山西省呂梁市賀羅中學2022-2023學年高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)為奇函數(shù)，時為增函數(shù)且，則=（

）A.

B.C.

D.參考答案：A2.

甲、乙、丙、丁四位同學各自對、兩變量的線性相關性作試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)與殘差平方和如下表：

甲乙丙丁0.820.780.690.85115106124103則哪位同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)、兩變量更強的線性相關性？（

）

甲

乙

丙

丁參考答案：D3.已知函數(shù)，若恰有兩個不同的零點，則a的取值范圍為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，求得當時，函數(shù)的最大值為，再根據(jù)函數(shù)由兩個零點，得出，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)最多只有一個零點，不符合題意；當時，令，即，解得或（舍去）則當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，要使得函數(shù)由兩個零點，則，解得，故選C.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，其中解答中利用導數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最大值是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.4.設全集，集合則集合=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：,.考點：集合交并補．5.如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足.當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是橢圓，那么這個橢圓的離心率是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D【考點】橢圓【試題解析】設

由題知：，所以

又因為所以，

所以

所以6.已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖為等腰直角三角形，側(cè)視圖與俯視圖均為正方形，那么該幾何體的表面積是（

）A．16

B．

C．20

D．參考答案：B7.

設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為

(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：A8.已知函數(shù)，則的圖象大致為

參考答案：A略9.已知不等式組，則目標函數(shù)z=2y﹣x的最大值是（） A．1 B． ﹣1 C． ﹣5 D． 4參考答案：A略10.四棱錐的所有側(cè)棱長都為，底面是邊長2的正方形，則四棱錐的外接球的表面積（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓的圓心與點關于直線對稱，并且圓與相切，則圓的方程為______________。參考答案：12.已知，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是

．參考答案：且試題分析：由于與的夾角為銳角，，且與不共線同向，由，解得，當向量與共線時，得，得，因此的取值范圍是且．考點：向量夾角．13.(09年石景山區(qū)統(tǒng)一測試理)若展開式的第項為，則=

．參考答案：14.為了了解居民天氣轉(zhuǎn)冷時期電量使用情況，某調(diào)查人員由下表統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算出回歸直線方程為，現(xiàn)表中一個數(shù)據(jù)為污損，則被污損的數(shù)據(jù)為

．（最后結(jié)果精確到整數(shù)位）

氣溫x181310－1用電量y2434·64

參考答案：3815.已知函數(shù)是偶函數(shù)，定義域為，則--____參考答案：16.設向量，，則向量在向量方向上的投影為

．參考答案：17.曲線在處的切線的斜率

參考答案：2

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓：的離心率為，點為左焦點，過點作軸的垂線交橢圓于、兩點，且.（1）求橢圓的方程；（2）在圓上是否存在一點，使得在點處的切線與橢圓相交于、兩點滿足？若存在，求的方程；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）又,橢圓的方程為：（2）假設存在點，使得.當?shù)男甭什淮嬖跁r，:或與橢圓：相交于，兩點，此時或當直線的斜率不存在時不滿足.當直線的斜率存在時，設：則直線與橢圓相交于，兩點，化簡得設，，又與圓相切，，顯然不成立，在圓上不存在這樣的點使其成立.19.已知函數(shù)（Ｒ）的兩個零點為設.（Ⅰ）當時，證明：．（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，求的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）證法1：由求根公式得：因為，所以，一方面：，…4分另一方面，由，得于是，

…………7分證法2：因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，當時，在區(qū)間（-2,0）上單調(diào)遞減.………4分又因為：，所以：．…………7分(Ⅱ)…………９分若則上單調(diào)遞減，從而在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，于是只有.

…………11分當時，由（1）知：，于是，由在上單調(diào)遞增可知，在也是單調(diào)遞增的．

…………13分又因為在和均單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)圖象可知，上單調(diào)遞增，于是，欲使在（2，+）上單調(diào)遞增，只需，亦即．綜上所述，.

…………15分20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若不等式對一切正實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．B12【答案解析】（1）g（x）有極大值為g（1）＝0，無極小值；（2）當a≤1時，h（x）的增區(qū)間為（0，＋∞），無減區(qū)間；當a＞1時，h（x）增區(qū)間為（0，1），（a，＋∞）；減區(qū)間為（1，a）；（3）（－∞，2]．

解析：（1）g（x）＝lnx－x＋1，g′（x）＝－1＝，當0＜x＜1時，g′（x）＞0；當x＞1時，g′（x）＜0，可得g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，故g（x）有極大值為g（1）＝0，無極小值．

（2）h（x）＝lnx＋|x－a|．當a≤0時，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此時h（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；當a＞0時，

①當x≥a時，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此時h（x）在（a，＋∞）上單調(diào)遞增；

