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第2章電磁場的基本規(guī)律2

2.1電荷守恒定律2.2真空中靜電場的基本規(guī)律2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.4媒質(zhì)的電磁特性2.5電磁感應定律和位移電流2.6麥克斯韋方程組2.7電磁場的邊界條件本章討論內(nèi)容32.1

電荷守恒定律

電磁場物理模型中的基本物理量可分為源量和場量兩大類。電荷電流電場磁場（運動）

源量為電荷

和電流

，分別用來描述產(chǎn)生電磁效應的兩類場源。電荷是產(chǎn)生電場的源，電流是產(chǎn)生磁場的源。4本節(jié)內(nèi)容

2.1.1電荷與電荷密度

2.1.2電流與電流密度

2.1.3電荷守恒定律5?

電荷是物質(zhì)基本屬性之一。

?1897年英國科學家湯姆遜(J.J.Thomson)在實驗中發(fā)現(xiàn)了電子。

?1907—1913年間，美國科學家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實驗，精確測定電子電荷的量值為

e=1.60217733×10-19(單位：C)確認了電荷的量子化概念。換句話說，e是最小的電荷，而任何帶電粒子所帶電荷都是e的整數(shù)倍。

?宏觀分析時，電荷常是數(shù)以億計的電子電荷e的集合，故可不考慮其量子化的事實，而認為電荷量q可任意連續(xù)取值。2.1.1電荷與電荷密度61.電荷體密度單位：C/m3

(庫/米3

)

根據(jù)電荷密度的定義，如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度，則區(qū)域V中的總電荷q為

電荷連續(xù)分布于體積V內(nèi)，用電荷體密度來描述其分布

理想化實際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式：

點電荷、體分布電荷、面分布電荷、線分布電荷7

若電荷分布在薄層上，當僅考慮薄層外、距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場，而不分析和計算該薄層內(nèi)的電場時，可將該薄層的厚度忽略，認為電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。

2.電荷面密度單位:C/m2

(庫/米2)

如果已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電荷q為8

若電荷分布在細線上，當僅考慮細線外、距細線的距離要比細線的直徑大得多處的電場，而不分析和計算線內(nèi)的電場時，可將線的直徑忽略，認為電荷是線分布。線分布的電荷可用電荷線密度表示。

3.電荷線密度

如果已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電荷q為

單位:C/m(庫/米)9

對于總電荷為q

的電荷集中在很小區(qū)域V的情況，當不分析和計算該電荷所在的小區(qū)域中的電場，而僅需要分析和計算電場的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠，即場點距源點的距離遠大于電荷所在的源區(qū)的線度時，小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電荷為q

的點電荷。點電荷的電荷密度表示4.點電荷102.1.2

電流與電流密度說明：電流通常是時間的函數(shù)，不隨時間變化的電流稱為恒定電流，用I

表示。

存在可以自由移動的電荷;

存在電場。單位:A（安）電流方向:正電荷的流動方向電流

——電荷的定向運動而形成，用i表示，其大小定義為：單位時間內(nèi)通過某一橫截面S

的電荷量，即形成電流的條件：11

電荷在某一體積內(nèi)定向運動所形成的電流稱為體電流，用電流密度矢量來描述。單位：A/m2（安/米2）

。

一般情況下，在空間不同的點，電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中，常用體電流、面電流和線電流來描述電流的分別狀態(tài)。

1.體電流

流過任意曲面S的電流為體電流密度矢量正電荷運動的方向122.面電流

電荷在一個厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運動所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布面電流密度矢量d0單位：A/m（安/米）

。通過薄導體層上任意有向曲線

的電流為正電荷運動的方向132.1.3

電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律:電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體。電流連續(xù)性方程積分形式微分形式流出閉曲面S的電流等于體積V內(nèi)單位時間所減少的電荷量恒定電流的連續(xù)性方程恒定電流是無源場，電流線是連續(xù)的閉合曲線，既無起點也無終點電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。142.2真空中靜電場的基本規(guī)律靜電場：由靜止電荷產(chǎn)生的電場。重要特征：對位于電場中的電荷有電場力作用。本節(jié)內(nèi)容

2.2.1庫侖定律電場強度

2.2.2靜電場的散度與旋度151.庫侖（Coulomb）定律(1785年)

真空中靜止點電荷q1對q2的作用力:

