復習時注意:準確掌握每個概念靈活應用所學定理注意解題思路清晰證明問題時,先用反向思維(從結論入手)分析問題,再按正向思維寫出證明過程期末總復習全書知識網絡：圖論篇同構同構<{1,0},,,,,><p(E),~,∩,∪,－,>格與布爾代數半群,獨異點,群,環,域<P(A×A),~,∩,∪,－,,,c,r,s,1><YX,~,∩,∪,－,,,-1>代數系統篇n元運算命題邏輯謂詞邏輯集合初步二元關系函數集合論篇數理邏輯篇總復習復習重點第一章命題邏輯1.聯結詞的定義(含義及真值表定義).2.會命題符號化.3.永真式的證明.4.等價公式的證明,記住并能熟練應用常用公式.5.會寫命題公式的范式,能應用范式解決問題.6.熟練掌握命題邏輯三種推理方法.第一章命題邏輯1.聯結詞定義了六個邏輯聯結詞，分別是：

(1)否定“”

(2)合取“∧”

(3)析取“∨”

(4)異或“

”

(5)蘊涵“”

(6)等價“”要熟練掌握這六個聯結詞在自然語言中所表示的含義以及它們的真值表的定義。：否定表示“不”∧：合取表示“不但…,而且..”“既…又...”““并且”∨：析取表示“或者－可兼取的或”：異或表示“或者－不可兼取的或”：蘊涵表示“如果…,則...”

“只要…,就...”

:等價表示“當且僅當”“充分且必要”可以將這六個聯結詞看成六種“運算”。聯結詞的定義(包括真值表和含義).特別要注意：“或者”的二義性,即要區分給定的“或”是“相容或∨”還是“排斥或”。“”的用法，它既表示“充分條件”也表示“必要條件”,即要弄清哪個作為前件,哪個作為后件.

PQP∧QP∨QPQPQPQ

0000110

0101101

10010011111110

2.會命題符號化.

例如P:我有時間.Q:我上街.R:我在家.

表示P是Q的充分條件:如果p,則Q.只要P,就Q.

PQ

表示P是Q的必要條件:僅當P,才Q.

只有P,才Q.QP

如果P,則Q;否則R.(PQ)(PR)3.永真式的證明.

方法1.列真值表.(R(QR)(PQ))P

方法2.用公式的等價變換,化簡成1.例如證明(R(QR)(PQ))P是永真式.證:上式(R(QR)(PQ))P(PQPQ)(R(QR)(PQ))P(公式的否定公式)((R(QR))((PQ)P)(結合律)((RQ)(RR))((PP)(QP)(分配律)(RQ)(QP)RQQP1(互補,同一律)4.等價公式的證明,記住常用的公式.

方法1.列真值表.

方法2.用公式的等價變換.

例如:證明P(QR)(P∧Q)RP(QR)P(QR)(PQ)R

(PQ)∨R(P∧Q)R注意:不論是證明永真蘊涵式,還是證明等價公式以及后邊的求公式的范式,命題邏輯推理,都應用9頁的公式。必須記憶一些常用的公式如:P9表中的5.會求主析取范式和主合取范式.求下面命題公式的范式:A(P,Q,R)

(P∨Q)R方法1.列真值表.主析取范式A(P,Q,R)

(P∨Q)R(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)主合取范式A(P,Q,R)

(P∨Q)R

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)PQR(P∨Q)R00010011010001111000101111001111方法2.用公式的等價變換.主析取范式;A(P,Q,R)

(P∨Q)R(P∨Q)∨R(P∧Q)∨R(P∧Q∧(R∨R))∨((P∨P)∧(Q∨Q)∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)主合取范式:A(P,Q,R)

(P∨Q)R(P∨Q)∨R(P∧Q)∨R(P∨R)∧(Q∨R)(P∨(Q∧Q)∨R)∧((P∧P)∨Q∨R)(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)6.會用三種推理方法,進行邏輯推理.

