三角形與全等三角形復習要點梳理

1．三角形的邊、角關系三角形的任意兩邊之和

第三邊；三角形的內角和等于

．2．三角形的分類按角可分為

和

，按邊可分為

和

．180°大于直角三角形斜三角形不等邊三角形等腰三角形要點梳理

3．三角形的主要線段(1)角平分線：一個角的頂點和這個角的平分線與對邊的交點之間的線段叫做三角形的角平分線；三角形三條角平分線的交點，則叫三角形的內心，它到各邊的距離相等．(2)中線：連接三角形的一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線；三角形三條中線的交點，叫三角形的重心．要點梳理

(3)高：三角形的一個頂點和它對邊所在直線的垂線段叫做三角形的高；三角形三條高線的交點，叫三角形的垂心．(4)中位線：連接三角形兩邊中點的線段，叫做三角形的中位線．(5)垂直平分線：三角形三邊的垂直平分線的交點，叫三角形的外心，它到各頂點的距離相等；銳角三角形的外心在形內，鈍角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜邊中點．要點梳理

4．全等三角形的性質和判定(1)性質：全等三角形對應邊相等，對應角相等．注意：全等三角形對應邊上的高、中線相等；對應角的平分線相等；全等三角形的周長、面積也相等．要點梳理

(2)判定：①

(SAS)；②

(ASA)；③

.(AAS)；④

對應相等的兩個三角形全等(SSS)；⑤

對應相等的兩個直角三角形全等(HL)．兩邊和夾角對應相等的兩個三角形全等兩角和夾邊對應相等的兩個三角形全等兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等三邊斜邊和一條直角邊要點梳理

兩種思考途徑(1)當圖形明顯具有對稱性(軸對稱或中心對稱)或旋轉性時，思考途徑是：從居于對稱位置的線、角或部分證相等或全等入手，或由前一次全等為后一次全等提供所缺的條件，或利用特殊三角形、特殊四邊形的性質提供所缺的條件；1．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AB＝AD，CB＝CD，若連接AC，BD相交于點O，則圖中全等三角形共有(C)A．1對 B．2對C．3對 D．4對

隨堂練習隨堂練習2．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D在邊AB上，使DB＝BC，過點D作EF⊥AC，分別交AC于點E，CB的延長線于點F.求證：AB＝BF.

3．(2013·陜西)如圖，∠AOB＝90°，OA＝OB，直線l經過點O，分別過A，B兩點作AC⊥l交l于點C，BD⊥l交l于點D.求證：AC＝OD.三角形的三邊關系【例1】

(1)(2013·宜昌)下列每組數分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是(

)A．1，2，6

B．2，2，4

C．1，2，3

D．2，3，4(2)(2013·德陽)如果三角形的兩邊分別為3和5，那么連接這個三角形三邊中點所得的三角形的周長可能是(

)A．5.5B．5C．4.5D．4DA【點評】三角形三邊關系性質的實質是“兩點之間，線段最短”．根據三角形的三邊關系，已知三角形的兩邊a，b，可確定三角形第三邊長c的取值范圍|a－b|＜c＜a＋b.1．(1)(2014·宜昌)已知三角形兩邊長分別為3和8，則該三角形第三邊的長可能是(

)

A．5

B．10

C．11

D．12

(2)(2013·濱州)若從長度分別為3，5，6，9的四條線段中任取三條，則能組成三角形的概率為(

)

A.12

B.34

C.13

D.14

BA三角形的內角、外角的性質

【例2】

(1)(2014·赤峰)如圖，把一塊含有30°角(∠A＝30°)的直角三角板ABC的直角頂點放在矩形桌面CDEF的一個頂點C處，桌面的另一個頂點F與三角板斜邊相交于點F，如果∠1＝40°，那么∠AFE＝(

)A．50°B．40°C．20°D．10°D(2)一個零件的形狀如圖所示，按規定∠A＝90°，∠B和∠C分別是32°和21°，檢驗工人量得∠BDC＝148°，就斷定這個零件不合格，請說明理由．解：(2)延長BD交AC于E.∵∠DEC是△ABE的外角，∴∠DEC＝∠A＋∠B＝90°＋32°＝122°.

