學業分層測評(十五)(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、填空題1．在直角坐標系中，直線eq\r(3)x＋3y－3＝0的斜率是________．【解析】直線eq\r(3)x＋3y－3＝0化為斜截式得y＝－eq\f(\r(3),3)x＋1，故直線的斜率為－eq\f(\r(3),3).【答案】－eq\f(\r(3),3)2．已知直線ax＋by－1＝0在y軸上的截距為－1，且它的傾斜角是直線eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0的傾斜角的2倍，則a＝________，b＝________.【導學號：60420232】【解析】由ax＋by－1＝0在y軸上截距為－1，∴eq\f(1,b)＝－1，b＝－1.又eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0的傾斜角為60°.∴直線ax＋by－1＝0的斜率－eq\f(a,b)＝tan120°，∴a＝－eq\r(3).【答案】－eq\r(3)－13．直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，若l經過原點和第二、四象限，則A，B，C應滿足________．【解析】l過原點，則C＝0，又過二、四象限，則－eq\f(A,B)<0，即eq\f(A,B)>0即AB>0.【答案】AB>0且C＝04．若方程(a2－a－2)x＋(a2＋a－6)y＋a＋1＝0表示垂直于y軸的直線，則a為________．【解析】因為方程表示垂直于y軸的直線，所以a2－a－2＝0且a2＋a－6≠0，解得a＝－1.【答案】－15．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m【解析】該方程類似于直線的一般方程，若它表示一條直線，則x，y的系數不同時為0.解2m2＋m－3＝0，得m＝－eq\f(3,2)或m＝1；解m2－m＝0，得m＝1或m＝0.綜上可知實數需滿足m≠1.【答案】m≠16．直線mx＋my＋x－y－3m【解析】mx＋my＋x－y－3m(x＋y－3)m＋(x－y－1)＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))【答案】(2,1)7．已知直線x－2y＋2k＝0與兩坐標軸圍成的三角形面積不大于1，則實數k的取值范圍是________．【解析】令x＝0，則y＝k；令y＝0，則x＝－2k，所以直線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積是S＝eq\f(1,2)|－2k|·|k|≤1，即k2≤1，所以－1≤k≤1.【答案】[－1,1]8．直線l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的傾斜角大于45°，則a的取值范圍是________．【解析】當a＝－1時，直線l的傾斜角為90°，符合要求；當a≠－1時，直線l的斜率為－eq\f(a,a＋1)，只要－eq\f(a,a＋1)>1或－eq\f(a,a＋1)<0即可，解得－1<a<－eq\f(1,2)或a<－1或a>0.綜上可知，實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(0，＋∞)．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(0，＋∞)二、解答題9．求經過點A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程．【解】(1)當橫截距、縱截距均為零時，設所求的直線方程為y＝kx，將(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－eq\f(2,5)，此時直線方程為y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.(2)當橫截距、縱截距都不是零時，設所求直線方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，將(－5,2)代入所設方程，解得a＝－eq\f(1,2)，此時直線方程為x＋2y＋1＝0.綜上所述，所求直線方程為x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.10．設直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2(1)在x軸上的截距為1；(2)斜率為1；(3)經過定點P(－1，－1)．【解】(1)∵直線過點P′(1,0)，∴m2－2m－3＝2解得m＝3或m＝1.又∵m＝3時，直線l的方程為y＝0，不符合題意，∴m＝1.(2)由斜率為1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，,2m2＋m－1≠0，))解得m＝eq\f(4,3).(3)直線過定點P(－1，－1)，則－(m2－2m－3)－(2m2＋m解得m＝eq\f(5,3)或m＝－2.[能力提升]1．對于直線l：ax＋ay－eq\f(1,a)＝0(a≠0)，下列說法正確的是________(填序號)．(1)無論a如何變化，直線l的傾斜角大小不變；(2)無論a如何變化，直線l一定不經過第三象限；(3)無論a如何變化，直線l必經過第一、二、三象限；(4)當a取不同數值時，可得到一組平行直線．【解析】對于(3)，當a>0時，直線l：ax＋ay－eq\f(1,a)＝0(a≠0)的斜率小于0，則直線l必經過第四象限，故(3)是錯誤的．【答案】(1)(2)(4)2．已知兩直線a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都通過點P(2,3)，則經過兩點Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直線的方程為________．【解析】依題意得2a1＋3b1＋1＝0，這說明Q1(a1，b1)在直線2x＋3y同理，Q2(a2，b2)也在直線2x＋3y＋1＝0上．因為兩點確定一條直線，所以經過兩點Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直線方程為2x＋3y＋1＝0.【答案】2x＋3y＋1＝03．斜率為eq\f(3,4)，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為6的直線方程為________.【導學號：60420233】【解析】設直線方程為y＝eq\f(3,4)x＋b，令y＝0，得x＝－eq\f(4,3)b，∴eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4b,3)))))＝6，∴b＝±3，所以所求直線方程為3x－4y－12＝0或3x－4y＋12＝0.【答案】3x－4y－12＝0或3x－4y＋12＝04．已知直線l的方程為y＝ax＋2a(1)求直線l恒過的一個定點；(2)如果當x∈(－1,1)時，y>0恒成立，求a的取值范圍．【解】(1)原方程可化為y－1＝a(x＋2)，所以直線l恒過定點(－2,1)．(2)令y＝f(x)＝ax＋2a∵f(x)>0對x∈(－1,1)恒成立，且方程y＝ax＋2a＋1表示直線