會用P22頁十個公式例如:證明((A∧B)C)∧D∧(C∨D)A∨B1).直接推理:⑴D

前提引入⑵C∨D前提引入⑶C⑴⑵析取三段論Q,(P∨Q)P⑷(A∧B)CP⑸(A∧B)⑶⑷拒取式Q,PQP⑹A∨B⑸置換

(P∧Q)P∨Q((A∧B)C)∧D∧(C∨D)A∨B2).附加前提推理:適用于結論是蘊涵式.A∨BAB⑴A附加前提引入⑵(A∧B)C前提引入⑶A(BC)⑵置換⑷BC⑴⑶

假言推理⑸D前提引入⑹C∨D前提引入⑺C⑸⑹

析取三段論⑻B⑷⑺假言推理((A∧B)C)∧D∧(C∨D)A∨B3).歸謬法:⑴(A∨B)否定結論引入⑵A∧B⑴置換⑶(A∧B)C前提引入⑷CT⑵

（3）假言推理⑸D前提引入⑹C∨D前提引入⑺C（5）（6）析取三段論⑻C∧CT⑷⑺合取引入第二章謂詞邏輯1.準確掌握有關概念.2.會命題符號化3.掌握常用的等價公式和永真蘊涵式.包括:

帶量詞的公式在論域內展開式,量詞否定,量詞轄域擴充,

量詞分配公式.4.會用等價公式求謂詞公式的真值5.會寫前束范式6.熟練掌握謂詞邏輯推理.

第二章謂詞邏輯1.準確掌握有關概念.

個體:

個體變元,

謂詞,

量詞,

量詞后的指導變元,

量詞的轄域,

約束變元與自由變元,

論域,

全總個體域,

謂詞公式(W00),

命題函數,

前束范式,2.會命題符號化

命題的符號表達式與論域有關。當論域擴大時，需要添加特性謂詞。特性謂詞往往就是給定命題中量詞后邊的那個名詞。如“所有自然數...”、“有些大學生...”。如何添加特性謂詞：

如果前邊是全稱量詞，特性謂詞后邊是蘊含聯結詞“→”；

如果前邊是存在量詞，特性謂詞后邊是合取聯結詞“∧”。另外有些命題里有的客體在句中沒有明確的量詞,而在寫它的符號表達式時,,必須把隱含的量詞明確的寫出來.例如1.有些液體可以溶解所有固體.

F(x):x是液體.S(x):x是固體.D(x,y):x可溶解y.x(F(x)y(S(y)D(x,y)))2.每個大學生都愛好一些文體活動。S(x):x是大學生,L(x,y):x愛好y,C(x):x是文娛活動，P(x):x是體育活動.)x(S(x)y((C(y)∨P(y))L(x,y)))

3.掌握常用的等價公式和永真蘊涵式.包括:

帶量詞的公式在論域內展開式,量詞否定,量詞轄域擴充,

量詞分配公式.

設論域為{a1,a2,....,an}，則

1).xA(x)A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)2).xB(x)B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1).xA(x)xA(x)2).xA(x)xA(x)1).xA(x)∨Bx(A(x)∨B)2).xA(x)∧Bx(A(x)∧B)3).xA(x)∨Bx(A(x)∨B)4).xA(x)∧Bx(Ａ(x)∧B)5).B→xA(x)x(B→A(x))6).B→xA(x)x(B→A(x))7).xA(x)→Bx(A(x)→B)8).xA(x)→Bx(A(x)→B)1).x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)2).x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)3).x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)4).xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))4.會用等價公式求謂詞公式的真值.例設論域為{1,2},A(x,y):x+y=xy,求xyA(x,y)的真值.xyA(x,y)xyA(x,y)yA(1,y)yA(2,y)(A(1,1)A(1,2))(A(2,1)A(2,2))(11)(10)15.將下面謂詞公式寫成前束范式(xF(x,y)yG(y))xH(x,y)(xF(x,y)yG(y))xH(x,y)(去)(xF(x,y)yG(y))xH(x,y)(摩根)(xF(x,y)yG(y))xH(x,y)(量詞否定)(xF(x,z)yG(y))tH(t,z)(變元換名)xyt((F(x,z)G(y))H(t,z))(轄域擴充)6.熟練掌握謂詞邏輯推理.1).注意使用EI、UI、EG、UG的限制條件

