山西省呂梁市石口鄉中學2021年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.空氣質量指數AQI是反映空氣質量狀況的指數，AQI指數值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如表：AQI指數值0～5051～100101～150151～200201～300＞300空氣質量優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

如圖是某市10月1日-20日AQI指數變化趨勢：下列敘述錯誤的是（

）A.這20天中AQI指數值的中位數略高于100B.這20天中的中度污染及以上的天數占C.該市10月的前半個月的空氣質量越來越好D.總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好參考答案：C【分析】根據所給圖象，結合中位數的定義、指數與污染程度的關系以及古典概型概率公式，對四個選項逐一判斷即可.【詳解】對，因為第10天與第11天指數值都略高100，所以中位數略高于100，正確；對，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正確；對，由圖知，前半個月中，前4天的空氣質量越來越好，后11天該市的空氣質量越來越差，錯誤；對，由圖知，10月上旬大部分指數在100以下，10月中旬大部分指數在100以上，所以正確，故選C.【點睛】與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.2.設是函數圖象上的點，則的最小值為

A．2

B．

C．4

D．4參考答案：B略3.已知命題，，那么命題為（

）

A．

B．C．

D．參考答案：B略4.已知橢圓：，左右焦點分別為，過的直線交橢圓于A，B兩點，若的最大值為5，則的值是

A.1

B.

C.

D.參考答案：D略5.的展開式的常數項是

（

）

A．－3

B．－2

C．2

D．3參考答案：D6.若，則（

）A. B. C.-1 D.3參考答案：A【分析】由，可求出的值，所求式子可以寫成分母為1的形式，用進行代換，分子、分母同時除以，然后把的值代入求值即可.【詳解】,,把代入，求得，故本題選A.【點睛】本題考查了兩角和的正切公式、正弦的二倍角公式,解決本題的關鍵是的代換，變成雙齊次方程，這樣便于求出值來.7.已知向量，若垂直，則的值為

A．

B．

C．

D．參考答案：B8.定義在R上的奇函數滿足，當時，，則集合等于A． B．C． D．參考答案：B略9.[x]表示不超過x的最大整數，例如[1.7]=1，[﹣3.1]=﹣4，已知f（x）=x﹣[x]（x∈R），g（x）=lg|x|，則函數h（x）=f（x）﹣g（x）的零點個數是（）A．15 B．16 C．17 D．18參考答案：D【考點】根的存在性及根的個數判斷；函數零點的判定定理．【分析】作函數f（x）=x﹣[x]（x∈R）與g（x）=log2015x的圖象，從而化函數h（x）=f（x）﹣g（x）的零點個數為圖象的交點的個數．【解答】解：作函數f（x）=x﹣[x]（x∈R）與g（x）=lg|x|的圖象如下，lg10=1，lg|﹣10|=1由圖象可知：函數f（x）與g（x）的圖象在每個區間[n，n+1]（1≤n＜10）都有一個交點，故函數f（x）與g（x）的圖象共有2×9=18，故選：D．10.在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面積為，那么BC的長度為（）A． B．3 C．2 D．參考答案：A【考點】三角形中的幾何計算．【分析】根據三角形的面積公式求得丨AB丨，cosA=，sinA=，求得丨AD丨，丨BD丨在△BDC中利用勾股定理即可求得BC的長度．【解答】解：在圖形中，過B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨?丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，則丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，則丨BC丨=，故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在空間直角坐標系中有棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1，點M是線段DC1上的動點，則點M到直線AD1距離的最小值是________．參考答案：略12.一同學為研究函數的性質，構造了如圖所示的兩個邊長為的正方形和點是邊上的一動點，設則請你參考這些信息，推知函數的零點的個數是

.

參考答案：2略13.已知向量，若，則

．參考答案：略14.若，則等于

.參考答案：試題分析：，所以，.考點：二項式定理.15.如圖中，已知點在邊上，，，，，則的長為______________

參考答案：略16.給定平面上四點O，A，B，C滿足OA=4，OB=2，OC=2，=2，則△ABC面積的最大值為． 參考答案：【考點】平面向量數量積的運算． 【專題】計算題；方程思想；向量法；平面向量及應用． 【分析】先利用向量的數量積公式，求出∠BOC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面積可得O到BC的距離，即可求出△ABC面積的最大值． 【解答】解：：∵OB=2，OC=2，=2， ∴cos∠BOC=，則∠BOC=60°， ∴BC=， 設O到BC的距離為h，則由等面積可得×2h=， ∴h=2×， ∴△ABC面積的最大值為×2×（）=． 故答案為：． 【點評】本題考查向量在幾何中的應用，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，求出BC，O到BC的距離是關鍵，是中檔題． 17.等比數列中，，，則（