，滿足牛頓第三定律。

大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；2.2.1庫侖定律電場強度

方向沿q1和q2連線方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；說明：16電場力服從疊加定理

真空中的N個點電荷（分別位于）對點電荷（位于）的作用力為qq1q2q3q4q5q6q7172.電場強度

空間某點的電場強度定義為置于該點的單位點電荷（又稱試驗電荷）受到的作用力，即如果電荷是連續(xù)分布呢？

根據(jù)上述定義，真空中靜止點電荷q

激發(fā)的電場為——

描述電場分布的基本物理量

電場強度矢量——試驗正電荷

18小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場面密度為的面分布電荷的電場強度線密度為的線分布電荷的電場強度體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場強度193.幾種典型電荷分布的電場強度（無限長）（有限長）均勻帶電圓環(huán)均勻帶電直線段均勻帶電直線段的電場強度：均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場強度：20——電偶極矩+q電偶極子zol－q電偶極子的場圖等位線電場線

電偶極子是由相距很近、帶等值異號的兩個點電荷組成的電荷系統(tǒng)，其遠區(qū)電場強度為

例2.2.1計算電偶極子的電場強度。21

例2.2.2

計算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強度。

解：如圖所示，環(huán)形薄圓盤的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤上取面積元

，其位置矢量為，它所帶的電量為。而薄圓盤軸線上的場點的位置矢量為，因此有P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSa故由于222.2.2靜電場的散度與旋度1.靜電場散度與高斯定理回顧1.1矢量場通量的概念規(guī)定：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量。

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是面積元矢量曲面S的通量：23通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。1.2通量的物理意義閉合曲面內(nèi)部有正通量源閉合曲面內(nèi)部有負通量源閉合曲面內(nèi)部無通量源241.3矢量場的散度

為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。

散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。251.4散度定理（高斯定理）體積的剖分VS1S2en2en1S

從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即

散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應用。矢量場的散度在體積V上的體積分等于矢量場在限定該體積的閉合面S上的面積分。262.2.2靜電場的散度與旋度1.5靜電場的散度（微分形式）1.靜電場散度與高斯定理小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場強度真空中靜止點電荷q

激發(fā)的電場為——試驗正電荷27參考P13例1.3.1參考P13例1.3.1(2.2.11)28假設(shè)電荷分布在區(qū)域V內(nèi)(2.2.12)靜電場的散度（微分形式）靜電場的散度：高斯定理的微分形式，表明空間任意一點的電場強度與該處的電荷密度有關(guān)，靜電荷是靜電場的通量源，電荷密度為正，稱為發(fā)散源；電荷密度為負，稱為匯聚源292.2.2靜電場的散度與旋度1.靜電場散度與高斯定理1.6靜電場的高斯定理（積分形式）高斯定理積分形式表明：電場強度矢量穿過閉合曲面S的通量等于該閉合曲面S所圍體積的總電荷與之比。高斯定理表明：靜電場是有源場，電力線起始于正電荷，終止于負電荷。30

矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即2.1矢量場的旋度（）

2.1靜電場的旋度（微分形式）如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。31

矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即2.1矢量場的旋度（）

2.1靜電場的旋度（微分形式）（1）環(huán)流面密度稱為矢量場在點M處沿方向

的環(huán)流面密度。特點：其值與點M處的方向

有關(guān)。

過點M

作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當S0時，極限32為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。

2.矢量場的旋度（）

2.1靜電場的旋度（微分形式）概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度33（3）旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零34（4）斯托克斯定理

斯托克斯定理表明：矢量在閉合曲線上的線積分等于其旋度在閉合曲面上的面積分。是曲面積分和曲線積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即352.2.2靜電場的散度與旋度2.靜電場旋度體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場強度362.2.2靜電場的散度與旋度2.靜電場旋度

右邊括號內(nèi)是一個標量函數(shù)，任何一個標量函數(shù)的梯度的旋度恒等于0，靜電場是無旋場。372.2.2靜電場的散度與旋度2.靜電場旋度

右邊括號內(nèi)是一個標量函數(shù)，任何一個標量函數(shù)的梯度的旋度恒等于0，靜電場是無旋場。根據(jù)斯托克斯定理在靜電場E中，沿任意閉合路徑C的積分恒等于0物理含義：單位正電荷沿靜電場中的任何一個閉合路徑移動一周，電場力不作功。382.2.2靜電場的散度與旋度環(huán)路定理表明：靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑無關(guān)。靜電場的旋度（微分形式）2.靜電場旋度與環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理（積分形式）2.1靜電場的旋度（微分形式）39

