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文檔簡介
學業分層測評(十一)(建議用時:45分鐘)學業達標]一、填空題1.觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=________.【解析】從給出的式子特點觀察可推知等式右端的值,從第三項開始,后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和,照此規律,則a10+b10=123.【答案】1232.經計算發現下列不等式:eq\r(2)+eq\r(18)<2eq\r(10),eq\r+eq\r<2eq\r(10),eq\r(3+\r(2))+eq\r(17-\r(2))<2eq\r(10),…根據以上不等式的規律,試寫出一個對正實數a,b都成立的條件不等式:________.【解析】∵eq\f(2+18,2)=10,eq\f+,2)=10,eq\f(3+\r(2)+17-\r(2),2)=10,∴不難得出,若a+b=20,eq\r(a)+eq\r(b)<2eq\r(10).【答案】若a+b=20,則eq\r(a)+eq\r(b)<2eq\r(10)3.觀察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10…,照此規律,第n個等式可為________.【解析】12=1,12-22=-(1+2),12-22+32=1+2+3,12-22+32-42=-(1+2+3+4),…,12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1(1+2+…+n)=(-1)n+1eq\f(nn+1,2).【答案】12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1eq\f(nn+1,2)4.觀察下列各式:72=49,73=343,74=2041,…,則72013的末兩位數字為________.【導學號:01580032】【解析】因為71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,…,所以這些數的末兩位數字呈周期性出現,且周期T=4.又2013=4×503+1,所以72013的末兩位數字與71的末兩位數字相同,為07.【答案】075.設函數f(x)=eq\f(x,x+2)(x>0),觀察:f1(x)=f(x)=eq\f(x,x+2),f2(x)=f((f1(x))=eq\f(x,3x+4),f3(x)=f((f2(x))=eq\f(x,7x+8),f4(x)=f((f3(x))=eq\f(x,15x+16),…根據以上事實,由歸納推理可得:當n∈N*且n≥2時,fn(x)=f(fn-1(x))=________.【解析】函數結果的分母中x項系數所組成的數列為1,3,7,15,…,可推知該數列的通項公式為an=2n-1.分母中常數項依次為2,4,8,16,…,其通項為2n.又函數中,分子都是x.∴當n≥2時,fn(x)=f(fn-1(x))=eq\f(x,2n-1x+2n).【答案】eq\f(x,2n-1x+2n)6.(2023·青島高二檢測)容易計算2×5=10,22×55=1210,222×555=123210,2222×5555=12343210.根據此規律猜想22…2eq\o(2,\s\do4(9位))×55…5eq\o(5,\s\do4(9位))所得結果由左向右的第八位至第十位的三個數字依次為________.【解析】由已知可歸納出22…2eq\o(2,\s\do4(9位))×55…5eq\o(5,\s\do4(9位))=123456789876543210,所得結果由左向右的第八位至第十位的三個數字依次為898.【答案】8987.(2023·東北三校高二聯考)某種平面分形圖如圖2-1-5所示,一級分形圖是由一點出發的三條線段,長度均為1,兩兩夾角為120°;二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發再生成兩條長度為原來的eq\f(1,3)的線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°,…,依此規律得到n級分形圖.圖2-1-5則n級分形圖中共有________條線段.【解析】分形圖的每條線段的末端出發再生成兩條線段,由題圖知,一級分形圖中有3=3×2-3條線段,二級分形圖中有9=3×22-3條線段,三級分形圖中有21=3×23-3條線段,按此規律得n級分形圖中的線段條數an=3·2n-3(n∈N*).【答案】3·2n-3(n∈N*)8.把正整數按一定的規則排成了如圖2-1-6所示的三角形數表,設aij(i,j∈N*)是位于這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數第j行.如a42=8,若aij=2009.則i和j的和為________.124357681012911131517141618202224…【解析】由三角形數表可以看出其奇數行為奇數列,偶數行為偶數列,2009=2×1005-1,所以2009為第1005個奇數,又前31個奇數行內數的個數的和為961,前32個奇數行內數的個數的和為1024,故2009在第32個奇數行內,所以i=63,因為第63行的第一個數為2×962-1=1923,2009=1923+2(m-1),所以m=44,即j=44,所以i+j=107.【答案】107二、解答題9.已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1且Sn-1+eq\f(1,Sn)+2=0(n≥2),計算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達式.