1第二章系統的數學模型

第二章系統的數學模型主要內容：控制系統的數學模型

1.系統微分方程的建立及非線性方程的線性化控制理論的研究對象是系統、輸入、輸出三者之2.傳遞函數的定義、性質及典型環節的傳遞函數3.系統傳遞函數方塊圖及簡化4.相似原理間的動態關系，描述系統這種動態關系的是系統的數學模型，古典控制理論內系統的數學模型有三種21．微分方程：時域——求解困難2．傳遞函數：復域——求解方便，便于直接在復域中研究系統的動態特性§2-1系統的微分方程§2-2傳遞函數§2-3典型環節的傳遞函數§2-4系統傳遞函數方塊圖及其簡化各章節內容3.動態結構圖（傳遞函數方框圖）補充內容拉普拉斯變換3一、線性定常系統及疊加原理§2-1系統的微分方程

1．系統、輸入、輸出三者關于的微分方程的標準形式：式中：——系統輸出;

——系統輸入41）線性系統：方程只包含變量、a．線性定常系統：an…a0

；bm…b0為常數b．線性時變系統：an…a0

；bm…b0為時間的函數2）非線性系統：方程中含有、的各階導數各階導數的其它函數形式2．根據系統微分方程對系統進行分類5

例，其中,a,b,c,d均為常數。

線性定常系統線性時變系統非線性系統6Xi1(t)AX01(t)Xi1(t)→X01(t)Xi2(t)AX02(t)Xi2(t)→X02(t)Xi1(t)AXi2(t)X01(t)X02(t)aXi1(t)+bXi2(t)→aX01(t)+bX02(t)3．線性系統滿足疊加原理意義：對于線性系統，各個輸入產生的輸出是互不影響的。因此，在分析多個輸入加在線性系統上而引起的總輸出時，可以先分析由單個輸入產生的輸出，然后把這些輸出疊加起來，則可求得總的輸出。7力學——牛頓定律3．將各運動方程構成微分方程，消去中間變量，并化成標準形式（輸出量和輸入量的各導數項按降階排列）2．從系統輸入端開始，依次列寫出各元件（環節）的運動方程電學——基爾霍夫定律二、微分方程的列寫步驟1．分析系統的工作原理，找出輸入、輸出及中間變量的關系8質量——彈簧——阻尼系統my(t)f(t)ck圖2-1===++00)0()0()()()()(yyyytftkytyctym.....例1：9L、C、R組成的電路如圖，列出以u1為RCu2(t)i(t)Lu1(t)輸入、u2為輸出的運動方程解：由基爾霍夫電壓定律有：消去中間變量i：寫成微分方程標準形式：例2：10受到影響，此影響稱負載效應。其實質是物理環節之兩個或兩個以上環節（或子系統）組成一個系統時，若其中一環節的存在使另一環節在相同輸入下的輸出間的信息反饋作用。i1(t)c2u2(t)u1(t)c1i2(t)R1R2圖2-3例：由兩極串聯的RC電路組成的濾波網絡，試寫出以u1(t)為輸入，u2(t)為輸出的系統微分方程。三、負載效應11解：把兩個RC電路當作整體來考慮消去中間變量i1、i2

得：i1(t)c2u2(t)u1(t)c1i2(t)R1R2ab121314若分開考慮：

C1i1(t)u1(t)R1==+òòdtiCuudtiCiR111111111'1C2u2(t)i2(t)u'1(t)R2==+òòdtiCuudtiCiR222122221'1此結果錯誤151．系統由單變量非線性函數所描述

y=f(x)y(t):輸出x(t):輸入四、非線性微分方程線性化16若令x=Δx,y=Δy

則y=kx——線性化方程172．非線性系統輸出z(t)是兩個變量x和y的函數，即 z=f(x,y)

1）確定工作點 P(x0,y0,z0)2）在工作點附近展開成泰勒級數并忽略高階項L+D??+D??+==yyfxxfyxfyxfZyx00,00),(),(yx00,D??+D??yyfxxfyxfyx00,00),(yx00,=+),(),(00yxfyxfZ-=DD??+D??yyfxxfyx00,yx00,=yKxKzyXD+D=DyKxKzyX+=，2184．寫成標準微分方程形式3．非線性微分方程線性化2．從系統輸入端開始依次列寫微分方程，注意負載效應1．分析系統工作原理，確定描述系統的變量，分析相互關系考慮非線性情況下，系統微分方程列寫步驟：19

