山西省大同市上深澗中學2023年高三數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復數（

）A．

B．

C．

D．參考答案：2.在區間上隨機選取一個數，則的概率為（

）

參考答案：B3.已知i為虛數單位,=(

）A．－3+2i

B．3+2i

C．3－2i

D．－3－2i參考答案：A根據復數模的定義可得，故選A.

4.已知a＞0，且a≠1，則函數f(x)＝ax＋(x－1)2－2a的零點個數為(

)

A.1

B.2

C.3

D.與a有關參考答案：B略5.設P，Q分別為圓x2+（y﹣6）2=2和橢圓+y2=1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是（）A．5 B．+ C．7+ D．6參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質；圓的標準方程．【分析】求出橢圓上的點與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點間的最大距離．【解答】解：設橢圓上的點為（x，y），則∵圓x2+（y﹣6）2=2的圓心為（0，6），半徑為，∴橢圓上的點（x，y）到圓心（0，6）的距離為==≤5，∴P，Q兩點間的最大距離是5+=6．故選：D．6.某錐體三視圖如右，根據圖中所標數據，該錐體的各側面中，面積最大的是（）

A.3B.2

C.6D.8參考答案：C

【知識點】由三視圖求面積、體積．G2解析：因為三視圖復原的幾何體是四棱錐，頂點在底面的射影是底面矩形的長邊的中點，底面邊長分別為4，2，后面是等腰三角形，腰為3，所以后面的三角形的高為：=，所以后面三角形的面積為：×4×=2．兩個側面面積為：×2×3=3，前面三角形的面積為：×4×=6，四棱錐P﹣ABCD的四個側面中面積最大的是前面三角形的面積：6．故選C．【思路點撥】三視圖復原的幾何體是四棱錐，利用三視圖的數據直接求解四棱錐P﹣ABCD的四個側面中面積，得到最大值即可．7.已知點是雙曲線：左支上一點，，是雙曲線的左、右兩個焦點，且，兩條漸近線相交兩點（如圖），點恰好平分線段，則雙曲線的離心率是

（

）A．

B．2

C．

D．參考答案：A8.已知數列為等比數列，，，則的值為

A．

B．

C．

D．

參考答案：D在等比數列中，，所以公比，又，解得或。由，解得，此時。由，解得，此時，綜上，選D.9.如圖，F1，F2是雙曲線C：的左、右焦點，過F2的直線與雙曲線C交于A，B兩點．若|AB|：|BF1|：|AF1|=3：4：5。則雙曲線的離心率為

A．

C．3

B．2

D．參考答案：A因為|AB|：|BF1|：|AF1|=3：4：5，所以設, 所以三角形為直角三角形。因為，所以，所以。又,即，解得。又，即，所以，即，所以，即，選A.10.已知拋物線，定點，，點P是拋物線C上不同于頂點的動點，則的取值范圍為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據圖像分析得到當直線與拋物線相切時，最大，聯立直線和拋物線，使得得到參數,進而得到結果.【詳解】作出拋物線，如圖所示.由圖可知，當直線與拋物線相切時，最大.設直線的方程為，聯立得.令，得，此時，所以.【點睛】在處理直線和圓錐曲線的位置關系時，往往先根據題意合理設出直線方程，再聯立直線和圓錐曲線方程，但要注意“直線不存在斜率”的特殊情況.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖4，橢圓的中心在坐標原點，為左焦點，、分別為長軸和短軸上的一個頂點，當時，此類橢圓稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推出“黃金雙曲線”的離心率為

．參考答案：由圖知，，整理得，即，解得，故．12.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數列，則

。參考答案：略13.下列命題中，錯誤命題的序號有

．（1）“a=﹣1”是“函數f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）為偶函數”的必要條件；（2）“直線l垂直平面α內無數條直線”是“直線l垂直平面α”的充分條件；（3）若xy=0，則|x|+|y|=0；（4）若p：?x∈R，x2+2x+2≤0，則￢p：?x∈R，x2+2x+2＞0．參考答案：（2）（3）【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】（1）根據充分條件和必要條件的定義進行判斷．（2）根據線面垂直的定義進行判斷．（3）根據絕對值的性質進行判斷．（4）根據含有量詞的命題的否定進行判斷．【解答】解：（1）若“函數f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）為偶函數”，則f（﹣x）=f（x），即x2+|x+a+1|=x2+|﹣x+a+1|，則|x+a+1|=|x﹣（a+1）|，平方得x2+2（a+1）x+（a+1）2=x2﹣2（a+1）x+（a+1）2，即2（a+1）x=﹣2（a+1）x，則4（a+1）=0，即a=﹣1，則“a=﹣1”是“函數f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）為偶函數”的必要條件；正確；（2）“直線l垂直平面α內無數條直線”則“直線l垂直平面α”不一定成立，故（2）錯誤；（3）當x=0，y=1時，滿足xy=0，但|x|+|y|=0不成立，故（3）錯誤；（4）若p：?x∈R，x2+2x+2≤0，則￢p：?x∈R，x2+2x+2＞0正確．故錯誤的是（2）（3），故答案為：（2）（3）14.設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=2x+3y的最小值為

