1、2021/8/141第四章第四章 輪廓加工的數學基礎輪廓加工的數學基礎第一節第一節 概述概述一、插補的概念一、插補的概念 輪廓的形狀是由各種線形構成的，用戶在零件加工程序中，一般只輪廓的形狀是由各種線形構成的，用戶在零件加工程序中，一般只提供描述該線形所必須的相關參數。為了實現軌跡控制，在運動過程中提供描述該線形所必須的相關參數。為了實現軌跡控制，在運動過程中要要實時實時計算出滿足線形和進給速度要求的若干中間點。計算出滿足線形和進給速度要求的若干中間點。 插補插補就是根據給定進給速度和輪廓線形的要求，在輪廓的起點和終就是根據給定進給速度和輪廓線形的要求，在輪廓的起點和終點之間，確定一些中間的方

2、法。點之間，確定一些中間的方法。 對于輪廓控制系統來說，最重要的功能就是插補功能。因為插補運對于輪廓控制系統來說，最重要的功能就是插補功能。因為插補運算是在機床運動過程中實時進行的，即在有限的時間內，必須對各坐標算是在機床運動過程中實時進行的，即在有限的時間內，必須對各坐標軸實時地分配相應的位置控制信息和速度控制信息。軸實時地分配相應的位置控制信息和速度控制信息。 插補算法的優劣，將直接影響插補算法的優劣，將直接影響CNC系統的性能指標。系統的性能指標。2021/8/142插補的實質插補的實質數控裝置向各坐標提供相互協調的數控裝置向各坐標提供相互協調的進給脈沖進給脈沖，伺服系統根據，伺服系統根

3、據進給脈沖進給脈沖驅動機床各坐標軸運動驅動機床各坐標軸運動。數控裝置的關鍵問題：根據控制指令和數據進行數控裝置的關鍵問題：根據控制指令和數據進行脈沖數目分配的運算脈沖數目分配的運算（即插補計算），產生機床各坐標的進給脈沖。（即插補計算），產生機床各坐標的進給脈沖。插補計算就是數控裝置根據輸入的基本數據，通過計算，把工件輪廓插補計算就是數控裝置根據輸入的基本數據，通過計算，把工件輪廓的形狀描述出來，的形狀描述出來，邊計算邊根據計算結果向各坐標發出進給脈沖邊計算邊根據計算結果向各坐標發出進給脈沖，對，對應每個脈沖，機床在響應的坐標方向上移動一個脈沖當量的距離，從應每個脈沖，機床在響應的坐標方向上移

4、動一個脈沖當量的距離，從而將工件加工出所需要輪廓的形狀。而將工件加工出所需要輪廓的形狀。插補的實質：在一個線段的起點和終點之間進行插補的實質：在一個線段的起點和終點之間進行數據點的密化。數據點的密化。2021/8/143 由于插補方法的重要性，不少學者都致力于插補算法的研究，使由于插補方法的重要性，不少學者都致力于插補算法的研究，使之不斷有新的、更有效的插補方法應用于之不斷有新的、更有效的插補方法應用于CNC系統。系統。 目前，常用的插補算法大致可以分為兩大類：目前，常用的插補算法大致可以分為兩大類：脈沖增量插補和數脈沖增量插補和數據采樣插補。據采樣插補。1、脈沖增量插補、脈沖增量插補 脈沖增

5、量插補是控制單個脈沖輸出規律的插補方法。每輸出一個脈沖增量插補是控制單個脈沖輸出規律的插補方法。每輸出一個脈沖，移動部件都要相應的移動一定距離，這個距離稱為脈沖當量脈沖，移動部件都要相應的移動一定距離，這個距離稱為脈沖當量（0.01mm0.1um）。）。 通常用于步進電機控制系統。通常用于步進電機控制系統。2021/8/1442、數據采樣插補、數據采樣插補 數據采樣插補法是在規定的時間（插補時間）內，計算出各坐標數據采樣插補法是在規定的時間（插補時間）內，計算出各坐標方向的增量值（方向的增量值（X、Y 、 Z）。）。 這些數據嚴格的限制在一個插補時間內（如這些數據嚴格的限制在一個插補時間內（如