(必須是前束范式，才可以用EI、UI)2).對于同一個客體變元，既有帶也有帶的前提，去量詞時，應先去后去，即先用EI，再用UI這樣才可以特指同一個客體c.下面的作法是錯誤的：正確作法:⑴xP(x)P⑴xP(x)P⑵P(c)⑴UI⑵xP(x)⑴

置換

（3）P(c)⑴EI

例如.證明下面推理的有效性.證明:⑴x(A(x)∧D(x))P⑵A(a)∧D(a))

EI⑴⑶A(a)T⑵I⑷D(a))T⑵I⑸x(A(x)→(B(x)→C(x)))P⑹A(a)→(B(a)→C(a))UI⑸⑺B(a)→C(a))T⑶⑹I⑻x(A(x)→(C(x)∨D(x)))P⑼A(a)→(C(a)∨D(a)))US⑻⑽C(a)∨D(a)T⑶⑼I⑾C(a)T⑷⑽I⑿B(a)T⑺⑾I⒀A(a)∧B(a))T⑶⑿I⒁x(A(x)∧B(x))EG⒀第三章集合論初步1.集合的表示,冪集,全集,空集.2.集合的三種關系(包含,相等,真包含)的定義及證明.3.集合的五種運算及相關性質.4.應用包含排斥原理.第三章集合論初步基本概念:集合與元素,子集與真子集,空集,全集,冪集,并集,交集,相對補集(差集),絕對補集(補集)1.集合的表示,元素與集合的屬于關系∈.

集合的三種表示方法:

枚舉法:一一列出集合中的元素.描述法:用謂詞描述集合中元素的性質.

文氏圖:用一個平面區域表示.2.集合的三種關系(被包含,相等,被真包含)的定義及證明.ABx(x∈Ax∈B)A=BABBAx(x∈Ax∈B)ABABA≠Bx(x∈Ax∈B)x(x∈BxA)

3空集,全集,冪集空集φ:無元素的集合.x∈Φ是矛盾式.(空集是唯一的)

全集E:包含所討論所有集合的集合.(全集不唯一)x∈E是永真式冪集:由A的所有子集構成的集合.

P(A)={X|XA}|P(A)|=2|A|

4.掌握集合的五種運算及相關性質.A∩B={x|x∈A∧x∈B}x∈A∩Bx∈A∧x∈BA∪B={x|x∈A∨x∈B}x∈A∪Bx∈A∨x∈BA-B={x|x∈A∧xB}x∈A-Bx∈A∧xB~A=E-A={x|x∈E∧xA}={x|xA}x∈~AxAA-B=A∩~BAB=(A-B)∪(B-A)={x|(x∈A∧xB)∨(x∈B∧xA)}AB=(A∪B)-(A∩B)邏輯演算法的格式題目：A＝B證明：x，

x∈A …… x∈B

所以A＝B或證AB∧BA題目：AB證明：x，

x∈A …… x∈B

所以AB集合演算法的格式題目：A＝B證明：A

＝……

＝B

所以A＝B題目：AB證明：A …… B

所以AB例證明:

(A-B)-C=A-(B∪C)方法1.(A-B)-C=(A∩~B)∩~C=A∩(~B∩~C)=A∩~(B∪C)=A-(B∪C)方法2.任取x∈(A-B)-C(x∈A∧xB)∧xCx∈A∧(xB∧xC)x∈A∧(x∈B∨x∈C)x∈A∧(x∈B∪C)x∈A∧xB∪Cx∈A-(B∪C)所以(A-B)-C=A-(B∪C)例7.有14位學生參加考試,9位同學數學得了優;5位同學物理得了優;4位同學化學得了優;其中物理和數學都得優的同學有4人;數學和化學都得優的同學有3人;物理和化學都得優的同學有3人;三門都得優的同學有2人;問沒有得到優的有多少人?恰有兩門得優的同學有多少人?解.令A、B、C分別表示數學、物理、化學得優同學集合.全集為E.于是有|E|=14|A|=9|B|=5|C|=4|A∩B|=4|A∩C|=3|B∩C|=3|A∩B∩C|=2|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|=9+5+4-4-3-3+2=10于是得到優的人數是10人.∴沒有得到優的人數是:14-10=4人恰有兩門得優的人數:(|A∩B|-|A∩B∩C|)+(|B∩C|-|A∩B∩C|)+(|B∩C|-|A∩B∩C|)=4-2+3-2+3-2=4第四章二元關系1.關系的概念,表示方法.2.二元關系的性質的定義,熟練掌握性質的判斷及證明.3.掌握關系的復合,求逆及閉包運算(計算方法及有關性質)4.掌握等價關系的判斷,證明,求等價類和商集.5.關系圖和矩陣的簡化6.偏序關系的判斷,會畫Hasse圖,會求一個子集的極小(大)元,最小(大)元,上界與下界,最小上界及最大下界.一.關系的概念,表示方法,三個特殊關系.1.集合的笛卡爾積