拉普拉斯變換Laplace

拉普拉斯變換拉氏變換是控制工程中的一個基本數學方法，其優點是能將時間函數的導數經拉氏變換后，變成復變量S的乘積，將時間表示的微分方程，變成以S表示的代數方程。20一、拉氏變換和拉氏反變換的定義1.拉氏變換的定義函數在時有定義，且積分在s的某一域內收斂，則積分所確定的函數可寫為稱為函數的拉氏變換，記為f(t)—F(s)的原函數；

F(s)—f(t)的Laplace變換（或稱為象函數）s=

+j212.拉氏反變換的定義已知，欲求原函數時，則稱為拉氏反變換，記為221.單位階躍函數2.指數函數二、典型時間函數的拉氏變換23=13.單位脈沖函數4.單位斜坡函數5.單位拋物線函數246.正弦函數25267.余弦函數278.冪函數28三、拉氏變換的重要性質1.線性性質，為常數，則292.延遲定理f(t)ttf(t-t0)t0f(t)tt030例1：1Ttf(t)TTf(t)例2：313.位移定理，則或32334.微分定理，則若34由于例：利用微分定理求355.積分定理，則例36六.復頻域導數性質37七.初值定理和終值定理初值定理若L[f(t)]=F(s)由初值定理知：例：已知

，求f(0+)38六.初值定理和終值定理終值定理：例：已知：39例:e(t)R+u-+-用初值定理和終值定理驗證40八.卷積定理卷積定理：設f(t)的拉氏變換為F(s),g(t)的拉氏變換為G(s)，

舉例：求正弦函數和余弦函數的拉氏變換414243已知f(t)的拉氏變換為F(s),求44已知f(t)的拉氏變換為F(s),求L[f(at)]

45四、拉氏反變換的數學方法用部分分式法求拉氏反變換將化為真分式，再將因式分解1.無重根為待定系數46例：47例48Ki也可用洛必達法則求49例用洛必達法則求原函數例5051例1例25253一般多重根情況54例：55例：56§2-2傳遞函數

傳遞函數是描述系統的動態關系的另一種數學模型，是經典控制理論對線性系統進行研究、分析與綜合的基本數學工具，是時域分析、頻域分析及穩定性分析的基礎，也是經典控制理論進行系統綜合設計的基礎，因此，十分重要。57定義：對于單輸入、單輸出線性定常系統，當輸入換與輸入量的拉氏變換之比。輸出的初始條件為零時，其輸出量的拉氏變設線性定常系統的微分方程為：)()()(0)1(1)(txbtxbtxbimmmimi+++=--L)()()(00)1(01)(0txatxatxannnn+++--L式中：a

n…a

0,b

m…b

0

均為常系數x0

(t)為系統輸出量，x

i(t)為系統輸入量一、定義58若輸入、輸出的初始條件為零，即0)0()(0=KxK

=0,1,,n－1…0)0()(i=KxK

=0,1,,m－1…對微分方程兩邊取拉氏變換得：())(011sXbsbsbimmmm+++=--L())(0011sXasasannnn+++--L則該系統的傳遞函數G(s)為：0110110)()()(asasabsbsbsXsXsGnnnnmmmmi++++++==----LL（n≥m）59傳遞函數方框圖：G（s）Xi(s)X0(s)1）列出系統微分方程（非線性方程需線性化）2）假設全部初始條件均為零，對微分方程3）求輸出量和輸入量的拉氏變換之比——傳遞函數進行拉氏變換求傳遞函數的步驟：i))()(0(sXsXsG=60質量——彈簧——阻尼系統令初始條件均為零，方程兩邊取拉氏變換())()(2sFsYkcsms=++kcsmssFsYsG++==21)()()(∴

例1:)()()()(tftkytyctym=++...my(t)f(t)ck61L、R、C電路系統RCu2(t)i(t)Lu1(t)())()(1122sUsURCsLCs=++11)()()(212++==RCsLCssUsUsG∴例2：)()()()(1222tututuRCtuLC=++...621．傳遞函數和微分方程是一一對應的微分方程：在時域內描述系統的動態關系（特性）