。參考答案：7略15.已知，命題：，，命題：，，若命題為真命題，則實數的取值范圍是_____．參考答案：或【分析】根據不等式恒成立化簡命題為，根據一元二次方程有解化簡命題為或，再根據且命題的性質可得結果.【詳解】若命題：“，”為真；則，解得：，若命題：“，”為真，則，解得：或，若命題“”是真命題，則，或，故答案為：或【點睛】解答非命題、且命題與或命題真假有關的題型時，應注意：（1）原命題與其非命題真假相反；（2）或命題“一真則真”；（3）且命題“一假則假”.16.已知函數，則滿足的取值范圍是

參考答案：17.若函數＝（＞0，且≠1）的反函數的圖像過點（2，－1），則＝

．參考答案：答案：解析：由互為反函數關系知，過點，代入得：；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)設為數列的前項和，且有(Ⅰ)求數列的通項公式；(Ⅱ)若數列是單調遞增數列，求的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)當時，由已知

…①于是

…②由②－①得

……③于是

……④由④－③得

……⑤上式表明：數列和分別是以，為首項，6為公差的等差數列.

4分又由①有，所以,由③有，，所以，．所以，.

8分(Ⅱ)數列是單調遞增數列且對任意的成立．且．所以的取值范圍是

13分19.（12分）已知函數，.（1）討論函數的單調性；（2）當時，證明．參考答案：（1）函數的定義域為，且.當時，，在上單調遞增；當時，若時，則，函數在上單調遞增；若時，則，函數在上單調遞減.

.................................................4分（2）由（1）知，當時，.要證，只需證，即只需證構造函數，則.所以在單調遞減，在單調遞增.所以.所以恒成立，所以.

.................................................12分20.如圖，在五面體ABCDFE中，側面ABCD是正方形，是等腰直角三角形，點O是正方形ABCD對角線的交點，且.（1）證明：OF∥平面ABE；（2）若側面ABCD與底面ABE垂直，求五面體ABCDFE的體積.參考答案：（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；（2）取的中點，的中點，連接、、，將五面體分割為三棱柱和四棱錐，證明出底面和平面，然后利用柱體和錐體體積公式計算出兩個簡單幾何體的體積，相加可得出五面體的體積.【詳解】（1）取的中點，連接、，側面為正方形，且，為的中點，又為的中點，且，且，，所以，四邊形為平行四邊形，.平面，平面，平面；（2）取的中點，的中點，連接、、，四邊形為正方形，.平面平面，平面平面，平面，底面，易知，，，，為中點，，，平面，平面，，，、平面，平面.，平面，且，，因此，.【點睛】本題考查直線與平面平行的證明，以及多面體體積的計算，在計算多面體體積時，一般有以下幾種方法：（1）直接法；（2）等體積法；（3）割補法.在計算幾何體體積時，要結合幾何體的結構選擇合適的方法進行計算，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題.21.某企業生產一種機器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產100臺時，又需可變成本(即另增加投入)0.25萬元．市場對此商品的年需求量為500臺，銷售的收入(單位：萬元)函數為，其中x是產品生產的數量(單位：百臺)．(1)求利潤關于產量的函數．(2)年產量是多少時，企業所得的利潤最大？參考答案：（1）解：設年產量為x，利潤為………………6分（2）解：由（1）知時，………………8分時，=………………10分當時，故年產量為475臺時，工廠所得利潤最大………………12分【分析】（1）由于商品年需求量為，故要對產量分成不大于和大于兩段來求利潤.當時，用收入減掉成本，即為利潤的值.當時，成本和的表達式一樣，但是銷售收入是固定的，由此求得解析式.（2）兩段函數，二次函數部分用對稱軸求得其最大值，一次函數部分由于是遞減的，在左端點有最值的上限.比較兩段函數的最大值，來求得整個函數的最大值.【詳解】(1)當0≤x≤5時，產品能全部售出，則成本為0.25x＋0.5，收入為5x－x2，利潤f(x)＝5x－x2－0.25x－0.5＝－x2＋4.75x－0.5.當x>5時，只能銷售500臺，則成本為0.25x＋0.5，銷售收入為5×5－×52＝，利潤f(x)＝－0.25x－0.5＝－0.25x＋12.綜上，利潤函數f(x)＝(2)當0≤x≤5時，f(x)＝－(x－4.75)2＋10.78125，當x＝4.75∈[0,5]時，f(x)max＝10.78125(萬元)；當x>5時，函數f(x)是遞減函數，則f(x)<12－0.25×5＝10.75(萬元)．10．75<10.78125.綜上，當年產量是475臺時，利潤最大．【點睛】本小題主要考查實際生活計算利潤的問題.在利潤等于收入減去成本.本題中含有固定成本和可變成本.而需求量是一個固定值，所以產量超過500時，收入是固定的，這一點解題過程中要注意到.22.如圖，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是邊AB上一點．（1）求△ABC面積的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面積為4，∠ACD為銳角，求BC的長．參考答案：【考點】余弦定理．【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理，基本不等式可求，進而利用三角形面積公式即可計算得解△ABC的面積的最大值．（2）設∠ACD=θ，由已知及三角形面積公式可求sinθ，進而利用同角三角函數基本關系式可求cosθ，利用余弦定理可求AD的值