6、4ms)計算完畢，送給計算完畢，送給伺服系統，再由伺服系統控制移動部件運動。伺服系統，再由伺服系統控制移動部件運動。 移動部件也必須在下一個插補時間內走完插補計算給出的行程，移動部件也必須在下一個插補時間內走完插補計算給出的行程，因此數據采樣插補也稱為時間標量插補，因此數據采樣插補也稱為時間標量插補， 插補時間采用插補時間采用12ms、8ms、4ms、2ms等，對于運行速度較快的計等，對于運行速度較快的計算機，有的選用的更小。插補時間越短，機床的進給速度越快。現代算機，有的選用的更小。插補時間越短，機床的進給速度越快。現代數據機床的進給速度已超過數據機床的進給速度已超過15m/min30m/m

7、in，有些達到，有些達到60m/min。它適用于直流伺服電動機和交流伺服電動機的閉環或半閉環控制系統。它適用于直流伺服電動機和交流伺服電動機的閉環或半閉環控制系統。2021/8/145第二節第二節 脈沖增量插補脈沖增量插補 主要介紹：主要介紹： 逐點比較法逐點比較法 數字積分法數字積分法 脈沖增量插補就是分配脈沖的計算，在插補過得中不斷向各坐標軸脈沖增量插補就是分配脈沖的計算，在插補過得中不斷向各坐標軸發出相互協調的進給脈沖，控制機床坐標作相應的移動。發出相互協調的進給脈沖，控制機床坐標作相應的移動。2021/8/146一、逐點比較法插補原理一、逐點比較法插補原理基本原理：基本原理：數控裝置在

8、控制刀具按要求的軌跡移動過程中，不斷比數控裝置在控制刀具按要求的軌跡移動過程中，不斷比較刀具與給定輪廓誤差，由此誤差決定下一步刀具移動方向，使刀較刀具與給定輪廓誤差，由此誤差決定下一步刀具移動方向，使刀具向減少誤差的方向移動，且只有一個方向移動。具向減少誤差的方向移動，且只有一個方向移動。2021/8/147一、逐點比較法插補原理一、逐點比較法插補原理逐點比較法插補過程可按以下逐點比較法插補過程可按以下4 4個步驟個步驟( (節拍節拍) )進行：進行：第第1 1節拍節拍: :偏差判別：偏差判別： 判別刀具當前位置相對給定判別刀具當前位置相對給定輪廓的偏差情況輪廓的偏差情況, , 以此確定進以此

9、確定進給方向。給方向。第第2 2節拍節拍: :進給進給: : 使刀具向給定輪廓進給一步使刀具向給定輪廓進給一步, ,即向減少誤差方向移動。即向減少誤差方向移動。2021/8/148第第3 3節拍節拍: : 偏差計算：偏差計算： 由于進給由于進給, , 刀具改變了位置刀具改變了位置, , 計算新位置與計算新位置與給定輪廓之間的偏差，作為下一步判別依據。給定輪廓之間的偏差，作為下一步判別依據。第第4 4節拍節拍: : 終點判別終點判別: : 判斷是否到達被加工輪廓終點判斷是否到達被加工輪廓終點, ,若到達，結若到達，結束插補；否則，繼續插補。束插補；否則，繼續插補。2021/8/149逐點比較法既

10、可作為直線插補，又可作圓弧插補。這種算法的特點逐點比較法既可作為直線插補，又可作圓弧插補。這種算法的特點是：運算直觀，插補誤差小于一個脈沖當量，輸出脈沖均勻，而且是：運算直觀，插補誤差小于一個脈沖當量，輸出脈沖均勻，而且輸出脈沖的速度變化小，調節方便。因此，在兩坐標聯動的數控機輸出脈沖的速度變化小，調節方便。因此，在兩坐標聯動的數控機床中應用較為廣泛。床中應用較為廣泛。2021/8/14101.1.直線插補直線插補(1)偏差計算 第一象限直線OE，起點O為坐標原點，直線的終點坐標E（Xe，Ye），直線方程為： 動點動點P P與直線的位置關系有三種情況：與直線的位置關系有三種情況： 動點在直線上