在電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定理計算電場強度。

3.利用高斯定理計算電場強度具有以下幾種對稱性的場可用高斯定理求解：

球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。帶電球殼多層同心球殼均勻帶電球體aOρ040

無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。

軸對稱分布：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。41

例2.2.2

求真空中均勻帶電球體的場強分布。已知球體半徑為a

，電荷密度為0。

解：（1）球外某點的場強（2）求球體內(nèi)一點的場強ar0rrEa(r≥a)（r<a）由由422.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律本節(jié)內(nèi)容

2.3.1安培力定律磁感應強度

2.3.2恒定磁場的散度與旋度43亥姆霍茲定理:

若矢量場在無限空間中處處單值，且其導數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為式中：

亥姆霍茲定理表明：在無界空間區(qū)域，矢量場可由其散度及旋度確定。44有界區(qū)域

在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關(guān)。

恒定電流產(chǎn)生恒定磁場（靜磁場）恒定磁場的性質(zhì)由其散度和旋度來描述：磁感應強度矢量451.

安培力定律

安培對電流的磁效應進行了大量的實驗研究，在1821—1825年之間，設(shè)計并完成了電流相互作用的精巧實驗，得到了電流相互作用力公式，稱為安培力定律。庫侖力定律2.3.1安培力定律磁感應強度滿足牛頓第三定律1.庫侖（Coulomb）定律(1785年)

真空中靜止點電荷q1對q2的作用力:461.

安培力定律

實驗表明，真空中的載流回路C1對載流回路C2的作用力

載流回路C2對載流回路C1的作用力安培力定律2.3.1安培力定律磁感應強度滿足牛頓第三定律為電流元472.磁感應強度

電流在其周圍空間中產(chǎn)生磁場，描述磁場分布的基本物理量是磁感應強度，單位為T（特斯拉）。

磁場的重要特征是對場中的電流磁場力作用，載流回路C1對載流回路C2的作用力是回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場對回路C2中的電流I2的作用力。

根據(jù)安培力定律，有其中電流I1在電流元處產(chǎn)生的磁感應強度48任意電流回路C產(chǎn)生的磁感應強度電流元產(chǎn)生的磁感應強度體電流產(chǎn)生的磁感應強度面電流產(chǎn)生的磁感應強度畢奧-薩伐爾定律（2.3.6）（2.3.4）493.幾種典型電流分布的磁感應強度

載流直線段的磁感應強度：

載流圓環(huán)軸線上的磁感應強度：（有限長）（無限長）載流直線段載流圓環(huán)50

，而場點P

的位置矢量為，故得

解：設(shè)圓環(huán)的半徑為a，流過的電流為I。為計算方便取線電流圓環(huán)位于xOy平面上，則所求場點為P(0,0,z),如圖所示。采用圓柱坐標系，圓環(huán)上的電流元為,其位置矢量為

例2.3.1

計算線電流圓環(huán)軸線上任一點的磁感應強度。載流圓環(huán)軸線上任一點P(0,0,z)的磁感應強度為51可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應強度只有軸向分量，這是因為圓環(huán)上各對稱點處的電流元在場點P產(chǎn)生的磁感應強度的徑向分量相互抵消。當場點P遠離圓環(huán)，即z

>>

a

時，因，故由于，所以

在圓環(huán)的中心點上，z

=0，磁感應強度最大，即522.3.2

恒定磁場的散度和旋度

1.

恒定磁場的散度與磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理表明：恒定磁場是無源場，磁感應線是無起點和終點的閉合曲線。恒定場的散度（微分形式）磁通連續(xù)性原理（積分形式）安培環(huán)路定理表明：恒定磁場是有旋場，是非保守場、電流是磁場的旋渦源。恒定磁場的旋度（微分形式）2.恒定磁場的旋度與安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理（積分形式）53

解：分析場的分布，取安培環(huán)路如圖，則根據(jù)對稱性，有，故

在磁場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用安培環(huán)路定理計算磁感應強度。

3.利用安培環(huán)路定理計算磁感應強度

例2.3.2

求電流面密度為的無限大電流薄板產(chǎn)生的磁感應強度。54

解選用圓柱坐標系，則應用安培環(huán)路定理，得例2.3.3

求載流無限長同軸電纜產(chǎn)生的磁感應強度。取安培環(huán)路，交鏈的電流為55應用安培環(huán)路定理，得562.4媒質(zhì)的電磁特性

本節(jié)內(nèi)容

2.4.1

電介質(zhì)的極化電位移矢量

2.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場強度

2.4.3媒質(zhì)的傳導特性

媒質(zhì)對電磁場的響應可分為三種情況：極化、磁化和傳導。

描述媒質(zhì)電磁特性的參數(shù)為：介電常數(shù)、磁導率和電導率。572.4.1電介質(zhì)的極化電位移矢量1.電介質(zhì)的極化現(xiàn)象