A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B}|A|=m,|B|=n|A×B|=mn

設A={0,1}，B={a,b}，求AB。

AB={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>}2.二元關系的概念定義1:設A、Ｂ是集合,如果ＲA×B,則稱R是一個從A到

B的二元關系。如果RA×A,則稱R是A上的二元關系.

如果|A|=m|B|=n則可以確定2m*n個從A到B的不同關系.3.關系的表示方法1).枚舉法:

即將關系中所有序偶一一列舉出，寫在大括號內.

如:R={<1,2>,<3,4>,<4,2>}2).(描述法)謂詞公式法：即用謂詞公式描述序偶中元素的關系。例如

R={<x,y>|x<y}3).有向圖法：1。2。

3。

4。。。。ABabcR1:1。。4。。23R2:4).矩陣表示法：(實際上就是圖論中的鄰接矩陣)

設A={a1,a2,,am}，B={b1,b2,,bn}是個有限集，

RA×B，定義R的m×n階矩陣

MR=(rij)m×n，其中4.三個特殊關系1).空關系Φ：

ΦA×B，(或ΦA×A)，即無任何元素的關系.

它的關系圖中只有結點,無任何邊；它的矩陣中全是0。2).完全關系(全域關系)

：

A×B(或A×A)本身是一個從A到B(或A上)的完全關系.

即含有全部序偶的關系。它的矩陣中全是1。

1若<ai,bj>∈R

0若<ai,bj>∈R(1≤i≤m,1≤j≤n)rij=3).恒等關系IA：

IAA×A,且IA={<x,x>|x∈A}稱之為A上的恒等關系。例如A={1,2,3},則IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>}A上的Φ、完全關系A×A及IA的關系圖及矩陣如下：MIA=1000100013×31。2。。31。2。。31111111113×31。。2。30000000003×3MΦ=MA×A=ΦA×AIA二.關系的性質的判斷與證明:自反性反自反性對稱性反對稱性傳遞性定義x∈A→<x,x>∈Rx∈A→<x,x>R<x,y>∈R→<y,x>∈R<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>集合表達式IA

RR∩IA＝R＝R-1R∩R-1

IARRR關系矩陣主對角線元素全是1主對角線元素全是0矩陣是對稱矩陣若rij＝1，且i≠j，則rji＝0對M2中1所在位置，M中相應的位置都是1關系圖每個頂點都有環每個頂點都沒有環如果兩個頂點之間有邊，一定是一對方向相反的邊(無單邊)如果兩點之間有邊，一定是一條有向邊(無雙向邊)如果頂點xi到xj

有邊，xj

到xk

有邊，則從xi到xk

也有邊判斷下面關系的性質:1。2。。1。2。。1。2。。1。2。。3333R2R1R3R4自反性反自反性對稱性反對稱性傳遞性R1YNNYYR2NYNYNR3YNYNYR4YNYYY1。2。。1。2。。1。2。。1。2。。3333R5R6R7R8自反性反自反性對稱性反對稱性傳遞性R5NYNYYR6NNYNNR7NNNNNR8NYYYY三.掌握關系復合,求逆及閉包運算(計算方法及性質)(一)關系的復合

1.定義:設RX×Y，SY×Z，則RSX×Z。

RS={<x,z>|xXzZy(yY<x,y>R<y,z>S)}2.計算方法(俗稱過河拆橋法)