11、動點在直線上; ; 動點在直線上方動點在直線上方; ; 動點在直線下方。動點在直線下方。 YXeXYe02021/8/1411若P點在直線上，則有YXeXYe0若P1點在直線上方，則有 Y1XeX1Ye0若P2點在直線下方，則有Y2XeX2Ye00時時，表示刀具在，表示刀具在OEOE上方，如點上方，如點P P1 1，應向，應向X X向進給向進給. . F F 000的情況一同考慮的情況一同考慮. . 下面將下面將F F 的運算采用遞推算法予以簡化，動點的運算采用遞推算法予以簡化，動點 P Pi i( (X Xi i，Y Yi i) )的的F Fi i值為值為2021/8/1413eieeiei

12、eieieieiiYFYYXXYYXXYYXXYF) 1(111 若若F Fi i0,0,表明表明P Pi i( (X Xi i，Y Yi i) )點在點在OEOE直線上方或在直線上，應沿直線上方或在直線上，應沿X X 向走一步向走一步, ,假設坐標值的單位為脈沖當量，進給后新的坐標值為（假設坐標值的單位為脈沖當量，進給后新的坐標值為（X Xi+1i+1，Y Yi+1i+1）, ,且且X Xi+1i+1= =X Xi i+1+1，Y Yi+1i+1= =Y Yi i , , 新點偏差為新點偏差為: :即即 Fi+1=Fi-Ye2021/8/1414 若若F Fi i00，表明，表明P Pi i

13、（X Xi i，Y Yi i）點在）點在OEOE 的下方，應向的下方，應向Y Y 方向進給一方向進給一步，新點坐標值為步，新點坐標值為( (X Xi+1i+1，Y Yi+1i+1) )，且，且X Xi+1i+1= =X Xi i , ,Y Yi+1i+1Y Yi i1 1，新點的偏差，新點的偏差為為: :eieeieieieieieiiXFXYXXYYXXYYXXYF) 1(111即即 Fi+1=Fi+Xe2021/8/1415(2)(2)進進 給給 第一象限直線偏差與進給方向的關系如下第一象限直線偏差與進給方向的關系如下: : F0 F0時時, , 沿沿+X+X方向走一步方向走一步, FF-

14、Y, FF-Ye e F F0時時, , 沿沿+Y+Y方向走一步方向走一步, FF+X, FF+Xe e(3)(3)終點判斷終點判斷 判別方法判別方法: : 設置一個長度計數器設置一個長度計數器, , 刀具沿刀具沿X X軸應走的步數為軸應走的步數為X X e e , ,沿沿Y Y軸走的步數為軸走的步數為Y Ye e , ,計數器中存入計數器中存入X X和和Y Y兩坐標進給步數總和兩坐標進給步數總和=X Xe eY Ye e,當當X X或或Y Y坐標進給時坐標進給時, ,計數器做減計數器做減1 1運算運算, ,當計數器減到零時當計數器減到零時, ,即即0 0時時, ,到達終點到達終點, ,停止插

15、補停止插補 . .2021/8/1416 Y Y N N N NY YF0F0 +X進給一步進給一步 +Y進給一步進給一步 FF-Ye 開始開始 FF+Xe -1=0？ 結束結束Xe , Ye , F0, = Xe + Ye （4）直線插補軟件流程圖2021/8/1417 第一象限直線插補結論：第一象限直線插補結論： (1) (1) 開始時開始時, ,刀具位于直線起點上刀具位于直線起點上, ,偏差為零偏差為零F F0, 0, (2) (2) 每一新加工點的偏差都可由每一新加工點的偏差都可由前一點偏差前一點偏差和和終點終點坐標相加或相坐標相加或相減得到。減得到。 (3) (3) 終點判別終點判別

16、 計數器中存入計數器中存入X X和和Y Y兩坐標進給步數總和兩坐標進給步數總和=X Xe eY Ye e, , 進進給時給時, ,計數器做減計數器做減1 1運算運算, ,當計數器減到零時當計數器減到零時, ,即即0 0時時, ,到達終點到達終點, ,停停止插補止插補 。2021/8/1418 例例4-14-1 加工第一象限直線加工第一象限直線OEOE，起點為坐標原點，終點坐標為，起點為坐標原點，終點坐標為E E（4 4，3 3）。試用逐點比較法對該段直線進行插補，并畫出插補軌跡。）。試用逐點比較法對該段直線進行插補，并畫出插補軌跡。 1 2 3 41E(4,3) XYO232021/8/141