【解】當n=1時,S1=a1=1;當n=2時,eq\f(1,S2)=-2-S1=-3,∴S2=-eq\f(1,3);當n=3時,eq\f(1,S3)=-2-S2=-eq\f(5,3),∴S3=-eq\f(3,5);當n=4時,eq\f(1,S4)=-2-S3=-eq\f(7,5),∴S4=-eq\f(5,7).猜想:Sn=-eq\f(2n-3,2n-1)(n∈N*)10.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數.他們研究過如圖2-1-6所示的三角形數:圖2-1-6將三角形數1,3,6,10,…記為數列{an},將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn},可以推測:(1)b2014是數列{an}的第幾項?(2)用k表示b2k-1.【解】(1)an=1+2+…+n=eq\f(nn+1,2),b1=eq\f(4×5,2)=a4,b2=eq\f(5×6,2)=a5,b3=eq\f(9×2×5,2)=a9,b4=eq\f(2×5×11,2)=a10,b5=eq\f(14×3×5,2)=a14,b6=eq\f(3×5×16,2)=a15,…b2014=eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2014,2)×5))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2014,2)×5+1)),2)=a5035.即b2014是數列{an}的第5035項.(2)由(1)知b2k-1=eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k-1+1,2)×5-1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k-1+1,2)×5)),2)=eq\f(5k5k-1,2).能力提升]1.已知f(x)=eq\f(x,1+x),x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N*,則f2014(x)的表達式為________.【解析】由f1(x)=eq\f(x,1+x)?f2(x)=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,1+x)))=eq\f(\f(x,1+x),1+\f(x,1+x))=eq\f(x,1+2x);又可得f3(x)=f(f2(x))=eq\f(\f(x,1+2x),1+\f(x,1+2x))=eq\f(x,1+3x),故可猜想f2014(x)=eq\f(x,1+2014x).【答案】eq\f(x,1+2014x)2.觀察下列等式:eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)=1-eq\f(1,22),eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)+eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)=1-eq\f(1,3×22),eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)+eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)+eq\f(5,3×4)×eq\f(1,23)=1-eq\f(1,4×23),…,由以上等式推測到一個一般的結論:對于n∈N*,eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)+eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)+…+eq\f(n+2,nn+1)×eq\f(1,2n)=________.【解析】觀察所給等式知,第n個等式的右邊為1-eq\f(1,n+1×2n).【答案】1-eq\f(1,n+1×2n)3.已知sin230°+sin290°+sin2150°=eq\f(3,2),sin25°+sin265°+sin2125°=eq\f(3,2).通過觀察上述兩等式的規律,請寫出一個一般性的命題:___________________.【答案】sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)=eq\f(3,2)4.某少數民族的刺繡有著悠久的歷史,圖2-1-6①②③④所示為她們刺繡的最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構成的,小正方形數越多,刺繡越漂亮.現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同),設第n個圖形包含f(n)個小正方形.圖2-1-6(1)求f(5)的值;(2)利用合情推理的“歸納推理思想”,歸納出f(n+1)與f(n)之間的關系式,并根據你得到的關系式求出f(n)的表達式;(3)求eq\f(1,f1)+eq\f(1,f2-1)+eq\f(1,f3-1)+…+eq\f(1,fn-1)的值.【解】(1)f(5)=41.(2)f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,……由上式規律,得f(n+1)-f(n)=4n.∴f(n+1)=f(n)+4n,f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=2n2-2n+1.(3)當n≥2時,eq\f(1,fn-1)=eq\f(1,2nn-1)=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n-1)-\f(1,n))),∴eq\f(1,f1)+eq\f(1,f2-1)+eq\f(1,f3-1)+…+eq\f(1,fn-1)=1+eq\f(1,2)e
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