⑴枚舉法R={<a,b>,<b,c>,<c,a>}S={<a,b>,<b,c>,<b,b>,<c,a>}RS={<a,c>,<a,b>,<b,a>,<c,b>}3.性質1).滿足結合律:RA×BSB×C1C×D則

R(S1)=(RS)12).RA×BSB×C1B×C⑴R(S∪1)=(RS)∪(R1)⑵R(S∩1)(RS)∩(R1)3).R是從A到B的關系，則

RIB=IAR=R

推論:RA×A,則RIA=IAR=R(IA是運算的幺元)4).關系的乘冪

R0=IA，

RA×A,

Rm

Rn

=Rm+n(Rm)n=Rmn

(m,n為非負整數)(二).逆關系1.定義

:設RX×Y，R的逆關系R-1={<y,x>|<x,y>R}<y,x>∈RC<x,y>R2.計算方法

1).R={<1,2>,<2,3>,<3,4>,<4,5>}R-1={<2,1>,<3,2>,<4,3>,<5,4>}2).R-1的有向圖:是將R的有向圖的所有邊的方向顛倒.3).R-1的矩陣MRC=(MR)T即為R矩陣的轉置3.性質令R、S都是從X到Y的關系，則

1).(R-1)-1=R

2).(R∪S)-1=R-1∪S-1。

3).(R∩S)-1=R-1∩S-1。

(三).閉包運算1.定義：給定A中關系R,若A上另一個關系R’，滿足：⑴RR’；⑵R’是自反的(對稱的、傳遞的)；⑶R’是“最小的”，即對于任何A上自反(對稱、傳遞)的關系R”,如果RR”,就有R’R”。則稱R’是R的自反(對稱、傳遞)閉包。記作r(R)、(s(R)、tR))2.計算方法給定A中關系R

r(R)=R∪IA。

s(R)=R∪R-1。

t(R)=R∪R2∪...∪Rn-1

閉包的運算有三種形式:如A={a.b.c}RA×AR={<a,b>,<b,c>,<c,a>}

a).集合形式.

r(R)=R∪IA={<a,b>,<b,c>,<c,a>}{<a,a>,<b,b>,<c,c>}={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,a>,<b,b>,<c,c>}s(R)=R∪R-1={<a,b>,<b,c>,<c,a>}{<b,a>,<c,b>,<a,c>}={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<b,a>,<c,b>,<a,c>}R2={<a,c>,<b,a>,<c,b>}R3={<a,a>,<b,b>,<c,c>}

1(R)=R∪R2∪R3={<a,b>,<b,c>,<c,a>}∪{<a,c>,<b,a>,<c,b>}∪{<a,a>,<b,b>,<c,c>}={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>.<a,a>,<b,b>,<c,c>}b)有向圖形式.bacR3RbacbacIA∪=r(R)bac∪RbacbR2ac1(R)bac∪=c∪Rbac=bRCas(R)bacc)矩陣形式.Mr(R)=MR∨MIA=010001100100010001∨=111110011Ms(R)=MR∨MRC=010001100001100010∨=011101110M1(R)=M∨M∨M=010001100001100010∨=111111111R2R3R∨1000100013.性質1).R是A上關系，則⑴R是自反的，當且僅當r(R)=R.⑵R是對稱的，當且僅當s(R)=R.⑶R是傳遞的，當且僅當t(R)=R.2).R是A上關系，則⑴R是自反的，則s(R)和t(R)也自反。⑵R是對稱的，則r(R)和t(R)也對稱。⑶R是傳遞的，則r(R)也傳遞。四.等價關系

掌握等價關系的判斷,證明,求等價類和商集.

1.了解集合的劃分與覆蓋的概念.

