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文檔簡介
山西省太原市第二十四中學2021年高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.在等差數列中,為其前n項和,若,則A.60
B.75
C.90
D.
105參考答案:B2.某學校要召開學生代表大會,規定各班每10人推選一名代表,當各班人數除以10的余數大于6時再增選一名代表.那么,各班可推選代表人數與該班人數之間的函數關系用取整函數(表示不大于的最大整數)可以表示為()A.B.
C.
D.參考答案:【知識點】函數的解析式。B1【答案解析】B
解析:當各班人數除以10的余數大于6時再增選一名代表,可以看作先用該班人數除以10再用這個余數與3相加,若和大于等于10就增選一名代表,將二者合并便得到推選代表人數y與該班人數x之間的函數關系,用取整函數(表示不大于的最大整數)可以表示為.故選B.【思路點撥】結合給出的新定義“取整函數(表示不大于的最大整數)”直接可得結果。3.設集合,,則(
)A. B. C.{1} D.參考答案:C4.在復平面內,復數對應的點位于A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限參考答案:D5.定義在R上的函數f(x)滿足f(x)=,則f(2015)的值為A.-1
B.0
C.1
D.2參考答案:C6.,,是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是(A),
(B),(C),,共面
(D),,共點,,共面參考答案:B由,,根據異面直線所成角知與所成角為90°,選B.7.在區間[﹣1,1]內隨機取兩個實數x,y,則滿足y≥x2﹣1的概率是()A. B. C. D.參考答案:D【考點】幾何概型.【分析】該題涉及兩個變量,故是與面積有關的幾何概型,分別表示出滿足條件的面積和整個區域的面積,最后利用概率公式解之即可.【解答】解:由題意可得,的區域為邊長為2的正方形,面積為4,滿足y≥x2﹣1的區域為圖中陰影部分,面積為2+=∴滿足y≥x2﹣1的概率是=.故選:D.8.已知是定義在上的奇函數,且當時不等式成立,若,,則大小關系是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D9.已知拋物線的焦點F和準線l,過點F的直線交l于點A,與拋物線的一個交點為B,且,則(
)A. B. C. D.參考答案:A【分析】利用,確定A,B的坐標,即可求得【詳解】解:依題意可得:
設,則:,故選:A.10.已知點P(3,3),Q(3,-3),O為坐標原點,動點M(x,y)滿足,則點M所構成的平面區域的面積是
A.12 B.16
C.32 D.64參考答案:C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線(a>0)的右焦點為圓(x﹣4)2+y2=1的圓心,則此雙曲線的離心率為.參考答案:
【考點】雙曲線的簡單性質.【分析】求出雙曲線的焦點坐標,圓的圓心坐標,列出方程,求解即可.【解答】解:雙曲線(a>0)的右焦點(,0),為圓(x﹣4)2+y2=1的圓心(4,0).由題意可得,解得a=3,則c=4,雙曲線的離心率為:.故答案為:.【點評】本題考查雙曲線的簡單性質與圓的方程的應用,考查計算能力.12.已知命題,命題成立,若“p∧q”為真命題,則實數m的取值范圍是_
_
.參考答案:【知識點】命題的關系.A2【答案解析】-2<m<0解析:解:由命題的真假可知p且q成立,則p與q都是真命題,所以【思路點撥】根據已知條件,可先判定兩個命題的真假,再分別求出兩個命題中m的取值范圍,最后求出結果.13.設是線段的中點,點在直線外,,,則
。參考答案:214.如右圖,在正方體中,點是上底面內一動點,則三棱錐的正(主)視圖與側(左)視圖的面積的比為_________.參考答案:1
考點:三視圖.【名師點睛】三視圖,實際是也是正投影,就是把空間圖形向某個平面進行正投影,而確定一個多邊形的正投影,只要作出多邊形的每個頂點的投影,然后順次連接即可得.15.設,則=
.參考答案:16.內角的對邊分別是,若,,則 .參考答案:略17.()與垂直,且ê,則的夾角為
參考答案:120°三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(12分)(2015?濟寧一模)現有甲、乙、丙三人參加某電視的一檔應聘節目,若甲應聘成功的概率為,乙、丙應聘成功的概率均為(0<t<2),且三人是否應聘成功是相互獨立的.(Ⅰ)若乙、丙有且只有一人應聘成功的概率等于甲應聘成功的概率,求t的值;(Ⅱ)若t=,求三人中恰有兩人應聘成功的概率;(Ⅲ)記應聘成功的人數為ξ,若當且僅當ξ=2時對應的概率最大,求E(ξ)的取值范圍.參考答案:【考點】:離散型隨機變量的期望與方差;互斥事件的概率加法公式;相互獨立事件的概率乘法公式.【專題】:概率與統計.【分析】:(Ⅰ)由題意得,由此能求出t的值.(Ⅱ)t=時,甲應聘成功的概率為,乙、丙應聘成功的概率均為,由此利用相互獨立事件乘法公式能求出三人中恰有兩人應聘成功的概率.(Ⅲ)由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,分別求出相應的概率,由此能求出E(ξ)的取值范圍.解:(Ⅰ)∵甲應聘成功的概率為,乙、丙應聘成功的概率均為(0<t<2),且三人是否應聘成功是相互獨立的.乙、丙有且只有一人應聘成功的概率等于甲應聘成功的概率,∴由題意得,解得t=1.(Ⅱ)t=時,甲應聘成功的概率為,乙、丙應聘成功的概率均為,∴三人中恰有兩人應聘成功的概率:P=+=.(Ⅲ)由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,P(ξ=0)=(1﹣)(1﹣)(1﹣)=,P(ξ=1)=+=,P(ξ=2)=++(1﹣)×=,P(ξ=3)==,∴ξ的分布列為:ξ