17、9解：解： (1)(1)直線插補運算直線插補運算 總步數總步數n=3+4=7n=3+4=72021/8/1420(2)畫插補軌跡： Y X 2 E(4,3) O 1 3 4 1 2 3 2021/8/1421直線插補的象限處理與坐標變換直線插補的象限處理與坐標變換 （1 1）象限處理）象限處理 對于第二象限的直線，對于第二象限的直線，X X的進給方向與第一象限不同，在偏差計算中只要的進給方向與第一象限不同，在偏差計算中只要將將X Xe e、Y Ye e取絕對值，代入第一象限的插補公式即可插補運算。第三、第四象限也取絕對值，代入第一象限的插補公式即可插補運算。第三、第四象限也是一樣。是一樣。 不

18、同象限的直線插補共用一套公式，所不同的是進給方向不同。不同象限的直線插補共用一套公式，所不同的是進給方向不同。 2021/8/1422yxL1F0L2L3F0F0F0L4F0F0F0F0F0，則動點位于圓弧外側。，則動點位于圓弧外側。若若F=0F=0，則動點在圓弧上。，則動點在圓弧上。若若F0,F0,則動點在圓弧內側。則動點在圓弧內側。設第一象限動點設第一象限動點 的的F F值為值為 , ,則有則有,iix yiF 2222iiissFxyxy 2222iissFxyxy2021/8/1426若動點沿若動點沿-X-X方向走一步后，則：方向走一步后，則：1122221111,iiiiiiissx

19、xyyFxyxy若動點沿若動點沿+y+y方向走一步后，則：方向走一步后，則：121iiiFFy2222(1)21iissiixyxyFx2021/8/1427(2) (2) 進進 給給 第一象限逆圓偏差判別函數第一象限逆圓偏差判別函數F F與進給方向的關系如下：與進給方向的關系如下： F0F0，沿，沿-x-x方向走一步：方向走一步： FF-2X+1FF-2X+1 F F0 0 沿沿+Y+Y方向走一步：方向走一步： FF+2Y+1FF+2Y+1(3) 終點判別終點判別 與直線插補相同與直線插補相同, 將沿將沿X、Y軸走的總軸走的總步數存入一個計數器，步數存入一個計數器， = Xe-Xs + Ye

20、-Ys 每走一步每走一步減減1，當，當0時發出時發出停止信號。停止信號。2021/8/1428(4)(4)第第一一象象限限圓圓弧弧插插補補軟軟件件流流程程圖圖 N N Y Y N NY Y F0F0 +y向進給向進給 - x向進給向進給 FF+2y+1 F+2y+1 yy+1 開始開始 FF- 2x+1 xx-1 1-1=0？ 結束結束xxs , Y Ys , F=0,= Xe-Xs + Ye-Ys 2021/8/1429第一象限圓弧插補結論第一象限圓弧插補結論 (1) (1) 開始時開始時, ,刀具位于圓弧起點上刀具位于圓弧起點上, ,偏差為偏差為F F0, 0, (2) (2) 每一新加工

21、點的偏差都可由每一新加工點的偏差都可由前一點偏差和前一點偏差和2 2倍動點坐標相加倍動點坐標相加( (正向正向進給進給) )或相減或相減( (負向進給負向進給), ), 再加再加1 1得到。得到。 (3)(3)終點判別終點判別: : 計數器中存入計數器中存入X X和和Y Y兩坐標進給步數總和兩坐標進給步數總和, ,進給時進給時, ,計數計數器做減器做減1 1運算運算, ,當計數器減到零時當計數器減到零時, ,即即0 0時時, ,到達終點到達終點, ,停止插補。停止插補。2021/8/1430 例例4-24-2 現欲加工第一象限逆圓弧現欲加工第一象限逆圓弧AB,如圖所示如圖所示,起點起點A（5，

