山西省太原市西山煤電集團公司第七中學2022-2023學年高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義在R上的可導函數滿足，記的導函數為，當時恒有．若，則m的取值范圍是A． B． C． D．參考答案：D構造函數，所以構造函數，，所以的對稱軸為，所以，是增函數；是減函數。，解得：【點睛】壓軸題，考查導數與函數，涉及到構函數以及對稱軸的性質。難度比較大。2.函數y＝的定義域為()A．(－4，－1)

B．(－4,1)C．(－1,1)

D．(－1,1參考答案：C3.若函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則=（

）A.

3

B.

2

C.

D.參考答案：D略4.已知函數f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）的導函數f′（x）＜，則f（x）＜+的解集為（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}參考答案：D【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】根據條件，構造函數g（x）=f（x）﹣﹣，求函數的導數，利用函數的單調性即可得到結論．【解答】解：設g（x）=f（x）﹣﹣，則函數的g（x）的導數g′（x）=f′（x）﹣，∵f（x）的導函數f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，則函數g（x）單調遞減，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣﹣=1﹣1=0，則不等式f（x）＜+，等價為g（x）＜0，即g（x）＜g（1），則x＞1，即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，故選：D5.甲：函數是上的單調遞增函數；乙：，則甲是乙的（

）A.充要條件

B.

既不充分也不必要條件

C.

充分不必要條件

D.必要不充分條件參考答案：C【知識點】充分條件與必要條件【試題解析】若甲成立，則乙一定成立；

反過來，才能說明是上的單調遞增函數，

故反過來不成立。

所以甲是乙的充分不必要條件。

故答案為：C6.設m，n是空間兩條直線，α，β是空間兩個平面，則下列選項中不正確的是(

) A．當m?α時，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分條件 B．當m?α時，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件 C．當n⊥α時，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要條件 D．當m?α時，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件參考答案：A考點：空間中直線與平面之間的位置關系．專題：空間位置關系與距離．分析：當m?α時，“n∥α”是“m∥n”的不必要不充分條件；當m?α時，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件；當n⊥α時，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要條件；當m?α時，“n⊥α”?“m⊥n”，“m⊥n”?“n⊥α”．解答： 解：當m?α時，“n∥α”?“m∥n或m與n異面”，“m∥n”?“n∥α或n?α”，∴當m?α時，“n∥α”是“m∥n”的不必要不充分條件，故A錯誤；當m?α時，“m⊥β”?“α⊥β”，“α⊥β”推不出“m⊥β”，∴當m?α時，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件，故B正確；當n⊥α時，“n⊥β”?“α∥β”，∴當n⊥α時，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要條件，故C正確；當m?α時，“n⊥α”?“m⊥n”，“m⊥n”?“n⊥α”，故D正確．故選：A．點評：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．7.某多面體的三視圖如圖所示，每一小格單位長度為l，則該多面體的外接球的表面積是A．27π

B．π

C．9π

D．π參考答案：A根據三視圖可知，該多面體為鑲嵌在正方體中的四棱錐，故外接球直徑即正方體的體對角線長，故選：A

8.在平面區域內隨機投入一點，則點的坐標滿足的概率為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A畫出平面區域，如圖，陰影部分符合，其面積為：，正方形面積為1，故所求概率為：9.已知點P是橢圓(x≠0，y≠0)上的動點，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，O是坐標原點，若M是∠F1PF2的平分線上一點，且，則的取值范圍是(

)A．[0,3)

B．(0,2)

C．[2，3)

D．(0,4]參考答案：B10.公差不為零的等差數列{an}中，成等比數列，則（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】設的公差為，根據成等比數列，可得，化簡求得的關系再求解.【詳解】設的公差為，由成等比數列，可得，即，即，故.故選：B【點睛】本題主要考查等差數列與等比數列的基本運算，還考查運算求解的能力，屬于基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（理科）某單位為了了解用電量y度與氣溫之間的關系，隨機統計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫(0C)181310-1用電量(度)24343864由表中數據得線性回歸方程中，預測當氣溫為時，用電量的度數約為________.參考答案：6812.曲線在點(0,1)處的切線方程為__________.參考答案：【分析】利用導數值確定切線斜率，再用點斜式寫出切線方程。【詳解】，當時其值為，故所求的切線方程為，即?！军c睛】曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數f(x)的導數f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．

