學業分層測評(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、填空題1．拋物線上一點P到焦點的距離與到準線的距離之和為8，則P到準線的距離為________．【解析】由拋物線的定義可知點P到焦點與準線的距離相等，又因為二者之和為8，故P到準線的距離為4.【答案】42．下列說法中正確的是________(填序號)．①已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2兩點的距離之和等于12的點的軌跡是橢圓；②已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓；③到點F1(－6,0)，F2(6,0)兩點的距離之和等于點M(10,0)到F1，F2的距離之和的點的軌跡是橢圓；④到點F1(－6,0)，F2(6,0)距離相等的點的軌跡是橢圓．【解析】根據橢圓的定義PF1＋PF2>F1F2可知選③.【答案】③3．已知A(1,0)，B(3,0)，動點P滿足|PA－PB|＝a，且點P的軌跡是雙曲線，則實數a的取值范圍是________．【解析】因為AB＝2，且點P的軌跡是雙曲線，則|PA－PB|＝a＜2，即0＜a＜2.【答案】(0,2)4．已知雙曲線的焦點為F1，F2，雙曲線上一點P滿足|PF1－PF2|＝2.若點M也在雙曲線上，且MF1＝4，則MF2＝________.【解析】由雙曲線的定義可知，|MF1－MF2|＝2.又MF1＝4，∴|4－MF2|＝2，解得MF2＝2或6.【答案】2或65．已知點A(－1,0)，B(1,0)．曲線C上任意一點P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))2－eq\o(PB,\s\up6(→))2＝4(|eq\o(PA,\s\up6(→))|－|eq\o(PB,\s\up6(→))|)≠0.則動點P的軌跡是________.【導學號：09390020】【解析】由條件可化簡為PA＋PB＝4，因為4>2＝AB，所以曲線C是橢圓．【答案】橢圓6．若點P到直線x＝－1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡為______．(填“橢圓”、“雙曲線”、“拋物線”)【解析】由題意P到直線x＝－2的距離等于它到點(2,0)的距離，故點P的軌跡為一條拋物線．【答案】拋物線7．已知平面上定點F1，F2及動點M，命題甲：|MF1－MF2|＝2a(a為常數)，命題乙：點M的軌跡是以F1，F2【解析】根據雙曲線的定義，乙?甲，但甲D乙，只有當0<2a<|F1F2|時，其軌跡才是雙曲線．故甲是乙的必要不充分條件．【答案】必要不充分8．△ABC的頂點A(0，－4)，B(0,4)，且4(sinB－sinA)＝3sinC，則頂點C的軌跡是________．【解析】運用正弦定理，將4(sinB－sinA)＝3sinC轉化為邊的關系，即4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2R)－\f(a,2R)))＝3×eq\f(c,2R)，則AC－BC＝eq\f(3,4)AB＝6<AB.顯然，頂點C的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的上支去掉點(0,3)．【答案】以A，B為焦點的雙曲線的上支去掉點(0,3)二、解答題9．已知動點M的坐標(x，y)滿足方程2(x－1)2＋2(y－1)2＝(x＋y＋6)2，試確定動點M的軌跡．【解】方程可變形為eq\f(\r(x－12＋y－12),\f(|x＋y＋6|,\r(2)))＝1，∵eq\r(x－12＋y－12)表示點M到點(1,1)的距離，eq\f(|x＋y＋6|,\r(2))表示點M到直線x＋y＋6＝0的距離．又由eq\f(\r(x－12＋y－12),\f(|x＋y＋6|,\r(2)))＝1知點M到定點(1,1)的距離等于點M到直線x＋y＋6＝0的距離．由拋物線的定義知點M的軌跡是拋物線．10．一炮彈在某處爆炸，在F1(－5000,0)處聽到爆炸聲的時間比在F2(5000,0)處晚eq\f(300,17)s，已知坐標軸的單位長度為1m，聲速為340m/s，爆炸點應在什么樣的曲線上？【解】由聲速為340m/s，可知F1，F2兩處與爆炸點的距離差為340×eq\f(300,17)＝6000(m)，且小于F1F2＝10000(m)，因此爆炸點在以F1，F2為焦點的雙曲線上，又因為爆炸點離F1處比F2處更遠，所以爆炸點應在靠近F2處的一支雙曲線上．[能力提升]1．已知點P(x，y)的坐標滿足eq\r(x－12＋y－12)－eq\r(x＋32＋y＋32)＝±4，則動點P的軌跡是________．【解析】方程表示點到(1,1)和(－3，－3)兩點的距離差，∵4<eq\r(1＋32＋1＋32)，∴點P的軌跡是雙曲線．【答案】雙曲線2．已知橢圓上一點P到兩焦點F1，F2的距離之和為20，則PF1·PF2的最大值為________.【導學號：09390021】【解析】由條件知PF1＋PF2＝20，∴PF1·PF2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PF1＋PF2,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2＝100.當且僅當PF1＝PF2時取得等號．【答案】1003．如圖2-1-1，一圓形紙片的圓心為O，F是圓內一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是________．圖2-1-1【解析】連結FP，∵M，F關于直線CD對稱，∴PF＝PM，∴PF＋PO＝OP＋PM＝OM(定值)．∵OM>OF，∴點P的軌跡是以F，O為焦點的橢圓．【答案】以F，O為焦點的橢圓4．在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sinB，sinA，sinC成等差數列．(1)頂點A的軌跡是什么？(2)指出軌跡的焦點和焦距．【解】(1)由s