山西省大同市東沙河中學2022-2023學年高一數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.△ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是邊BC的一個三等分點（靠近點B），記，則當λ取最大值時，tan∠ACD=

．參考答案：2+【考點】HP：正弦定理．【分析】由sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，得sinB=2cosAsinB，cosA=，可得：A=，由已知得，利用和a2=b2+c2﹣bc可得λ取最值時，a、b、c間的數量關系．【解答】解：∵sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=sinC﹣sinB=sinAcosB+cosAsinB﹣sinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，由A∈（0，π），可得：A=，在△ADB中，由正弦定理可將，變形為則，∵=∴即a2λ2=4c2+b2+2bc…①在△ACB中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣bc…②由①②得令，，f′（t）=，令f′（t）=0，得t=，即時，λ最大．結合②可得b=，a=c在△ACB中，由正弦定理得?，?tanC=2+故答案為：2+．2.已知函數，則=（

）A．-4

B．4

C．8

D．-8參考答案：B3.如圖，函數f（x）的圖象為折線ACB，則不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}參考答案：C【考點】指、對數不等式的解法．【分析】在已知坐標系內作出y=log2（x+1）的圖象，利用數形結合得到不等式的解集．【解答】解：由已知f（x）的圖象，在此坐標系內作出y=log2（x+1）的圖象，如圖滿足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范圍是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故選C．4.y＝cosx·tanx的值域是()A．(－1,0)∪(0,1)

B．[－1,1]

C．(－1,1)

D．[－1,0)∪(0,1)參考答案：C略5.已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x＜2}，則A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，2} C．{﹣1，0} D．{0，1}參考答案：A【考點】交集及其運算．【專題】集合思想；綜合法；集合．【分析】根據交集的定義求出結果即可．【解答】已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x＜2}，則A∩B={﹣1，0，1}．故選：A．【點評】本題考查求兩個集合的交集的方法，是一道基礎題．6.已知全集.集合，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略7.有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下：則該幾何體的體積為（

）

A．72

B．

C．

D．參考答案：D8.已知函數f（x）的圖象是連續不斷的，有如下的x，f（x）對應值表：x1234567f（x）123.521.5﹣7.8211.57﹣53.7﹣126.7﹣129.6那么函數f（x）在區間[1，6]上的零點至少有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個參考答案：C【考點】函數零點的判定定理．【分析】利用根的存在性定理：f（x）的圖象在區間[a，b]上連續，且f（a）f（b）＜0則f（x）在（a，b）上有根，結合題中的表求出函數f（x）存在零點的區間．【解答】解：據根的存在性定理知：f（x）的圖象在區間[a，b]上連續，且f（a）f（b）＜0則f（x）在（a，b）上有根，f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＜0，f（4）f（5）＜0，知函數f（x）存在零點的區間是（2，3）；（3，4）；（4，5），有3個區間．故選：C．9.已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于（

）

A.

B.3

C.6

D.9參考答案：B10.已知△ABC，a=，b=，∠A=30°，則c=（） A． B．或 C． D．均不正確參考答案：B考點： 正弦定理．專題： 解三角形．分析： 由余弦定理可得2=6+c2﹣2×，整理可得：c，從而得解．解答： 解：∵a=，b=，∠A=30°，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即：2=6+c2﹣2×，整理可得：c，∴解得：c=或．故選：B．點評： 本題主要考查了余弦定理的應用，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.y=loga（x+2）+3過定點；y=ax+2+3過定點．參考答案：（﹣1，3）;（﹣2，4）.【考點】對數函數的單調性與特殊點．【專題】函數的性質及應用．【分析】由對數定義知，函數y=logax圖象過定點（1，0），故可令x+2=1求此對數型函數圖象過的定點．由指數定義知，函數y=ax圖象過定點（0，1），故可令x+2=0求此對數型函數圖象過的定點．【解答】解：由對數函數的定義，令x+2=1，此時y=3，解得x=﹣1，故函數y=loga（x+2）的圖象恒過定點（﹣1，3），由指數函數的定義，令x+2=0，此時y=4，解得x=﹣2，故函數y=ax+2+3的圖象恒過定點（﹣2，4），故答案為（﹣1，3），（﹣2，4）【點評】本題考點是對數函數和指數函數的單調性與特殊點，考查對數函數和指數函數恒過定點的問題，屬于基礎題．12.有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖),，，，，則這塊菜地的面積為______．參考答案：【分析】首先由斜二測圖形還原平面圖形，然后求解其面積即可.【詳解】由幾何關系可得，斜二測圖形中：，由斜二測圖形還原平面圖形，則原圖是一個直角梯形，其中上下底的長度分別為1,2，高為，其面積.【點睛】本題主要考查斜二測畫法，梯形的面積公式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.13.