22、0）,終點終點 B（0，5）,試用逐點比較法進行插補。試用逐點比較法進行插補。 X Y B(0,5) A(5,0) 2021/8/1431 解:(1)圓弧插補運算過程: 2021/8/1432 圓弧插補過程: 2021/8/1433(2)畫插補軌跡：2021/8/1434圓弧插補的象限處理圓弧所在象限不同圓弧所在象限不同, 逆順不同逆順不同,則插補公式和進給方向均不同則插補公式和進給方向均不同.無論哪個象限無論哪個象限,都用坐標的代數值運算。都用坐標的代數值運算。2021/8/1435四個象限圓弧插補進給方向四個象限圓弧插補進給方向圓弧插補的象限處理圓弧插補的象限處理 Y Y NR2 NR1

23、SR2 SR1 0 X 0 XNR3 NR4 SR3 SR4 a) 逆圓弧逆圓弧 b) 順圓弧順圓弧 2021/8/1436圓弧自動過象限圓弧自動過象限 圓弧過象限，指圓弧的起點和終點不在同一象限內。應先進行圓弧過象限，指圓弧的起點和終點不在同一象限內。應先進行過象限判斷過象限判斷. 當當X0或或Y0時過象限時過象限。需將圓弧分成兩段圓弧進行處理，調。需將圓弧分成兩段圓弧進行處理，調用相應的插補程序。用相應的插補程序。 過象限圓弧線型變化規律過象限圓弧線型變化規律：逆時針圓弧過象限后的轉換順序是：逆時針圓弧過象限后的轉換順序是NR1，NR2，NR3，NR4，每過一次象限，象限順序號加，每過一次

24、象限，象限順序號加1；順時針；順時針圓弧過象限的轉換順序是圓弧過象限的轉換順序是SR1，SN2，SR3，SR4，每過一次象限，每過一次象限，象限順序號減象限順序號減1。 2021/8/1437二、二、 數字積分法數字積分法 設有一函數設有一函數Yf(t)，求此函數在，求此函數在totn區間的積分區間的積分,就是求出此函數曲線就是求出此函數曲線與橫坐標與橫坐標t在區間（在區間（to，tn）所圍成的面積。）所圍成的面積。 0nttSf t dt Y Yi Yi+1) t Y=f(t) t0 t ti+1 tn 2021/8/1438 如果將橫坐標區間段劃分為間隔為如果將橫坐標區間段劃分為間隔為t的

25、很多小區間，當的很多小區間，當t 取足夠小取足夠小時，此面積可近似地視為曲線下許多小矩形面積之和。有時，此面積可近似地視為曲線下許多小矩形面積之和。有 Y Yi Yi+1) t Y=f(t) t0 t ti+1 tn 01nntiitiSy dtyt2021/8/14391niiSy 在數學運算時，取在數學運算時，取t t為基本單為基本單位位“1”1”，則上式可簡化為：，則上式可簡化為： Y Yi Yi+1) t Y=f(t) t0 t ti+1 tn 2021/8/14401. DDA1. DDA直線插補直線插補 設有一直線設有一直線OEOE, ,起點在原點起點在原點, ,終點為終點為(x(

26、xe e, y, ye e).V).Vx x，V Vy y分別表示動點在分別表示動點在x x、y y軸方向的速度，在軸方向的速度，在x x、y y軸方向的微小位移增量為：軸方向的微小位移增量為： xyxVtyVt 2021/8/1441對于直線函數來說，滿足下式：xeyeVkxVkyLyVvLxVveyexLVk 2021/8/1442坐標的位移增量為tkyytkxxee2021/8/1443各坐標軸的位移增量為：0101nteeinteeixkx dtkxtyky dtkyt 動點從原點走向終點的過程動點從原點走向終點的過程, ,可以看作是各坐標每經過一個單位時間可以看作是各坐標每經過一個單

27、位時間間隔間隔tt, ,分別以增量分別以增量kxe , kye同時累加的過程。同時累加的過程。2021/8/1444平面直線插補原理圖如下：平面直線插補原理圖如下：X被積函數寄存器被積函數寄存器kxeX積分累加器積分累加器y積分累加器積分累加器y被積函數寄存器被積函數寄存器kye+X軸溢出脈沖軸溢出脈沖y軸溢出脈沖軸溢出脈沖txy2021/8/1445 假設經過假設經過n n次累加后（取次累加后（取t=1), xt=1), x和和y y 分別或同時到達終點，有分別或同時到達終點，有 11neeeineeeixkxtkx nxykytky ny 1kn 因此有因此有2021/8/1446結論結論