例X={1,2,3},A1={{1,2,3}},A2={{1},{2},{3}},A3={{1,2},{3}},A4={{1,2},{2,3}},A5={{1},{3}}A1,

A2,A3,A4是覆蓋。A1,

A2,A3也是劃分。

2.等價關系定義:設R是A上關系,若R是自反的、對稱的和傳遞的，則稱R是A中的等價關系。

3.等價關系R的有向圖:可能由若干個獨立子圖構成的，每個獨立子圖都是完全關系圖。1。2。。3R11。2。。3R21。2。。R34.等價類：1).定義:R是A上的等價關系,a∈A,由a確定的集合[a]R[a]R={x|x∈A∧<a,x>∈R}

稱集合[a]R為由a形成的R等價類。2).由等價關系圖求等價類：R圖中每個獨立子圖上的結點構成一個等價類。不同的等價類個數=獨立子圖個數。3).等價類性質

R是A上等價關系，任意a,b,c∈A

⑴同一個等價類中的元素，彼此有等價關系R。⑵

[a]R∩[b]R=Φ，當且僅當<a,b>R。⑶

[a]R=[b]R當且僅當<a,b>∈R。⑷.A中任何元素a,a必屬于且僅屬于一個等價類。⑸.任意兩個等價類

[a]R,[b]R,

要么[a]R=[b]R，要么[a]R∩[b]R=Φ

。⑹R的所有等價類構成的集合是A的一個劃分。5.商集:定義：R是A上等價關系，由R的所有等價類構成的集合稱之為A關于R的商集。記作A/R。即

A/R={[a]R|a∈A}五.偏序關系判斷,會畫Hasse圖,會求一個子集的極小(大)元,最小(大)元,上界與下界,最小上界及最大下界.1.定義：R是A上自反、反對稱和傳遞的關系，則稱R是A上的偏序關系。并稱<A,R>是偏序集。2.x與y是可比較的：<A,≤>是偏序集，x,y∈A，如果要么x≤y,要么y≤x,則稱x與y是可比較的。3.定義：<A,≤>是偏序集，任何x,y∈A，如果x與y都是可比較的，則稱≤是全序關系(線序、鏈)。4.偏序集Hasse圖的畫法：令<A,≤>是偏序集，

1).用“

”表示A中元素。

2).如果x≤y,且x≠y，則結點y要畫在結點x的上方。

3).如果x≤y,且y蓋住x，x與y之間連一直線。

4).從最下層結點(全是射出的邊與之相連，逐層向上畫，直到最上層結點(全是射入的邊與之相連)。例如{1,2,4,6}上的整除關系2。。1。。64１。２。４。６。5.重要元素y是B的極小元y(y∈B∧x(x∈B∧x≠y∧x≤y))

(在B中沒有比y更小的元素了，y就是極小元)y是B的極大元y(y∈B∧x(x∈B∧x≠y∧y≤x))

(在B中沒有比y更大的元素了，y就是極大元)y是B的最小元y(y∈B∧x(x∈By≤x))

(最小元y是B中元素，該元素比B中所有元素都小)y是B的最大元y(y∈B∧x(x∈Bx≤y))(最大元y是B中元素，該元素比B中所有元素都大)y是B的上界y(y∈A∧x(x∈Bx≤y))

(上界y是A中元素，該元素比B中所有元素都大)y是B的下界y(y∈A∧x(x∈By≤x))

(下界y是A中元素，該元素比B中所有元素都小)

y是B的上界，并且對B的所有上界x,都有y≤x,則稱y是B的最小上界(上確界)，記作LUBB=y。

(即y是上界中最小的。如果B有上確界，則是唯一的)y是B的下界，并且對B的所有下界x,都有x≤y,則稱y是B的最大下界(下確界)，記作GLBB=y。

(即y是下界中最大的。如果B有上確界，則是唯一的)例如B={2,3,6}B的極小元:2,3極大元:6

最小元:無最大元:6

下界:1上界:6,12,18

下確界:1上確界:6１。6。18。12。2。。3第五章代數系統1.掌握運算的定義.2.熟練掌握二元運算的性質的判斷及證明.3.掌握代數系統的同構定義,會證明.了解同構性質的保持.4.了解半群,幺半群（獨異點）的概念.5.熟練掌握群,交換群一.掌握運算和代數系統的概念.1.運算定義：設X是個集合，F:XnY是個映射，則稱F是

X上的n元運算.(Xn=X×X×...×X--n個X的笛卡爾積)2代數系統定義：X是非空集合，X上的m個運算

F1,F2,…Fm,構成代數系統U,記作U=<X,F1,F2,…Fm>(m≥1)二.熟練掌握二元運算的性質的判斷及證明：<X,>和<X,,>是代數系統,,是二元運算：1.封閉性：x,y∈X,有xy∈X。2.可交換性：x,y∈X,有xy=yx。3.冪等性：

x∈X,有xx=x。4.

