山西省忻州市余莊中學高三數學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數若關于x的方程有且僅有一個實數解，則實數的取值范圍是（

）A．(－∞,0)

B．(0,1)

C．(－∞,0)∪(0,1)

D．(0,1)∪(1,+∞)參考答案：C由函數可知，在部分.當時.當時.當時恒成立.因為關于x的方程有且僅有一個實數解，所以只能是只有一個解.當時有一個解.所以要使在上沒解，有前面可得成立.當時要使才能成立.故選C.

2.下圖是國家統計局今年4月11日發布的2018年3月到2019年3月全國居民消費價格的漲跌幅情況折線圖．(注：2019年2月與2018年2月相比較稱同比，2019年2月與2019年1月相比較稱環比)，根據該折線圖，下列結論錯誤的是A.2018年3月至2019年3月全國居民消費價格同比均上漲B.2018年3月至2019年3月全國居民消費價格環比有漲有跌C.2019年3月全國居民消費價格同比漲幅最大D.2019年3月全國居民消費價格環比變化最快參考答案：C【分析】根據折線圖提供的信息逐個選項驗證可得.【詳解】對于選項A，從圖可以看出同比漲跌幅均為正數，故A正確；對于選項B，從圖可以看出環比漲跌幅有正數有負數，故B正確；對于選項C，從圖可以看出同比漲幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C錯誤；對于選項D，從圖可以看出2019年3月全國居民消費價格環比變化最快，故D正確.【點睛】本題主要考查統計圖表的識別，根據折線圖研究統計結論，側重考查數據分析的核心素養.

3.已知集合，則集合N的真子集個數為（

）A．3；B．4C．7D．8參考答案：B4.如果，那么（

）（A）

(B)

(C)

(D)參考答案：C5.設集合U=,則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：.D.本題主要考查了集合的基本運算，難度很低。

，，所以.6.有七名同學站成一排照畢業紀念照，其中小明必須站在正中間，并且小李、小張兩位同學要站在一起，則不同的站法有(A)192種

(B)120種 (C)96種

(D)48種參考答案：【知識點】排列、組合及簡單計數問題．J2J1A

解析：不妨令小李、小張在小明左側，先排小李、小張兩人，有A22種站法，再取一人站左側有C41×A22種站法，余下三人站右側，有A33種站法考慮到小李、小張在右側的站法，故總的站法總數是2×A22×C41×A22×A33=192故選：A．【思路點撥】由于小明必須站正中間，故先安排小明，兩邊一邊三人，不妨令小李、小張在小明左邊，求出此種情況下的站法，再乘以2即可得到所有的站法總數，計數時要先安排小李、小張兩人，再安排小明左邊的第三人，最后余下三人，在小明右側是一個全排列．7.化極坐標方程為直角坐標方程為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C

解析：8.若，則

A.

B.

C.

D.參考答案：B由得，即，所以，選B.9.某商店將進價為40元的商品按50元一件銷售，一個月恰好賣500件，而價格每提高1元，就會少賣10個，商店為使該商品利潤最大，應將每件商品定價為（

）A．50元 B．60元 C．70元 D．100元參考答案：C10.若函數的導函數在區間上的圖象關于直線對稱，則函數在區間上的圖象可能是（

）A．①②

B．③④

C．①③

D．②④參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.有3個男生和3個女生參加某公司招聘，按隨機順序逐個進行面試，那么任何時候等待面試的女生人數都不少于男生人數的概率是______。參考答案：略12.在數列{an}中，若a－a＝p(n≥1，n∈N*，p為常數)，則稱{an}為“等方差數列”，下列是對“等方差數列”的判斷：①若{an}是等方差數列，則{a}是等差數列；②{(－1)n}是等方差數列；③若{an}是等方差數列，則{akn}(k∈N*，k為常數)也是等方差數列．其中真命題的序號為________(將所有真命題的序號填在橫線上)．參考答案：①②③13.已知向量，,若//,則實數等于_________.參考答案：略14.已知，則的值是

。參考答案：答案:247

15.直線與圓相交于、兩點，為坐標原點，則

。參考答案：略16.．若對任意m∈R，直線x＋y＋m＝0都不是曲線的切線，則實數a的取值范圍是____________．參考答案：略17.已知命題在區間上是減函數；命題不等式的解集為R.若命題“”為真，命題“”為假，則實數的取值范圍是________．參考答案：【知識點】復合命題得真假