13.在邊長為1的正方形ABCD中,E、F分別為BC、DC的中點，則__________.參考答案：1略14.若二次函數的圖象和直線y=x無交點，現有下列結論：

①方程一定沒有實數根；

②若a>0，則不等式對一切實數x都成立；

③若a<0，則必存存在實數x0，使；

④若，則不等式對一切實數都成立；

⑤函數的圖像與直線也一定沒有交點。

其中正確的結論是

（寫出所有正確結論的編號）.參考答案：①②④⑤因為函數的圖像與直線沒有交點，所以或恒成立．①

因為或恒成立，所以沒有實數根；②若，則不等式對一切實數都成立；

③若，則不等式對一切實數都成立，所以不存在，使；

④若，則，可得，因此不等式對一切實數都成立；

⑤易見函數，與的圖像關于軸對稱，所以和直線也一定沒有交點15.定義運算符號“”：表示若干個數相乘，例如：．記，其中為數列中的第項．（1）若，則

；（2）若，則

．參考答案：（1105；（2）16.集合A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，若B∪A=A，則實數a=

．參考答案：2【考點】18：集合的包含關系判斷及應用．【分析】根據并集的意義，由A∪B=A得到集合B中的元素都屬于集合A，列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值．【解答】解：由A∪B=A，得到B?A，∵A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，∴a+1=1，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=1，或a+1=3，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=3，解得：a=2．故答案為2．【點評】此題考查了并集的意義，以及集合中元素的特點．集合中元素有三個特點，即確定性，互異性，無序性．學生做題時注意利用元素的特點判斷得到滿足題意的a的值．17.若，則的最小值是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分）已知關于的一元二次方程．（Ⅰ）若是一枚骰子擲兩次所得到的點數，求方程有兩正根的概率；（Ⅱ）若，求方程沒有實根的概率．參考答案：（Ⅰ）基本事件共有36個，方程有正根等價于，即。設“方程有兩個正根”為事件，則事件包含的基本事件為共4個，故所求的概率為；

……………6分（Ⅱ）試驗的全部結果構成區域，其面積為設“方程無實根”為事件，則構成事件的區域為，其面積為故所求的概率為

……………13分19.在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），是上一點，點滿足，點軌跡為.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與的異于極點的交點為，與

的異于極點的交點為，求.參考答案：（Ⅰ）設，則由條件知，由于在上，，即，的參數方程為（為參數）；（Ⅱ）曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，射線與的交點的極徑為，射線與的交點的極徑為，.20.（12分）某學校隨機抽取部分新生調查其上學所需時間（單位：分鐘），并將所得數據繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學所需時間的范圍是[0，100]，樣本數據分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（Ⅰ）求直方圖中x的值；（Ⅱ）如果上學所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿，請估計學校600名新生中有多少名學生可以申請住宿；（Ⅲ）從學校的新生中任選4名學生，這4名學生中上學所需時間少于20分鐘的人數記為X，求X的分布列和數學期望．（以直方圖中新生上學所需時間少于20分鐘的頻率作為每名學生上學所需時間少于20分鐘的概率）

參考答案：考點:離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差．專題:概率與統計．分析:（I）由題意，可由直方圖中各個小矩形的面積和為1求出x值．（II）再求出小矩形的面積即上學所需時間不少于1小時組人數在樣本中的頻率，再乘以樣本容量即可得到此組的人數即可．（Ⅲ）求出隨機變量X可取得值，利用古典概型概率公式求出隨機變量取各值時的概率，列出分布列，利用隨機變量的期望公式求出期望．解：（Ⅰ）由直方圖可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．所以x=0.0125．（Ⅱ）新生上學所需時間不少于1小時的頻率為：0.003×2×20=0.12，因為600×0.12=72，所以600名新生中有72名學生可以申請住宿．（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，4．由直方圖可知，每位學生上學所需時間少于20分鐘的概率為，，，，，．所以X的分布列為：．（或）所以X的數學期望為1．點評:本題考查頻率分布直方圖，考查離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的期望等，解題的關鍵是理解直方圖中各個小矩形的面積的意義及各個小矩形的面積和為1，考查了識圖的能力．

21.已知集合A={a1，a2，…，am}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪An=A，則稱A1，A2，A3，…，An為集合A的一種拆分，所有拆分的個數記為f（n，m）．（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）關于n的表達式．參考答案：【考點】并集及其運算．【分析】（1）設A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3；設A1∪A2={a1，a2}，得f（2，2）=9；設A1∪A2∪A3={a1，a2}，由此利用分類討論思想能求出f（3，2）．（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，再利用數學歸納法進行證明．【解答】解：（1）設A1∪A2={a1}，共有3種，即f（2，1）=3；…設A1∪A2={a1，a2}，若A1=?，則有1種；若A1={a1}，則有2種；若A1={a2}，則有2種；若A1={a1，a2}，則有4種；即f（2，2）=9；…設A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=?，則A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9種；若A1={a1}，則A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，則有12種；若A1={a1，a2}，則A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=?，所以有1+3+3+9=16種；即f（3，2）=49．…（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用數學歸納法證明．當n=2時，f（2，2）=9，結論成立．…假設n=k時，結論成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，當n=k+1時，A1∪A2∪…∪Ak+1={a1，a2}當Ak+1=?時，A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2種；當Ak+1={a1}時，A1∪A2∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（