第三節二項式定理1.二項式定理二項式定理(a+b)n=(n∈N+)二項式通項Tr+1=,它表示第____項二項式系數二項展開式中各項的系數為r+12.二項式系數的性質性質性質描述對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即和的性質(a+b)n的展開式的各個二項式系數的和等于__，即.2n判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)是二項展開式的第k項.()(2)通項

中的a與b不能互換.()(3)(a+b)n的展開式中某一項的二項式系數與a,b無關.()(4)(a+b)n某項的系數是該項中非字母因數部分，包括符號等，與該項的二項式系數不同.()【解析】(1)錯誤.由二項展開式通項的定義可知：應是二項展開式的第k+1項.(2)正確.通項

中的a與b如果互換，則它將成為(b+a)n的第k+1項.(3)正確.因為二項式(a+b)n的展開式中第k+1項的二項式系數為，顯然它與a,b無關.(4)正確.因為二項展開式中項的系數是由該項中非字母因數部分，包括符號構成的，一般情況下，不等于二項式系數.答案:(1)×(2)√(3)√(4)√

1.(2＋x)9展開式的二項式系數之和為()(A)29(B)39

(C)1

(D)210【解析】選A.因為(a＋b)n展開式的二項式系數之和為2n，所以(2＋x)9展開式的二項式系數之和為29.2.(4x－2－x)6(x∈R)展開式中的常數項是()(A)-20(B)-15

(C)15

(D)20【解析】選C.Tk＋1＝，k＝4時，12-3k＝0，故第5項是常數項，T5＝(-1)4＝15.3.(x+1)8的展開式中x3

的系數是________(用數字作答).【解析】(x+1)8的展開式中x3的系數是

=56.答案:564.在(1+x)3+(1+)3+(1+)3的展開式中，x的系數為_____(用數字作答).【解析】由條件易知(1+x)3+(1+)3+(1+)3展開式中x的系數分別是，即所求系數是3+3+1=7.答案：7

5.在(x-y)10的展開式中，x7y3的系數與x3y7的系數之和等于_________.【解析】Tr＋1＝(-1)r，所以有答案：-240考向1求二項展開式中的項或項的系數【典例1】(1)(2012·天津高考)在()5的二項展開式中，x的系數為()(A)10(B)-10

(C)40

(D)-40(2)(2012·安徽高考)(x2+2)(-1)5的展開式的常數項是()(A)-3(B)-2

(C)2

(D)3【思路點撥】(1)可利用二項展開式的通項，求x的系數.(2)先將(x2+2)(-1)5看作是兩個因式相乘的形式，根據展開式中的每一項是由每個因式各取一項相乘得到的進行分類討論.【規范解答】(1)選D.Tr+1=(-1)r·(2x2)5-r·x-r=(-1)r·25-rx10-3r，令10-3r=1,則r=3，∴T4=-·22x=-40x,∴x的系數為-40.(2)選D.第一個因式取x2，第二個因式取得：1×(-1)4=5；第一個因式取2，第二個因式取(-1)5得：2×(-1)5=-2，∴展開式的常數項是5+(-2)=3.【互動探究】在本例題(1)中，x的整式項有幾項？分別是第幾項？【解析】由本例題(1)的解析可知：Tr+1=(-1)r··(2x2)5-r·x-r=(-1)r·25-rx10-3r.又因為r=0,1,2,3,4,5，所以當r=0,1,2,3時，分別是x的整式項，共有4項.它們分別是第一項、第二項、第三項和第四項.【拓展提升】求二項展開式中的項或項的系數的方法(1)展開式中常數項、有理項的特征是通項式中未知數的指數分別為零和整數.解決這類問題時，先要合并通項式中同一字母的指數，再根據上述特征進行分析.(2)有關求二項展開式中的項、系數、參數值或取值范圍等，一般要利用通項公式，運用方程思想進行求值，通過解不等式(組)求取值范圍.【提醒】二項展開式某一項的系數是指該項中字母前面的常數值(包括正負符號)，它與a,b的取值有關，而二項式系數與a,b的取值無關.【變式備選】(2013·西安模擬)(1+2x)n的展開式中x3的系數等于x2的系數的4倍，則n等于__________.【解析】∵Tr+1=(2x)r=2r

xr,∴x3的系數是23，x2的系數是22.∴即,解得n=8.答案：8考向2二項式系數和或各項系數和【典例2】(1)(2013·景德鎮模擬)若(x-)n的展開式中第3項的二項式系數為15，則展開式中所有項的系數之和為()(A)(B)(C)(D)(2)(1+ax+by)n展開式中不含x的項的系數的和為243，不含y的項的系數的和為32，則a,b,n的值可能為()(A)a=2,b=-1,n=5(B)a=-2,b=-1,n=6(C)a=-1,b=2,n=6

(D)a=1,b=2,n=5(3)已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，則a1+a2+a3+…+a8=_________.【思路點撥】(1)根據題意，結合二項式定理可得=15,解可得n=6,將其代入二項式，并令x=1,計算(x-)6的值,可得答案.(2)采用賦值法，依據題意分別令x=0,y=1與x=1,y=0即可得出a,b,n的值.(3)采用賦值法，先求出a0+a1+a2+a3+…+a8的值,再求出a0的值即可求出所求.【規范解答】(1)選C.由二項式定理，(x-)n的展開式中第3項的二項式系數是,又由題意，其展開式中第3項的二項式系數是15，則