電介質(zhì)的分子分為無極分子和有極分子。無極分子有極分子無外加電場無極分子有極分子有外加電場E

在電場作用下，介質(zhì)中無極分子的束縛電荷發(fā)生位移，有極分子的固有電偶極矩的取向趨于電場方向，這種現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。

無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。582.極化強度矢量

極化強度矢量

是描述介質(zhì)極化程度的物理量，定義為

——分子的平均電偶極矩

的物理意義：單位體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和。

極化強度與電場強度有關(guān)，其關(guān)系一般比較復雜。在線性、各向同性的電介質(zhì)中，與電場強度成正比，即

——電介質(zhì)的電極化率

E59

由于極化，正、負電荷發(fā)生位移，在電介質(zhì)內(nèi)部可能出現(xiàn)凈余的極化電荷分布，同時在電介質(zhì)的表面上有面分布的極化電荷。3.極化電荷(1)

極化電荷體密度

在電介質(zhì)內(nèi)任意作一閉合面S，只有電偶極矩穿過S

的分子對S

內(nèi)的極化電荷有貢獻。由于負電荷位于斜柱體內(nèi)的電偶極矩才穿過小面元dS，因此dS對極化電荷的貢獻為S

所圍的體積內(nèi)的極化電荷為E

S60(2)

極化電荷面密度

緊貼電介質(zhì)表面取如圖所示的閉合曲面，則穿過面積元的極化電荷為故得到電介質(zhì)表面的極化電荷面密度為614.電位移矢量介質(zhì)中的高斯定理

介質(zhì)的極化過程包括兩個方面：外加電場的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷；極化電荷反過來激發(fā)電場，兩者相互制約，并達到平衡狀態(tài)。無論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場，服從同樣的庫侖定律和高斯定理。自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結(jié)果

介質(zhì)中的電場應該是外加電場和極化電荷產(chǎn)生的電場的疊加，應用高斯定理得到：62任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和

小結(jié)：靜電場是有源無旋場，電介質(zhì)中的基本方程為

引入電位移矢量（單位：C/m2)將極化電荷體密度表達式代入，有則有

其積分形式為

（微分形式），

（積分形式）

63在這種情況下其中稱為介質(zhì)的介電常數(shù)，稱為介質(zhì)的相對介電常數(shù)（無量綱）。*

介質(zhì)有多種不同的分類方法，如：均勻和非均勻介質(zhì)各向同性和各向異性介質(zhì)時變和時不變介質(zhì)線性和非線性介質(zhì)確定性和隨機介質(zhì)5.電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

極化強度與電場強度之間的關(guān)系由介質(zhì)的性質(zhì)決定。對于線性各向同性介質(zhì)，

和

有簡單的線性關(guān)系642.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場強度1.磁介質(zhì)的磁化

介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運動形成分子電流，形成分子磁矩無外加磁場外加磁場B

在外磁場作用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁介質(zhì)的磁化。

無外磁場作用時，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。65B2.磁化強度矢量

磁化強度是描述磁介質(zhì)磁化程度的物理量，定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和，即單位為A/m。663.磁化電流

磁介質(zhì)被磁化后，在其內(nèi)部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱為磁化電流。

考察穿過任意圍線C所圍曲面S的電流。只有分子電流與圍線相交鏈的分子才對電流有貢獻。與線元dl相交鏈的分子，中心位于如圖所示的斜圓柱內(nèi)，所交鏈的電流BC穿過曲面S的磁化電流為（1）磁化電流體密度67由，即得到磁化電流體密度

在緊貼磁介質(zhì)表面取一長度元dl，與此交鏈的磁化電流為（2）磁化電流面密度則即的切向分量684.磁場強度介質(zhì)中安培環(huán)路定理

分別是傳導電流密度和磁化電流密度。

將極化電荷體密度表達式代入，有,即

外加磁場使介質(zhì)發(fā)生磁化，磁化導致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應強度，兩種相互作用達到平衡，介質(zhì)中的磁感應強度B應是所有電流源激勵的結(jié)果：定義磁場強度為：69則得到介質(zhì)中的安培環(huán)路定理為：磁通連續(xù)性定理為小結(jié)：恒定磁場是有源無旋場，磁介質(zhì)中的基本方程為