0
1
2
3PEξ=+=t+,由題意知P(ξ=2)﹣P(ξ=1)=>0,P(ξ=2)﹣P(ξ=0)=>0,P(ξ=2)﹣P(ξ=3)=,又0<t<2,∴1<t<2,∴(ξ)<.【點評】:本題考查相互獨立事件概率、離散型隨機變量的分布列及數學期望等基礎知識,考查數據處理能力,考查化歸與轉化思想,是中檔題.19.(14分)設橢圓=1(a>b>0)的左焦點為F,短軸上端點為B,連接BF并延長交橢圓于點A,連接AO并延長交橢圓于點D,過B、F、O三點的圓的圓心為C.(1)若C的坐標為(﹣1,1),求橢圓方程和圓C的方程;(2)若AD為圓C的切線,求橢圓的離心率.參考答案:【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題.【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程.【分析】(1)由題意可得三角形BFO外接圓圓心為斜邊BF中點C,由此求得b,c的值,結合隱含條件求出a,則橢圓方程和圓C的方程可求;(2)由AD為圓C的切線,得到AD⊥CO,聯立直線和橢圓方程求得A的坐標,由得到a,b,c的關系式,結合隱含條件可求橢圓的離心率.【解答】解:(1)∵三角形BFO為直角三角形,∴其外接圓圓心為斜邊BF中點C,由C點坐標為(﹣1,1)得,b=2,c=2,∴a2=b2+c2=8,則圓半徑,∴橢圓方程為,圓方程為(x+1)2+(y﹣1)2=2;(2)由AD與圓C相切,得AD⊥CO,BF方程為,由,得,由,得b4=2a2c2,(a2﹣c2)2=2a2c2a4﹣4a2c2+c4=0,解得:=.【點評】本題考查了橢圓與圓的方程的求法,考查了直線與圓錐曲線的關系,解答此題的關鍵是由平面幾何知識得到對應的關系,考查了學生的計算能力,是中檔題.20.
已知函數f(x)=1nx-a(x-l),a∈R
(I)若曲線y=f(x)在點處的切線與直線y=2x,求實數
a的值;;
(Ⅱ)若x>0時,不等式恒成立,
(i)求實數a的值;
(ii)x>0時,比較與21nx的大小。參考答案:解:(Ⅰ),由條件,經檢驗,此時曲線在點處的切線方程為,與直線平行,故.
……3分(Ⅱ)(ⅰ)時,不等式恒成立,(或證時不符合條件)
……5分上,單調遞增;上,單調遞減上
時,不等式恒成立,恒成立①
……7分時,時,恒成立②由①②,,即.
……9分(ⅱ)由(ⅰ)知,記,在上單調遞增
……10分又,上,上故,時,;
時,;時,.
……12分
略21.集合,集合B={x|y=ln(x2﹣x﹣6)}(1)求集合A∩B;(2)若不等式ax2+2x+b>0的解集為A∪B,求a,b的值.參考答案:考點:并集及其運算;交集及其運算.專題:計算題.分析:(1)根據負數沒有平方根、分母不為0,求出集合A中函數的定義域,確定出A,根據負數與0沒有對數,求出集合B中函數的定義域,確定出B,找出兩集合的公共部分,即可確定出兩集合的交集;(2)找出既屬于A又屬于B的部分,確定出兩集合的并集,由不等式ax2+2x+b>0的解集為兩集合的并集,得到方程ax2+2x+b=0的兩根分別為﹣2和0,利用根與系數的關系即可求出a與b的值.解答:解:(1)由集合A中的函數得:2x﹣1>0,即2x>20,解得:x>0,∴A=(0,+∞),由集合B中的函數得:x2﹣x﹣6>0,即(x﹣3)(x+2)>0,解得:x<﹣2或x>3,∴B=(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞),則A∩B=(3,+∞);(2)∵不等式ax2+2x+b>0的解集為A∪B,A∪B═(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞),∴方程ax2+2x+b=0的兩根分別為﹣2和0,∴﹣2+0=﹣,﹣2×0=,解得:a=1,b=0.點評:此題考查了交、并、補集的混合運算,熟練掌握交、并、補集的定義是解本題的關鍵.22.交通指數是交通擁堵指數的簡稱,是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念,記交通指數為T.其范圍為[0,10],分別有五個級別:T∈[0,2)暢通;T∈[2,4)基本暢通;T∈[4,6)輕度擁堵;T∈[6,8)中度擁堵;T∈[8,10]嚴重擁堵,晚高峰時段(T≥2),從某市交通指揮中心選取了市區20個交通路段,依據其交通指數數
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