參考答案：14.已知=（2，0），=（1，），若（1﹣λ）+λ﹣=（λ∈R），則||的最小值為．參考答案：【考點】向量的模．【分析】求出的坐標，得出||關于λ的函數，利用二次函數的性質得出最小值．【解答】解：∵（1﹣λ）+λ﹣=，∴=（1﹣λ）+=（2﹣λ，），∴||===2≥2×=．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的模長計算，屬于中檔題．15.冪函數在是減函數，則=_________.參考答案：略16.不等式的解集是

.參考答案：

(-)()17.已知數列的遞推關系式為，且，則該數列的前三項和為

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分8分）“水”這個曾經被人認為取之不盡、用之不竭的資源，竟然到了嚴重制約我國經濟發展、影響人民生活的程度．因為缺水，每年給我國工業造成的損失達2000億元，給我國農業造成的損失達1500億元，嚴重缺水困擾全國三分之二的城市。為鼓勵節約用水，某市打算出臺一項水費政策措施，規定：每一季度每人用水量不超過5噸時，每噸水費收基本價1.3元；若超過5噸而不超過6噸時，超過部分水費加收200%；若超過6噸而不超過7噸時，超過部分的水費加收400%，如果某人本季度實際用水量為噸，應交水費為。試求出函數的解析式。參考答案：當時，

當時，

當時，

故19.已知數列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（1）求a3，a5；（2）設bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，求{bn}的通項公式；（3）設cn＝，Sn為數列{cn}的前n項和，若存在使，求的取值范圍。參考答案：解：(1)由題意，令m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6

再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20…………2分(2)當n∈N*時，由已知以n＋2代替m可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8即

bn＋1－bn＝8所以{bn}是公差為8的等差數列

………………6分又{bn}是首項為b1＝a3－a1＝6,故bn＝8n－2

…………………8分

(3)由(1)(2)解答可知a2n+=1－a2n－1＝8n－2另由已知(令m＝1)可得an＝-(n－1)2.

那么an＋1－an＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n，故

………12分（或：取得故兩式相減得，又，得，）故cn＝，得cn，故，

………14分當時，，由題意若存在使

則，即的取值范圍為。

………16分略20.為迎接夏季旅游旺季的到來，少林寺單獨設置了一個專門安排游客住宿的客棧，寺廟的工作人員發現為游客準備的一些食物有些月份剩余不少，浪費很嚴重，為了控制經營成本，減少浪費，就想適時調整投入．為此他們統計每個月入住的游客人數，發現每年各個月份來客棧入住的游客人數會發生周期性的變化，并且有以下規律：①每年相同的月份，入住客棧的游客人數基本相同；②入住客棧的游客人數在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多．（1）試用一個正弦型三角函數描述一年中入住客棧的游客人數y與月x份之間的關系；（2）請問哪幾個月份要準備400份以上的食物？參考答案：（1）f（x）=200sin（x）+300；（2）只有6，7，8，9，10五個月份要準備400份以上的食物．試題分析：（1）根據①，可知函數的周期是12；根據②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）﹣f（2）=400；根據③可知，f（x）在[2，8]上單調遞增，且f（2）=100，由此可得函數解析式；（2）由條件知，200sin（x）+300≥400，結合x∈N*，1≤x≤12，即可得到結論．解：（1）設該函數為f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）根據①，可知函數的周期是12，∴=12，∴ω=；根據②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）﹣f（2）=400，故該函數的振幅為200；根據③可知，f（x）在[2，8]上單調遞增，且f（2）=100，∴f（8）=500∴，∴∵f（2）最小，f（8）最大，∴sin（2×+φ）=﹣1，sin（8×+φ）=1，∵0＜|φ|＜π，∴φ=∴f（x）=200sin（x）+300；（2）由條件知，200sin（x）+300≥400，化簡可得sin（x），∴2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z∴12k+6≤x≤12k+10，k∈Z∵x∈N*，1≤x≤12∴x=6，7，8，9，10∴只有6，7，8，9，10五個月份要準備400份以上的食物．考點：已知三角函數模型的應用問題．21.數列{an}的前n項和Sn滿足.（1）求證：數列是等比數列；（2）若數列{bn}為等差數列，且，求數列的前n項Tn.參考答案：(1)見證明；(2)【分析】（1）利用與的關系，即要注意對進行討論，再根據等比數列的定義，證明為常數；（2）利用錯位相減法對數列進行求和.【詳解】解（1）當時，，所以因為①，所以當時，②，①-②得，所以，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數列.（2）由（1）知，，所以，因為，所以，設的公差為，則，所以所以，，所以，則，以上兩式相減得：，所以.【點睛】數列為等差數列，數列為等比數列，則數列的求和可采用錯位相減法求和，注意求和后要保證常數的準確性.22.如圖，在△ABC中，BC邊上的中線AD長為3，且sinB=，cos∠ADC=﹣． （Ⅰ）求sin∠BAD的值； （Ⅱ）求AC邊的長． 參考答案：【考點】解三角形． 【分析】（Ⅰ）根據sinB=，cos∠ADC=﹣，利用平方關系，可得sinB、sin∠ADC的值，利用sin∠BAD=sin（∠ADC﹣