（積分形式）

（微分形式）70其中，稱為介質(zhì)的磁化率（也稱為磁化系數(shù)）。這種情況下其中稱為介質(zhì)的磁導率，稱為介質(zhì)的相對磁導率（無量綱）。順磁質(zhì)抗磁質(zhì)鐵磁質(zhì)磁介質(zhì)的分類5.磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

磁化強度

和磁場強度

之間的關(guān)系由磁介質(zhì)的物理性質(zhì)決定，對于線性各向同性介質(zhì)，與之間存在簡單的線性關(guān)系：71磁場強度磁化強度磁感應強度

例2.4.1

有一磁導率為μ

，半徑為a的無限長導磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流I，圓柱外是空氣（μ0），試求圓柱內(nèi)外的、和的分布。

解磁場為平行平面場,且具有軸對稱性，應用安培環(huán)路定理，得722.4.3媒質(zhì)的傳導特性

對于線性和各向同性導電媒質(zhì)，媒質(zhì)內(nèi)任一點的電流密度矢量J和電場強度E成正比，表示為這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù)稱為媒質(zhì)的電導率，單位是S/m（西/米）。晶格帶電粒子

存在可以自由移動帶電粒子的介質(zhì)稱為導電媒質(zhì)。在外場作用下，導電媒質(zhì)中將形成定向移動電流。

732.5電磁感應定律和位移電流

本節(jié)內(nèi)容

2.5.1電磁感應定律

2.5.2位移電流

電磁感應定律

——揭示時變磁場產(chǎn)生電場。

位移電流

——揭示時變電場產(chǎn)生磁場。

重要結(jié)論：在時變情況下，電場與磁場相互激勵，形成統(tǒng)一的電磁場。742.5.1電磁感應定律1881年法拉第發(fā)現(xiàn)，當穿過導體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中就會出現(xiàn)感應電流和電動勢，且感應電動勢與磁通量的變化有密切關(guān)系，由此總結(jié)出了著名的法拉第電磁感應定律。負號表示感應電流產(chǎn)生的磁場總是阻止磁通量的變化。1.

法拉第電磁感應定律的表述

當通過導體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時，回路中產(chǎn)生的感應電動勢的大小等于磁通量的時間變化率的負值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即75

設(shè)任意導體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為，則穿過回路的磁通為

ner

B

CS

dlrr

導體回路中有感應電流，表明回路中存在感應電場，回路中的感應電動勢可表示為因而有76

感應電場是由變化的磁場所激發(fā)的電場。感應電場是有旋場。

感應電場不僅存在于導體回路中，也存在于導體回路之外的空間。對空間中的任意回路（不一定是導體回路）C，都有

對感應電場的討論：

若空間同時存在由電荷產(chǎn)生的電場,則總電場應為與之和，即。由于，故有推廣的法拉第電磁感應定律77相應的微分形式為(1)

回路不變，磁場隨時間變化2.引起回路中磁通變化的幾種情況磁通量的變化由磁場隨時間變化引起，因此有(2)

導體回路在恒定磁場中運動(3)

回路在時變磁場中運動動生電動勢78

（1），矩形回路靜止；xbaoyx均勻磁場中的矩形環(huán)L

（3），且矩形回路上的可滑動導體L以勻速運動。

解：(1)均勻磁場

隨時間作簡諧變化，而回路靜止，因而回路內(nèi)的感應電動勢是由磁場變化產(chǎn)生的，故

例2.5.1

長為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場

垂直穿過，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應電動勢。

（2），矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長邊因可滑動導體L以勻速運動而隨時間增大；79(3)矩形回路中的感應電動勢是由磁場變化以及可滑動導體L在磁場中運動產(chǎn)生的，故得(2)均勻磁場

為恒定磁場，而回路上的可滑動導體以勻速運動，因而回路內(nèi)的感應電動勢全部是由導體L在磁場中運動產(chǎn)生的，故得或80

（1）線圈靜止時的感應電動勢；

解:

（1）線圈靜止時，感應電動勢是由時變磁場引起，故

（2）線圈以角速度ω

繞x

軸旋轉(zhuǎn)時的感應電動勢。

例2.5.2

在時變磁場中，放置有一個的矩形線圈。初始時刻，線圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：xyzabB時變磁場中的矩形線圈81