②當0＜x＜a時，h（x）＝lnx－x＋a，h′（x）＝－1＝．

當0＜a≤1時，h′（x）＞0恒成立，此時h（x）在（0，a）上單調(diào)遞增；

當a＞1時，當0＜x＜1時h′（x）＞0，當1≤x＜a時h′（x）≤0，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減．

綜上，當a≤1時，h（x）的增區(qū)間為（0，＋∞），無減區(qū)間；當a＞1時，h（x）增區(qū)間為（0，1），（a，＋∞）；減區(qū)間為（1，a）．（3）不等式（x2－1）f（x）≥k（x－1）2對一切正實數(shù)x恒成立，即（x2－1）lnx≥k（x－1）2對一切正實數(shù)x恒成立．當0＜x＜1時，x2－1＜0；lnx＜0，則（x2－1）lnx＞0；當x≥1時，x2－1≥0；lnx≥0，則（x2－1）lnx≥0．因此當x＞0時，（x2－1）lnx≥0恒成立．又當k≤0時，k（x－1）2≤0，故當k≤0時，（x2－1）lnx≥k（x－1）2恒成立．下面討論k＞0的情形．記△＝4（1－k）2－4＝4（k2－2k）．①當△≤0，即0＜k≤2時，h′（x）≥0恒成立，故h（x）在（0，1）及（1，＋∞）上單調(diào)遞增．于是當0＜x＜1時，h（x）＜h（1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．當x＞1時，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．又當x＝1時，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．因此當0＜k≤2時，（x2－1）lnx≥k（x－1）2對一切正實數(shù)x恒成立．②當△＞0，即k＞2時，設x2＋2（1－k）x＋1＝0的兩個不等實根分別為x1，x2（x1＜x2）．函數(shù)φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1圖像的對稱軸為x＝k－1＞1，又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故當x∈（1，k－1）時，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，從而h（x）在（1，k－1）在單調(diào)遞減；而當x∈（1，k－1）時，h（x）＜h（1）＝0，此時x2－1＞0，于是（x2－1）h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，因此當k＞2時，（x2－1）lnx≥k（x－1）2對一切正實數(shù)x不恒成立．綜上，當（x2－1）f（x）≥k（x－1）2對一切正實數(shù)x恒成立時，k≤2，即k的取值范圍是（－∞，2]．【思路點撥】（1）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)g（x）=f（x）﹣x+1的極值；（2）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，即可求函數(shù)h（x）=f（x）+|x﹣a|（a為實常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間；（3）注意：①適當變形后研究函數(shù)h（x）；②當k＞2時，區(qū)間（1，k﹣1）是如何找到的．21.已知橢圓+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，），離心率為，左、右焦點分別為F1（﹣c，0）與F2（c，0）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設橢圓C與x軸負半軸交點為A，過點M（﹣4，0）作斜率為k（k≠0）的直線l，交橢圓C于B、D兩點（B在M、D之間），N為BD中點，并設直線ON的斜率為k1．（i）證明：k?k1為值；（ii）是否存在實數(shù)k，使得F1N⊥AD？如果存在，求直線l的方程；如果不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（I）由橢圓經(jīng)過點（0，），離心率為，可得，解得即可．（II）（i）設B（x1，y1），D（x2，y2），線段BD的中點N（x0，y0）．由題意可得直線l的方程為：y=k（x+4），與橢圓方程聯(lián)立化為（3+4k2）x2+k2x+64k2﹣12=0，由△＞0，可得，且k≠0．利用根與系數(shù)的關系、中點坐標公式可得=，即可證明．（ii）假設存在實數(shù)k，使得F1N⊥AD，則=﹣1，利用斜率計算公式可得x2=﹣8k2﹣2＜﹣2，與x2≥﹣2矛盾．【解答】解：（I）∵橢圓經(jīng)過點（0，），離心率為，∴，解得a=2，c=1，b=．∴橢圓C的方程為．（II）（i）證明：設B（x1，y1），D（x2，y2），線段BD的中點N（x0，y0）．由題意可得直線l的方程為：y=k（x+4），聯(lián)立，化為（3+4k2）x2+k2x+64k2﹣12=0，由△＞0，可得，且k≠0．∴x1+x2=，．∴=，y0=k（x0+4）=，∴=，即k1?k=﹣為定值．（ii）假設存在實數(shù)k，使得F1N⊥AD，則=﹣1，∵===，kAD==，∴=﹣1，化為x2=﹣8k2﹣2＜﹣2，與x2≥﹣2矛盾，∴直線l不存在．【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、斜率計算公式、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．22.下圖給出的是2000年至2016年我國實際利用外資情況，以下結(jié)論正