=15,解得n=6,在(x-)6中，令x=1,可得其展開式中所有項的系數之和為()6=，故選C.(2)選D.令x=0,y=1得(1+b)n=243=35；令x=1,y=0得(1+a)n=32=25，因此，a=1,b=2,n=5，故選D.(3)令x=1，則a0+a1+a2+a3+…+a8=2+22+…+28=510；令x=0，則a0=8，所以a1+a2+a3+…+a8=502.答案:502【拓展提升】賦值法的應用(1)形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x=1即可.(2)對形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x=y=1即可.(3)若f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數之和為f(1)，奇數項系數之和為a0+a2+a4+…=偶數項系數之和為a1+a3+a5+…=【變式訓練】已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|等于()(A)29(B)49

(C)39

(D)1【解析】選B.x的奇數次方的系數都是負值，所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9.所以已知條件中只需令x=-1即可，故選B.考向3二項式定理的綜合應用【典例3】(1)(2012·湖北高考)設a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，則a=()(A)0(B)1

(C)11

(D)12(2)1.025精確到0.01的近似值為________.(3)已知n∈N+,求證：1+2+22+23+…+25n-1能被31整除.【思路點撥】(1)把51分為52-1,再按二項式定理展開即可.(2)把1.025轉化為二項式，展開后，根據精確度的要求取必要的幾項即可.(3)先求和，再將和式化成含有31的二項式，展開即可證明.【規范解答】(1)選D.∵512012=(52-1)2012=∴能被52整除，即能被13整除.若512012+a能被13整除,則a+1能被13整除,又a∈Z，且0≤a≤13，則a=12.(2)1.025=(1+0.02)5=1+·0.02+·0.022+·0.023+·0.024+·0.025，∵×0.022=0.004,×0.023=8×10-5，∴當精確到0.01時，只要展開式的前三項和，1+0.10+0.004=1.104，近似值為1.10.答案：1.10(3)∵1+2+22+23+…+25n-1==25n-1=32n-1=(31+1)n-1==顯然括號內的數為正整數，故原式能被31整除.【互動探究】將本例題(2)中精確到0.01改為精確到0.001，如何求解?【解析】由本例(2)知，當精確到0.001時，只要取展開式的前四項的和,即1+0.10+0.004+0.00008=1.10408，所以近似值為1.104.【拓展提升】1.整除問題的解題思路利用二項式定理找出某兩個數(或式)之間的倍數關系，是解決有關整除性問題和余數問題的基本思路，關鍵是要合理地構造二項式，并將它展開進行分析判斷.2.求近似值的基本方法利用二項式定理進行近似計算：當n不很大，|x|比較小時，(1+x)n≈1+nx.【變式備選】若能被7整除，則x,n的值可能為()(A)x=4,n=3(B)x=4,n=4(C)x=5,n=4

(D)x=6,n=5【解析】選C.=(1+x)n-1，當x=5,n=4時，(1+x)n-1=64-1=35×37，能被7整除，故選C.【易錯誤區】某項的系數與某項的二項式系數不清致誤【典例】(2012·福建高考)(a+x)4的展開式中x3的系數等于8，則實數a=________.【誤區警示】本題易出現的錯誤主要有兩個方面(1)誤以為x3的二項式系數是x3的系數.(2)通項中字母顛倒造成失誤.【規范解答】因為(a+x)4的展開式的通項為Tk+1=，由題意知，當k=3時，所以，a=2.答案:2【思考點評】1.某項的二項式系數與某項的系數二項展開式中的二項式系數為

(k=0,1,2,…,n)，與其他字母數值無關；而展開式中項的系數是由該項中非字母因數部分，包括符號構成的，一般情況下，不等于二項式系數.2.二項展開式的通項(a+b)n展開式中的第k+1項為：Tk+1=其中字母a,b的順序不能改變，否則會出現錯誤.

1.(2012·四川高考)(1+x)7的展開式中x2的系數是()(A)42(B)35

(C)28

(D)21【解析】選D.由二項式定理得，所以x2的系數為21，故選D.2.(2012·廣東高考)(x2+)6的展開式中x3的系數為______(用數字作答).【解析】Tr+1=令12-3r=3，∴r=3,∴展開式中x3的系數為=20.答案:203.(2012·湖南高考)的二項展開式中的常數項為______(用數字作答).【解析】設常數項為第r+1項，則Tr+1==(-1)r·26-r由=0，解得r=3.∴常數項為第四項，T4=(-1)3·23·=-160.答案:-1604.(2012·浙江高考)若將函數f(x)=x5表示為f(x)=a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數，則a3=________.【解析】f(x)=x5=［(x+1)-1］5，則a3==10．答案:105.(2012·陜西高考)(a+x)5展開式中x2的系數為10，則實數a的值為_______.【解析】二項展開式的通項公式是Tr+1=，當r=2時，T3=所以10a3=10,所以a=1.答案：11.若(1+mx)6=a0+a1x+a2