假定時，則在時刻t時，與y

軸的夾角，故

方法一：利用式計算

（2）線圈繞x軸旋轉(zhuǎn)時，的指向?qū)㈦S時間變化。線圈內(nèi)的感應電動勢可以用兩種方法計算。82

上式右端第一項與(1)相同，第二項xyzabB時變磁場中的矩形線圈12234

方法二：利用式計算。83

在時變情況下，安培環(huán)路定理是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問題：隨時間變化的磁場要產(chǎn)生電場，那么隨時間變化的電場是否會產(chǎn)生磁場？2.5.2位移電流

靜態(tài)情況下的電場基本方程在非靜態(tài)時發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實，即時變磁場可以激發(fā)電場。（恒定磁場）（時變場）841.全電流定律而由非時變情況下，電荷分布隨時間變化，由電流連續(xù)性方程有

發(fā)生矛盾在時變的情況下不適用

解決辦法：對安培環(huán)路定理進行修正由將修正為：矛盾解決時變電場會激發(fā)磁場85全電流定律：——

微分形式——

積分形式

全電流定律揭示不僅傳導電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系。862.位移電流密度電位移矢量隨時間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場，故稱“位移電流”。注：在絕緣介質(zhì)中，無傳導電流，但有位移電流。在理想導體中，無位移電流，但有傳導電流。在一般介質(zhì)中，既有傳導電流，又有位移電流。位移電流只表示電場的變化率，與傳導電流不同，它不產(chǎn)生熱效應。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關(guān)重要的一步，它揭示了時變電場產(chǎn)生磁場這一重要的物理概念。87

例2.5.3

海水的電導率為4S/m，相對介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時，位移電流振幅與傳導電流振幅的比值。

解：設(shè)電場隨時間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導電流的振幅值為故88式中的k為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場強度。

例

2.5.4

自由空間的磁場強度為

解

自由空間的傳導電流密度為0，故由式,得89

例2.5.5

銅的電導率、相對介電常數(shù)。設(shè)銅中的傳導電流密度為。試證明：在無線電頻率范圍內(nèi)，銅中的位移電流與傳導電流相比是可以忽略的。而傳導電流密度的振幅值為通常所說的無線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴展到極高頻段（f=30～300GHz），從上面的關(guān)系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。

解：銅中存在時變電磁場時，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為902.6麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組

——宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場的基本方程。

本節(jié)內(nèi)容

2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式

2.6.2麥克斯韋方程組的微分形式

2.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系912.6.1麥克斯韋方程組的積分形式922.6.2麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場產(chǎn)生電場麥克斯韋第三方程表明磁場是無源場，磁感線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場932.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為94時變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時變磁場的激發(fā)源除了傳導電流以外，還有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時變電磁場的電場和磁場不再相互獨立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個整體——

電磁場。電場和磁場分別是電磁場的兩個分量。在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。95在無源空間中，兩個旋度方程分別為

可以看到兩個方程的右邊相差一個負號，而正是這個負號使得電場和磁場構(gòu)成一個相互激勵又相互制約的關(guān)系。當磁場減小時，電場的旋渦源為正，電場將增大；而當電場增大時，使磁場增大，磁場增大反過來又使電場減小。96麥克斯韋方程組時變場靜態(tài)場緩變場迅變場電磁場(EM)準靜電場(EQS)準靜磁場(MQS)靜磁場(MS)小結(jié)：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現(xiàn)象。靜電場(ES)恒定電場(SS)97

解：(1)導線中的傳導電流為忽略邊緣效應時，間距為d

的兩平行板之間的電場為E=u/d

，則

例

2.6.1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個極板上，如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導線中的傳導電流相等；(2)求導線附近距離連接導線為r

處的磁場強度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接98與閉合線鉸鏈的只有導線中的傳導電流，故得(2)以r

為半徑作閉合曲線C，由于連接導線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為99

例

2.6.2

在無源的電介質(zhì)中，若已知電場強度矢量，式中的E0為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。試確定k與ω

之間所滿足的關(guān)系，并求出與相應的其他場矢量。

解：是電磁場的場矢量，應滿足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定k與ω

之間所滿足的關(guān)系，以及與相應的其他場矢量。對時間

t積分，得100由以上各個場矢量都應滿足麥克斯韋方程，將以上得到的H和D代入式1012.7電磁場的邊界條件

什么是電磁場的邊界條件?

為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2

如何討論邊界條件?

實際電磁場問題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場的基本屬性。物理：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義，必須采用邊界條件。數(shù)學：麥克斯韋方程組是微分方程組，其解是不確定的，邊界條件起定解的作用。

麥克斯韋方程組的