）A．－4

B．4

C．±4

D．－5參考答案：A三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.三棱柱ABC-A1B1C1中，D為AB的中點，點E在側棱CC1上，DE∥平面AB1C1(1)證明：E是CC1的中點；(2)設∠BAC=90°,四邊形ABB1A1為邊長為4正方形，四邊形ACC1A1為矩形，且異面直線DE與B1C1所成的角為30°，求該三棱柱ABC-A1B1C1的體積.參考答案：(1)證明見解析；(2)32.【分析】（1）利用棱柱的性質以及相似三角形判斷定理，證得，從而得到；連接分別交于，連，利用線面平行性質定理證得，從而得到；再證得，從而得到，結論得證.（2）取的中點，連接，則或其補角為異面直線與所成的角，結合題目條件，設，分別求出，再利用余弦定理，即可建立方程求出，從而求出三棱柱的體積.【詳解】(1)證明：連接分別交于，連，∵平面，平面，平面平面=，∴,又∵在三棱柱側面中，為的中點，由可得，，所以，故，，∴，在平面中同理可證得，故有是的中點.(2)取的中點，連接，可知，故或其補角為異面直線與所成的角，設，則在中，可求，則余弦定理可求：，解得：，故【點睛】本題考查了線面平行性質定理的應用，相似三角形的判斷與性質應用，異面直線所成角以及三棱柱體積計算，屬于中檔題.19.某企業有兩個分廠生產某種零件，按規定內徑尺寸（單位：mm）的數據落在（164，181]的零件為優質品．現從兩個分廠生產的零件中隨機各抽出10件，量其內徑尺寸（單位：mm），獲得內徑尺寸數據的莖葉圖如圖所示．（Ⅰ）試分別估計兩個分廠生產的零件的優質品率；（Ⅱ）從乙廠樣本中任意抽取3個零件，求3個零件中恰有1個為優質品的概率；（Ⅲ）若從甲、乙兩廠的樣本中各抽取1個零件，ξ表示這2個零件中優質品的個數，求ξ的分布列及數學期望Eξ．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；莖葉圖；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根據莖葉圖中的數據，計算甲、乙兩廠優質品率；（Ⅱ）根據n次獨立重復實驗的概率公式計算對應的概率值；（Ⅲ）由已知ξ的可能取值是0，1，2，求出對應的概率，再寫出ξ的分布列與數學期望．【解答】解：（Ⅰ）根據莖葉圖中的數據，甲廠數據落在（164，181]的零件個數為6，優質品率為=0.6，乙廠數據落在（164，181]的零件個數是8個，優質品率為=0.8；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（Ⅱ）從乙廠樣本中任意抽取3個零件，3個零件恰有1個為優質品的概率為P==0.096；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅲ）由已知ξ的可能取值是0，1，2；且P（ξ=0）=0.4×0.2=0.08，P（ξ=1）=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44，P（ξ=2）=0.6×0.8=0.48；ξ的分布列為ξ014P

0.08

0.44

0.48…（10分）數學期望為Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=1.4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【點評】本題考查了莖葉圖以及n次獨立重復實驗的概率計算問題，也考查了分布列與數學期望的計算問題，是基礎題．20.已知函數的定義域為，值域為

，求常數a、b的值．參考答案：解：∵

．∵，∴，∴．當a>0時，b≤f(x)≤3a+b，∴

解得

當a<0時，3a+b≤f(x)≤b．∴

解得

故a、b的值為

或21.（本小題滿分14分）已知橢圓的左右焦點分別是，直與橢圓交于兩點且當時，M是橢圓的上頂點，且△的周長為6.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左頂點為A，直線與直線：分別相交于點，問當變化時，以線段為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，說明理由參考答案：（1）當時，直線的傾斜角為，所以：…………3分解得：，…………5分所以橢圓方程是：；…………6分（1） 當時，（2） 直線的方程為：，（3） 此時，（4） 點的坐標（5）分別是，（6） 又點坐標（7） 是，（8） 由圖可以得到兩點坐標（9） 分別是，（10） 以為直徑的圓過右焦點，（11） 被軸截得的弦長為6，（12） 猜測當變化時，（13） 以為直徑的圓恒過焦點，（14）被軸截得的弦長為定值6，（15） ………………8分證明如下：設點點的坐標分別是，則直線的方程是：，所以點的坐標是，同理，點的坐標是，…9分由方程組得到：，所以：，……………11分從而：=0，所以：以為直徑的圓一定過右焦點，被軸截得的弦長為定值6.……………14分22.（本題滿分15分）在直角坐標系xOy中，曲線C1的點均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且對上任意一點M，M到直線x=﹣2的距離等于該點與圓上點的距離的最小值。（Ⅰ）求曲線C1的方程。（Ⅱ）設P(x0,y0)（y0≠±3）為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別于曲線C1相交于點A，B和C，D.證明：當P在直線x=﹣4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值.參考答案：(Ⅰ)解法1:設M的坐標為,由已知得,易知圓上的點位于直線的右側.于是,所以.化簡得曲線的方程為.……5分解法2:由題設知,曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離,因此,曲線是以為焦點,直線為準線的拋物線,故其方程為.……5分