個正六邊形的周長與它的一對平行邊之間的距離之比，所以，則，選C8.直線x=t（t＞0）與函數f（x）=x2+1，g（x）=lnx的圖象分別交于A、B兩點，當|AB|最小時，t值是（）A．1 B． C． D．參考答案：B【分析】將兩個函數作差，得到函數y=f（x）﹣g（x），再求此函數的最小值對應的自變量x的值．【解答】解：設函數y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求導數得y′=2x﹣=當0＜x＜時，y′＜0，函數在（0，）上為單調減函數，當x＞時，y′＞0，函數在（，+∞）上為單調增函數所以當x=時，所設函數的最小值為+ln2，所求t的值為．故選B．【點評】可以結合兩個函數的草圖，發現在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，問題轉化為求兩個函數差的最小值對應的自變量x的值．9.已知是實數，是純虛數，則等于

（

）

A．

B．1

C．

D．參考答案：B10.在△ABC中，點滿足，過點P的直線與AB、AC所在的直線分別交于點M、N，若，，則的最小值為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由題意得出，再由，，可得出，由三點共線得出，將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】如下圖所示：，即，，，，，，，、、三點共線，則.，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為，故選B.【點睛】本題考查三點共線結論的應用，同時也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解題時要充分利用三點共線得出定值條件，考查運算求解能力，屬于中等題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，角的對邊分別為，且，，，則的面積為

．參考答案：由可知，，即，故，故，又，則，故，因為，所以．又因為，所以，所以.12.已知拋物線經過圓的圓心，則拋物線的準線與圓相交所得的弦長為

．【知識點】圓的標準方程拋物線的幾何性質H3

H7參考答案：圓的標準方程為，圓心坐標，代入拋物線方程可得，所以其準線方程為，圓心到直線的距離，所以拋物線的準線與圓相交所得的弦長為：.故答案為.【思路點撥】將圓的方程化為標準方程可得圓心，代入拋物線方程可得，即其準線為，根據圓的弦長公式可求得弦長.13.已知且與垂直，則實數的為

.參考答案：略14.函數在區間上存在一個零點，則實數的取值范圍是

參考答案：當時，函數在上沒有零點，所以，所以根據根的存在定理可得，即，所以，解得，所以實數的取值范圍是。15.已知0＜x＜，且sin（2x﹣）=﹣，則sinx+cosx=．參考答案：【考點】三角函數的化簡求值．【分析】由x的范圍，可得﹣＜2x﹣＜0，可得cos（2x﹣）的值，再由sin2x=sin[（2x﹣）+]，運用兩角和的正弦公式，以及sinx+cosx=，計算即可得到所求值．【解答】解：0＜x＜，且sin（2x﹣）=﹣，可得﹣＜2x﹣＜0，則cos（2x﹣）==，即有sin2x=sin[（2x﹣）+]=[sin（2x﹣）+cos（2x﹣）]=×（﹣+）=，則sinx+cosx====．故答案為：．16.已知x,y滿足條件則的最小值為

;參考答案：略17.在平行四邊形中,點是的中點,與相交于點,若,則的值為

；參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知fn(x)＝(1＋2)n，n∈N*.(1)若g(x)＝f4(x)＋f5(x)＋f6(x)，求g(x)中含x2項的系數；(2)若pn是fn(x)展開式中所有無理項的二項式系數和，數列{an}是各項都大于1的數組成的數列，試用數學歸納法證明：．參考答案：19.已知△ABC是斜三角形，內角A、B、C所對的邊的長分別為a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面積．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】解三角形．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，聯立解出，再利用三角形面積計算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC為斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a

（1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，（2）由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．【點評】本題考查了正弦定理余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.已知，，α，β均為銳角．（1）求sin2α的值；（2）求sinβ的值．參考答案：【考點】同角三角函數基本關系的運用；二倍角的正弦．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值．【分析】（1）由條件利用同角三角函數的基本關系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．（2）由條件利用同角三角函數的基本關系求得sin（α+β）的值，再利用兩角和差的正弦公式求得sinβ的值．【解答】解：（1）∵，α為銳角，∴，∴．（2）∵α，β均為銳角，，∴α+β∈（0，π），∴，∴．【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系，二倍角公式，兩角和差的正弦公式的應用，屬于基礎題．21.已知集合（1）當時，求；（2），若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.參考答案：（1）

（2）略22.選修4-4：坐