傳遞函數：在復域內描述系統的動態關系（特性）統與外界聯系，當輸入位置發生改變時，分子會改變。2．傳遞函數的分母只取決于系統本身的固有特性，與外界無關，因此分母反映系統固有特性，其分子反映系二、傳遞函數的性質和特點63例：)(tymffcK=-..my(t)ckx(t)Ck-t[])(y)(tx-()tym=...t[])(y)(tx-.由牛頓第二定律，有:643．若輸入給定，則輸出完全取決于傳遞函數4．不同物理系統（機械、電氣、液壓）可以能用相同數學模型描述的系統——相似系統用形式相同的傳遞函數來描述——相似原理5．分母階次常高于分子階次（n≥m）G（s）Xi(s)X0(s))()()(0sXsGsXi=465傳遞函數為復變函數，故有零點和極點

零點：使G(s)=0的s值極點：使G(s)

分母為零的s

值G(s)

的零極點分布決定系統響應過渡過程。三、傳遞函數的零點和極點G(s)

的極點分布決定系統的穩定性。66當s＝0時若輸入為單位階躍函數，則G(0)為系統的穩態輸出，也是系統的放大倍數67設系統有b個實零點;c

對復零點;d個實極點;e對復極點;v

個零極點b+2c=mv+d+2e=n典型環節的產生§2-3典型環節的傳遞函數68比例環節一階微分環節二階微分環節積分環節慣性環節振蕩環節延遲環節純微分環節691．比例環節（放大環節）凡輸出量與輸入量成正比，不失真也不延時的)()(0tKxtxi=微分方程：KsXsXsGi==)()()(0傳遞函數：，K：放大系數（增益）環節稱比例環節。方框圖:KXi(s)X0(s)70°R1R2°u0(t)ui(t)+運算放大器ui(t)——輸入電壓u0(t)——輸出電壓R1、R2——電阻)()(120tuRRtui-=)()(120sURRsUi-=拉氏變換：已知：例：71彈簧受力如圖：圖2-9y(t)kf(t)ky(t)=f(t)kY(s)=F(s)ksFsYsG1)()()(==例：72時域內用一階微分方程表示的環節微分方程：傳遞函數：1)()()(0+==TsKsXsXsGi方框圖：Xi(s)X0(s)1+TsKK：增益；T：時間常數2．慣性環節73R、C電路如圖RCu0iui圖2-10例：)()()(00tututuRCi=+.74彈簧——阻尼系統，xi(t)輸入位移，x0(t)輸出位移x0(t)kCxi(t))]()([0txtxkfik-=)(0txCfC&=受力平衡fC=fk)]()([)(00txtxktxCi-=&)())(00tkxtkxtxCi=+&例：(75

時域內，輸出量正比于輸入量的微分。微分環節：傳遞函數：G(s)=Ts

)()(0txTtxi&=方框圖：TsXi(s)X0(s)3．微分環節理想微分實際微分慣性T0運動方程式：傳遞函數：傳遞函數：76例：微分運算電路－＋77在實際的機電控制工程系統中，理想的微分環節很難實現，通常用

(其中T，K為常數)

來近似微分環節。

例3如圖所示的無源微分網絡

(其中K=1，T=RC)

78微分環節對系統的控制作用：（1）使輸出提前（2）增加系統的阻尼（3）強化噪聲79時域內，輸出量正比于輸入量對時間的積分。TssG1)(=傳遞函數：T：積分時間常數方框圖：Xi(s)X0(s)Ts14．積分環節

！記憶效應

！積分輸入突然除去積分停止輸出維持不變例1：電容充電例2：積分運算放大器80!積分環節具有明顯的滯后作用如當輸入量為常值A時，輸出量須經過時間T才能達到輸入量在t=0時的值A。！改善系統的穩態性能81例1電容充電82有源積分網絡ui(t)——輸入電壓u0(t)——輸出電壓R—電阻C—電容dttduCRtui)()(0-=已知：例2：Ru0(t)ui(t)C+83時域內，以二階微分方程描述的環節。)()()(2)(0002txtxtxTtxTi=++&&&x微分方程：)()()12(022sXsXTssTi=++x傳遞函數：121)(22++=TssTsGx2222nnnsswxww++=T：振蕩環節的時間常數ωn：無阻尼固有頻率ξ：阻尼比5．振蕩環節84m—k—c系統：R—L—C電路：kcsmssG++=21)(

11)(2++=RCsLcssG

方框圖：Xi(s)X0(s)2222nnnsswxww++例：)()()()(tftkytyctym=++...)()()(000tututuRCuLCi=++...585