有幺元：e∈X,

x∈X，有ex=xe=x.5.有零元:θ∈x,x∈X，有θx=xθ=θ.6.可結合性：x,y,z∈X,有(xy)z=x(yz)。.7.有逆元：x∈X,有x-1∈X，使得

x-1x=xx-1=e8.可消去性：a∈X，x,y∈X,有

(ax=ay)∨(xa=ya)x=y.

9.分配律：對可分配：x,y,z∈X，有

x(yz)=(xy)(xz)或(xy)z=(xz)(yz)10.吸收律：x,y∈X，有x(xy)=x和x(xy)=x對這些性質要求會判斷、會證明。

三.掌握代數系統同構定義,會證明.了解同構性質的保持1.定義設<X,>,<Y,>是兩個代數系統，和都是二元運算，如果存在映射F:XY,使得對任何x1,x2∈X，有

F(x1x2)=F(x1)F(x2)--------此式叫同態(同構)關系式則稱F是從<X,>到<Y,>的同態映射，簡稱這兩個代數系統同態。記作X∽Y。并稱<F(X),>為<X,>的同態像。如果F是滿射的，稱此同態0是滿同態。如果F是入射的，稱此同態0是單一同態。如果F是雙射的，稱<X,>與<Y,>同構，記作X≌Y。0是<X,>到

<X,>的同態(同構),稱之為自同態(自同構)。2.代數系統同構性質的保持代數系統<X,>,<Y,>,X≌Y,0:XY是同構映射,如果<X,>中滿足交換、結合、有幺元、有零元、每個元素可逆,則<Y,>中也滿足上述性質。反之亦然.四.掌握半群,幺半群,群的概念.半群:封閉結合幺半群:

有幺元群可逆群與半群廣群二元運算的封閉性結合律半群幺元幺半群每個元素可逆群交換律交換半群交換律交換幺半群交換律Abel群有限個元素有限群生成元循環群實例n元置換群實例Klein群例題以下哪些為半群、幺半群、群？1.代數系統<R，+>，其中R是實數集合，“+”為普通加法2.代數系統<R，*>，其中R是實數集合，“*”為普通乘法第六章格與布爾代數1.掌握格的定義,了解格的性質.2.會判斷格,分配格,有補格和布爾格,3.重點掌握兩個元素的布爾代數的性質(10個).一.掌握格的定義1.格的定義<A,≤>是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大下界和最小上界，則稱<A,≤>是格。

二.格的性質格中算律（交換、結合、冪等、吸收），保序性，分配不等式。

四.分配格1.定義<A,∨,∧>是由格<A,≤>誘導的代數系統。如果對a,b,c∈A，有

a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)，

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)則稱<A,≤>是分配格。2.二個重要的五元素非分配格：3.分配格的判定：一個格是分配格的充分且必要條件是在該格中沒有任何子格與上述兩個非分配格之一同構.3130

25dea

bc五.有界格

有界格定義：如果一個格存在全上界1與全下界0，則稱此格為有界格.六.有補格一個有界格中，如果每個元素都有補元，則稱之為有補格。七.布爾格有補分配格為布爾格。用“Y”表示“是”，用“N”表示“否”填下表。

<A1,≤><A2,≤><A3,≤><A4,≤>

格 有補格 布爾格YYNNNYNNNYNN1。2。4。8。16。

30。3。１。2。5

。10。15

。6。<A2,≤><A1,≤><A3,≤><A4,≤>第七章圖論1.掌握圖的基本概念.(特別注意相似的概念)2.熟練掌握圖中關于結點度數的定理.(會應用)3.無向圖的連通性的判定,連通分支及連通分支數的概念.4.有向圖的可達性,強連通,單側連通和弱連通的判定.求強分圖,單側分圖和弱分圖.5.會求圖的矩陣.6.會判定歐拉圖和漢密爾頓圖.7.掌握樹的基本定義,v和e間的關系式.會畫生成樹,會求最小生成樹.8。根樹的概念,完全m叉樹的公式,會畫最優二叉樹,會設計前綴碼.一.