28、: : ( (1)1)n n是累加次數，必須取整數，是累加次數，必須取整數，k k取小數。取小數。(2) k(2) k值的確定值的確定: :要保證沿坐標軸每次進給脈沖不超過一個，保證插補要保證沿坐標軸每次進給脈沖不超過一個，保證插補精度，應使下式成立精度，應使下式成立11eexkxyky 1kn 2021/8/1447 如果存放Xe，Ye寄存器的位數是N，對應最大允許數字量為2N-1 , 故有:所以所以(21)1(21)1NeNexkxkykyk 為使上式成立，可取為使上式成立，可取Nk21Nkn21121Nk2021/8/1448代入得2112211212NeNNeNNxkxykynk 對于

29、一個二進制數，使對于一個二進制數，使x xe e(y(ye e) )乘以乘以1/21/2N N (k), (k),相當于相當于x xe e(y(ye e) )數字不數字不變變, , 只要把小數點左移只要把小數點左移N N位即可。位即可。 一個一個N N位寄存器存放位寄存器存放x xe e ( (或或kxkxe e) )和和y ye e ( (或或kykye e) )的數字是一樣的的數字是一樣的, , 只是只是小數點位置不同。小數點位置不同。2021/8/1449 直線的被積函數寄存器只需存放直線的被積函數寄存器只需存放xe , yexe , ye即可即可. . 直線加工需直線加工需2 2N N

30、次累加運算次累加運算. . 終點判別：用一個與被積函數寄存器位數相同的終點計數器實現，終點判別：用一個與被積函數寄存器位數相同的終點計數器實現，初值為零，每累加一次，計數器加初值為零，每累加一次，計數器加1 1，當累加，當累加 次后，產生溢出，完次后，產生溢出，完成插補成插補. .DDA直線插補小節：直線插補小節：N22021/8/1450例例4-34-3：設有一直線：設有一直線OAOA，起點在坐標系原點，終點的坐標為（，起點在坐標系原點，終點的坐標為（4 4，6 6），），試用試用DDADDA法直線插補此直線。法直線插補此直線。YA(4,6)X2021/8/1451YA(4,6)X解： Jx

31、=4、Jy=6 選擇寄存器位數N=3，則累加次數 。328n RxxJJRyyJJxyJ2021/8/14522. 2. 數字積分法圓弧插補數字積分法圓弧插補 第一象限圓弧第一象限圓弧AE ,半徑為半徑為R,起點為起點為A（xs，ys）,終點為終點為E（xe，ye）.N(xi，yi)為圓弧上任意動點為圓弧上任意動點.動點動點移動的速度為移動的速度為v,v,則在兩個坐標方則在兩個坐標方向的分速度為向的分速度為v vx x,v,vy y. .圓弧的方程圓弧的方程為：為：cossiniixRyR2021/8/1453動點N的分速度為sincosiixiiiyidxyvvvvydtRRdyxvvvvx

32、dtRR 2021/8/1454當當V恒定時，設恒定時，設 k = v / R在在t時間內，時間內，x、y位移增量為位移增量為tkxtxRvtvytkytyRvtvxiiyiiixi)(2021/8/1455 與直線插補相同，取累加器容量為與直線插補相同，取累加器容量為2 2N N ，則，則k=1/2k=1/2N N ，各坐標的位移，各坐標的位移量為量為01011212ntiNintiNixkydtytykxdtxt 2021/8/1456圓弧插補原理框圖為RXJ VxJy VyJxRYJtX X向溢向溢出脈沖出脈沖Y Y向溢向溢出脈沖出脈沖2021/8/1457 插補運算開始插補運算開始:

33、: J JRxRx, J, JRyRy累加器清零累加器清零; ; X X寄存器寄存器J JVxVx存放存放動點動點Y Y坐標坐標; ; Y Y寄存器寄存器J JVyVy存放存放動點動點X X坐標坐標; ; 插補運算中：插補運算中： X X方向由溢出時，要在寄存器方向由溢出時，要在寄存器J JVyVy中減中減1;1; Y Y方向由溢出時，要在寄存器方向由溢出時，要在寄存器J JVxVx中加中加1 1。2021/8/1458DDADDA圓弧插補與直線插補的主要區別為：圓弧插補與直線插補的主要區別為：（1 1）圓弧插補中被積函數寄存器寄存的坐標值與直線恰好相反。）圓弧插補中被積函數寄存器寄存的坐標值