時域內，輸出滯后輸入時間τ，但不失真地反映輸入的環節微分方程：)()(0t-=txtxi方框圖：e—τsXi(s)X0(s)6．延時環節86延遲環節與慣性環節的區別慣性環節從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值。延遲環節從輸入開始之初，在0~τ時間內沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。87例1水箱進水管的延時882．慣性環節6．延時環節1．比例環節3．微分環節4．積分環節5．振蕩環節892.3系統傳遞函數

方框圖及其簡化

一、系統傳遞函數方框圖數方塊圖（或結構圖）。它是用圖形表示的系統模型。用傳遞函數方框將控制系統全部變量聯系起來，描述各環節之間的信號傳遞關系的圖形，稱為系統傳遞函它不同于物理框圖，著眼于信號的傳遞。90(2)信號引出點（線）/測量點

表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣。

(1)

信號線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數或象函數。1

方框圖構成要素91(3)函數方塊(環節)

函數方塊具有運算功能(4)相加點（比較點、綜合點）

(a)

用符號“”及相應的信號箭頭表示

(b)

箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號922.系統方框圖的建立：（1）建立系統的微分方程；（2）對微分方程進行Laplace變換，并畫出相應的方框圖；（3）按照信號的傳遞順序，依次將各傳遞函數方框圖連接起來。93例：圖2.1.3的液壓伺服機構94R、C電路如圖RCu0iui例：95961．環節的串聯Xi(s)G1(s)X(s)G2(s)X0(s)Xi(s)G(s)X0(s)圖2-13)()()()()()()(00sXsXsXsXsXsXsGii==)()(2sGsG1=?==niisGsG1)()(二、傳遞函數方框圖的等效變換97)()()()()()(02010sXsXsXsXsXsGii+==)()(21sGsG+=?==niisGsG1)()(Xi(s)G1(s)G2(s)X0(s)X02(s)X01(s)++圖2-142．環節的并聯98Xi(s)-H(s)G(s)E(s)X0(s)XB(s)（1）偏差信號：)()()(txtxtbi-=e)()()(sXsXsEBi-=（2）前向通道傳遞函數G(s))()()(0sEsXsG=（3）反饋通道傳遞函數H(s))()()(0sXsXsHB=3．反饋聯接99)()()()()()()()()(00sHsGsEsXsXsXsEsXsGBBK===（5）閉環傳遞函數GB(s)：（4）開環傳遞函數GK(s)：Xi(s)-H(s)G(s)E(s)X0(s)XB(s)對正反饋：100對于單位反饋：H(s)=1G(s)Xi(s)X0(s)-+1圖2-16)(1)()(sGsGsGB+=1011）分支點前移：規則：分支路上串入相同的傳遞函數方塊XGXGXGXGGXGXG2）分支點后移：規則：分支路上串入相同傳遞函數的倒數的方塊XGXGXXGXG1GX4．分支點移動規則1021）相加點前移GX2X1G—X2+-X1+GX1G—X21GX2-2）相加點后移X1GX2（X1—X2）G+-X1GX2G（X1—X2）G+-5．相加點移動規則103A++A+B-CB+C-A++A+B-CC+B-圖2-257．相加點分離規則B+C-A+B-CA+B+A+A+B-C-C圖2-266．相加點交換規則104A-BA+B-A-BA+B-A—BA—BB-分支路上補加信號-B圖2-279．分支點移動到相加點后AA-BA+-BA++B+AB-A-B分支路上補加信號+B圖2-288．分支點移動到相加點前10510．反饋方框化為單位反饋Xi+-HGX0Xi1H+GHX0-GHGGB+=1GHGGHGHHG+=+=111總圖2-291）解除方塊圖中的交叉聯系（結構）2）按等效規則，先環內后環外逐步使方塊得到簡化3）求傳遞函數方塊圖的簡化及系統傳遞函數的求取106Ｘ0Ｘi+A+BG1+H2H1G2G3D-ＥＦ-+C圖2-30解：1）相加點C前移（再相加點交換）Ｘi+A+BG1H1G2G3D-ＥＦＸ0+1G1H2-+圖2-31例1：1072）內環簡化3）內環簡化Ｘi+A-ＥＦＸ01G1H2-C+G1G2G31-G1G2H1圖2-32Ｘi+Ｆ(E)Ｘ0-G1G2G31—G1G2H1+G2G3H2圖2-331084）總傳遞函數ＸiＸ0

含有多個局部反饋的閉環系統中，當滿足下面條件時1）只有一條前向通道2）各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數方塊?+=][1)