同理∠BDC＝∠C＋∠DEC＝21°＋122°＝143°≠148°，∴這個零件不合格

2．(1)(2013·寧夏)如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處，若∠A＝22°，則∠BDC等于()A．44°B．60°C．67°D．77°C(2)如圖，P是△ABC內一點，延長BP交AC于點D，用“＞”表示∠BPC，∠BDC，∠BAC之間的關系．解：∵∠BPC是△PCD的外角，∴∠BPC＞∠BDC，同理∠BDC＞∠BAC，∴∠BPC＞∠BDC＞∠BAC全等三角形判定的運用【例3】

(1)(2014·深圳)如圖，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一個條件無法證明△ABC≌△DEF()A．AC∥DFB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．∠ACB＝∠FC(2)(2013·婁底)如圖，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD應添加的條件是

．(添加一個條件即可)∠B＝∠C或AE＝AD【點評】判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．3．(1)(2013·綏化)如圖，A，B，C三點在同一條直線上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，請添加一個適當的條件

，使得△EAB≌△BCD.AE＝CB(2)(2014·邵陽)如圖，已知點A，F，E，C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.①從圖中任找兩組全等三角形；②從①中任選一組進行證明．解：(2)①△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；②∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝FC，

在△ABE和△CDF中，??í?ì∠1＝∠2，∠ABE＝∠CDF，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(AAS)

運用全等三角形的性質【例4】已知：如圖，在△ABC中，D是BC的中點，ED⊥DF，求證：BE＋CF＞EF.解：證明：延長ED到M，使DM＝ED，連接CM，FM.∵D是BC的中點，∴BD＝CD.在△EDB與△MDC中，??í?ìBD＝DC，∠EDB＝∠CDM，ED＝DM，∴△EDB≌△MDC(SAS)，∴BE＝CM.在△FMC中，CF＋CM＞MF，又∵ED⊥DF，ED＝DM，∴EF＝FM.∴CF＋CM＞EF，即CF＋BE＞EF

【點評】利用中線加倍延長法，把BE，CF，EF集中在一個三角形中，利用三角形的兩邊之和大于第三邊來證．4．(2014·重慶)如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC.(1)求證：BE＝CF；(2)在AB上取一點M，使BM＝2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.求證：①ME⊥BC；②DE＝DN.①

如圖，過點E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，∴HE＝BH，

②

∠BEH＝45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE＝HE，∴DE＝BH＝HE，∵BM＝2DE，∴HE＝HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH＝45°，∴∠BEM＝45°＋45°＝90°，∴ME⊥BC

②由題意得，∠CAE＝45°＋12×45°＝67.5°，∴∠CEA＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE＝∠CEA＝67.5°，∴AC＝CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，??í?ìCM＝CM，AC＝CE，∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，∴∠ACM＝∠ECM＝12×45°＝22.5°，又∵∠DAE＝12×45°＝22.5°，∴∠DAE＝∠ECM，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝CD＝12BC，在△ADE和△CDN中，?íì∠DAE＝∠ECM，AD＝CD，∠ADE＝∠CDN，∴△ADE≌△CDN(ASA)，∴DE＝DN

試題如圖，已知D是△ABC的邊BC上的一點，E是AD上的一點，EB＝EC，∠1＝∠2.求證：∠BAE＝∠CAE.

錯解證明：在△AEB和△AEC中，∵AE＝AE，EB＝EC，∠1＝∠2，∴△AEB≌△AEC(SSA)，∴∠BAE＝∠CAE.

剖析(1)先看一個事實，如圖，將等腰△ABC的底邊BC延長線上的任一點和頂點A相連，所得的△DAB和△DAC無疑是不全等的，由此可知，有兩邊及其一邊的對