34、與直線恰好相反。（2 2）圓弧插補中被積函數是）圓弧插補中被積函數是動點動點坐標坐標, ,是是變量變量，直線插補的被積函，直線插補的被積函數是數是終點終點坐標，是坐標，是常數常數。（3 3）圓弧插補終點判別需要采用兩個終點計數器。對于直線插補，）圓弧插補終點判別需要采用兩個終點計數器。對于直線插補，如果寄存器位數為如果寄存器位數為N N，無論直線長短都需迭代，無論直線長短都需迭代2 2N N次到達終點次到達終點. .圓弧插圓弧插補則不一定，這是因為被積函數是變量補則不一定，這是因為被積函數是變量。 2021/8/1459例例4-44-4：設有第一象限逆圓弧設有第一象限逆圓弧ABAB，起點為，起

35、點為A A（5 5，0 0）, ,終點為終點為B B（0 0，5 5）, ,設寄存器位數為設寄存器位數為3.3.試用試用DDADDA法插補此圓弧法插補此圓弧. .2021/8/1460解: JVx中存0；JVy中存5； 寄存器容量為23=8。VxJRxJxExJVyJRyJyEyJ2021/8/1461VxJRxJxExJVyJRyJyEyJ2021/8/14622021/8/1463 由運算過程可看出由運算過程可看出: JVy中存的中存的 XS數值大數值大JVx存的數存的數0,在在Y方向先方向先 溢出溢出3個脈沖；個脈沖； 隨著隨著Y方向溢出脈沖方向溢出脈沖, JVx存的存的Y數值不斷增大數

36、值不斷增大, XY兩方向同時溢出兩方向同時溢出2個脈沖個脈沖, Y向累加器停止累向累加器停止累 加。加。 JVx存的數達到最大值存的數達到最大值,X方向很快溢出方向很快溢出3個脈沖。個脈沖。2021/8/14643. 3. 數字積分法插補的象限處理數字積分法插補的象限處理 圓弧插補時被積函數是圓弧插補時被積函數是動點坐標的絕對值動點坐標的絕對值，在插補過程中要進行，在插補過程中要進行修正。修正。 坐標值的修改要看動點運動是使該坐標坐標值的修改要看動點運動是使該坐標絕對值增加還是減少絕對值增加還是減少，來，來確定是確定是加加1 1還是減還是減1 1。 2021/8/1465 V xJ y V y

37、J xxy四個象限直線進給方向和圓弧插補的坐標修改及進給方向如下表所示。四個象限直線進給方向和圓弧插補的坐標修改及進給方向如下表所示。 2021/8/1466 Y Y NR2 NR1 SR2 SR1 0 X 0 XNR3 NR4 SR3 SR4 a) 逆圓弧逆圓弧 b) 順圓弧順圓弧 四個象限圓弧插補進給方向四個象限圓弧插補進給方向2021/8/14675.3 5.3 數字采樣插補原理數字采樣插補原理 隨著直流伺服技術和交流伺服技術的發展，現代數控機床都采用半閉隨著直流伺服技術和交流伺服技術的發展，現代數控機床都采用半閉環或閉環系統。在這些系統中，通常都采用數據采樣法。這種方法得出的環或閉環系

38、統。在這些系統中，通常都采用數據采樣法。這種方法得出的不是進給脈沖，而是用二進制表示的進給量。是根據計算機運算速度，確不是進給脈沖，而是用二進制表示的進給量。是根據計算機運算速度，確定一個時間間隔，稱為插補周期（小于定一個時間間隔，稱為插補周期（小于20ms20ms），在一個插補周期內完成一），在一個插補周期內完成一次插補運算，為各坐標方向提供一組數據，使機床在各坐標方向上同時完次插補運算，為各坐標方向提供一組數據，使機床在各坐標方向上同時完成一次微小的運動。成一次微小的運動。 在一個插補時間內，也要對機床各坐標方向上的實際運動增量值進行在一個插補時間內，也要對機床各坐標方向上的實際運動增量值

