數學必修④·人教A版新課標導學第二章平面向量2.2平面向量的線性運算2.2.3向量數乘運算及其幾何意義1自主預習學案2互動探究學案3課時作業學案自主預習學案向量相同0

相反3．向量數乘的運算律向量的數乘運算滿足下列運算律：設λ、μ為實數，則(1)λ(μa)＝______________；(2)(λ＋μ)a＝______________；(3)λ(a＋b)＝______________(分配律)．特別地，我們有(－λ)a＝______________＝______________，λ(a－b)＝______________．(λμ)a

λa＋μa

λa＋λb

－(λa)

λ(－a)

λa－λb

4．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使____________．5．向量的線性運算向量的______、______、________運算統稱為向量的線性運算，對于任意向量a、b以及任意實數λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_______________．b＝λa

加減數乘λμ1a±λμ2b

[知識點撥]向量共線定理的理解注意點及主要應用1．定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，則實數λ可以是任意實數；若a＝0，b≠0，則不存在實數λ，使得b＝λa．2．這個定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實數t，s，使ta＋sb＝0，則a與b共線；若兩個非零向量a與b不共線，且ta＋sb＝0，則必有t＝s＝0．1．已知非零向量a、b滿足a＝4b，則 (

)A．|a|＝|b|

B．4|a|＝|b|C．a與b的方向相同 D．a與b的方向相反[解析]

∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|．∵4b與b的方向相同，∴a與b的方向相同．C

B

C

B

互動探究學案命題方向1

?向量的線性運算[思路分析]運用向量數乘的運算律求解．典例1『規律總結』

向量的線性運算類似于代數多項式的運算，實數運算中去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量線性運算中也可以使用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數．命題方向2

?共線向量定理及其應用典例2(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，∵a、b是不共線的兩個非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1．『規律總結』

用向量法證明三點共線時，關鍵是能否找到一個實數λ，使得b＝λa(a、b為這三點構成的其中任意兩個向量)．證明步驟是先證明向量共線，然后再由兩向量有公共點，證得三點共線．命題方向3

?用向量的線性運算表示未知向量典例3『規律總結』

解決此類問題的思路一般是將所表示向量置于某一個三角形內，用減法法則表示，然后逐步用已知向量代換表示．A

命題方向4

?單位向量的應用B

典例4B

三點共線定理典例5D

向量的起點、終點弄不清楚，導致向量表示錯誤典例6[點評]

在向量的線性運算中，向量的差、向量的方向都是易錯點，在運算中要高度重視．另外，幾何圖形的性質還要會準確應用．1．(2a－b)－(2a＋b)等于 (

)A．a－2b B．－2b

C．0 D．b－a2．已知λ、μ∈R，下面式子正確的是 (

)A．λa與a同向 B．0·a＝0C．(λ＋μ)a＝λa＋μa D．若b＝λa，則|b|＝λ|a|[解析]

對A，當λ>0時正確，否則錯誤；對B,0·a是向量而非數0；對D，若b＝λa，則|b|＝|λa|．B

C

D

4．已知向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，若a∥b，則 (

)A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或e1＝0[解析]

當e1＝0時，顯然有a∥b；當e1≠0時，