A3因為在區間上是減函數，所以得，因為不等式的解集為R，所以得，要保證命題“”為真，命題“”為假，則需要兩個命題中只有一個正確，而另一個不正確，解得.故答案為：..【思路點撥】由命題可得，命題可得，因為命題“”為真，命題“”為假，所以需要兩個命題中只有一個正確，而另一個不正確，解得.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某網站體育版塊足球欄目組發起了“射手的上一場進連續進球有關系”的調查活動，在所有參與調查的人中，持“有關系”“無關系”“不知道”態度的人數如表所示：

有關系無關系不知道40歲以下80045020040歲以上（含40歲）100150300（Ⅰ）在所有參與調查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個人，已知從持“有關系”態度的人中抽取45人，求n的值；（Ⅱ）在持“不知道”態度的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看成一個總體，從這5人中任選取2人，求至少一人在40歲以下的概率；（Ⅲ）在接受調查的人中，有8人給這項活動打出分數如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8，7、9.3、9.0、8.2，把這8個人打出的分數看做一個總體，從中任取1個數，求該數與總體平均數之差的絕對值超過0.6的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式；分層抽樣方法．【分析】（Ⅰ）根據在抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，寫出比例式，使得比例相等，得到關于n的方程，解方程即可．（Ⅱ）由題意知本題是一個等可能事件的概率，本題解題的關鍵是列舉出所有事件的事件數，再列舉出滿足條件的事件數，得到概率．（Ⅲ）先求出總體的平均數，然后找到與總體平均數之差的絕對值超過0.6的數，最后根據古典概型的公式進行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意得=，…所以n=100．…（Ⅱ）設所選取的人中，有m人20歲以下，則=，解得m=2．…也就是40歲以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分別記作A1，A2；B1，B2，B3，則從中任取2人的所有基本事件為（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10個．…其中至少有1人40歲以下的基本事件有7個：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），…所以從中任意抽取2人，至少有1人40歲以下的概率為．…（Ⅲ）總體的平均數為=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9，…那么與總體平均數之差的絕對值超過0.6的數只有8.2，…所以該數與總體平均數之差的絕對值超過0.6的概率為．…19.已知橢圓的離心率為,且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若,(i)求的最值.(ii)求證：四邊形ABCD的面積為定值；

參考答案：解：(1)由題意，，又，………2分解得,橢圓的標準方程為.…………………4分(2)設直線AB的方程為，設聯立，得

----------①

…………6分

………7分=

………………8分

……9分(i)

當k=0(此時滿足①式),即直線AB平行于x軸時，的最小值為-2.又直線AB的斜率不存在時，所以的最大值為2.…11分(ii)設原點到直線AB的距離為d，則.

即,四邊形ABCD的面積為定值…………13分

略20.（本小題滿分13分）

設數列的前項和為，若對任意的正整數，總存在正整數，使得，則稱是“數列”。（1）若數列的前項和為，證明：是“數列”；（2）設是等差數列，其首項，公差，若是“數列”，求的值；

（3）證明：對任意的等差數列，總存在兩個“數列”，使得成立。參考答案：【知識點】數列的應用；等差、等比數列

D1

D2【答案解析】解：當時，，當時，，當時，，當時，，是“數列”。（2）（3）設的公差為，令，

且數列是等差數列，數列的前項和，令，當，當時，由于的奇偶性不同，即為非負偶數，。因此對，都可以找到，使，即為“數列”，數列的前項和，令，為非負偶數，。因此對，都可以找到，使，即為“數列”。因此命題得證。【思路點撥】（1）利用即可得到，再利用“H”數列的意義即可證出是“數列”．（2）利用等差數列的前n項和即可得出，對n∈N*，m∈N*使，取根據即可得出；（3）設的公差為，構造數列：，，可證明和是等差數列．再利用等差數列的前n項和公式及其通項公式、“H數列”的意義即可得出結論．21.（本小題滿分13分）已知在四棱錐中，底面是矩形，，（Ⅰ）求證：∥;（Ⅱ）求與平面所成角的正切值大小;（Ⅲ）求二面角的正切值大小.參考答案：（Ⅰ）取的中點，連結

∥∴∥……2分又是的中點．且∴四邊形是平行四邊形．∥,又，∥．．．4分（Ⅱ）連結∵⊥平面,∴是直線與平面所成的角……