39、進行采樣，提供給計算機進行比較。采樣，提供給計算機進行比較。 數字增量插補法在現代數字增量插補法在現代CNCCNC系統中得到廣泛的應用，在采用這類插補系統中得到廣泛的應用，在采用這類插補算法的算法的CNCCNC系統中，插補周期是一個重要參數。下面先就插補周期進行討系統中，插補周期是一個重要參數。下面先就插補周期進行討論，然后再以時間分割法為例，說明直線和圓弧插補原理。論，然后再以時間分割法為例，說明直線和圓弧插補原理。2021/8/1468 一、插補周期的選擇一、插補周期的選擇 1、插補周期與精度、速度的關系、插補周期與精度、速度的關系 在直線插補時，這類插補算法是用小直線段逼近直線在直線插補

40、時，這類插補算法是用小直線段逼近直線,它不會產生逼近誤它不會產生逼近誤差。在曲線插補中，當用內接弦線逼近曲線時，其逼近誤差為差。在曲線插補中，當用內接弦線逼近曲線時，其逼近誤差為 、插補周期、插補周期為為T、進給速度為、進給速度為F以及與該曲線在該處的曲率半徑以及與該曲線在該處的曲率半徑 的關系為：的關系為：22/2L 因為：所以：LFT 22/2FT242/2/2112!4!8FTFTFT 在實際在實際CNC系統中，系統中，T是固定的，而是固定的，而F、 是用戶給定的，因而是用戶給定的，因而 就可能就可能超差，這是不允許的。在實際的系統中，通過對超差，這是不允許的。在實際的系統中，通過對F進

41、行限制來保證進行限制來保證 在允許在允許范圍內。范圍內。2021/8/14692、插補周期與插補運算時間的關系、插補周期與插補運算時間的關系 一旦系統各種線形的插補算法設計完畢，那么該系統插補運算的最一旦系統各種線形的插補算法設計完畢，那么該系統插補運算的最長時間就確定了。顯然，插補周期必須大于該時間。插補周期一般應為長時間就確定了。顯然，插補周期必須大于該時間。插補周期一般應為最長插補運算時間的兩倍以上，這是因為系統除進行插補運算外，最長插補運算時間的兩倍以上，這是因為系統除進行插補運算外，CPU還要執行諸如位置控制、顯示等其他任務。還要執行諸如位置控制、顯示等其他任務。3、插補周期與位置控

42、制周期的關系、插補周期與位置控制周期的關系 由于插補運算的輸出是位置控制的輸入，因此，插補周期要么與位由于插補運算的輸出是位置控制的輸入，因此，插補周期要么與位置控制周期相等，要么是位置控制周期的整數倍，只有這樣才能使整個置控制周期相等，要么是位置控制周期的整數倍，只有這樣才能使整個系統協調工作。系統協調工作。 例如：例如：FANUC 7M系統的插補周期是系統的插補周期是8ms，而位置控制周期是，而位置控制周期是4ms；華中華中1型數控系統的插補周期是型數控系統的插補周期是8ms，而位置控制周期是，而位置控制周期是2ms。2021/8/14702二、直線插補算法二、直線插補算法 在設計直線插補

43、程序時，通常將插補計算坐標系的原點選在被插補直在設計直線插補程序時，通常將插補計算坐標系的原點選在被插補直線的起點，如圖所示，設有一直線線的起點，如圖所示，設有一直線O OPe， O(0,0)O(0,0)為起點，為起點，Pe (Xe,Ye)為終點，為終點，要求以速度要求以速度F(mm/min)F(mm/min)，沿，沿O OPe 進給。進給。 Pe (Xe,Ye)LPi+1 (Xi+1,Yi+1) Pi (Xi,Yi)YiXiXYO2021/8/1471設插補周期為T(ms)，則在T內的合成進給量L為： 式中： 1YYYtgXYXXXLXi1ii1i1iii1iicos/ 60LFTm22co

44、seeeeeYXtgXXYPe (Xe,Ye)LPi+1 (Xi+1,Yi+1) Pi (Xi,Yi)YiXiXYO 上述算法是先計算上述算法是先計算Xi后計算后計算Yi，同樣還可以先計，同樣還可以先計算算Yi后計算后計算Xi，即：，即：2021/8/1472 上述算法是先計算上述算法是先計算X Xi i后計算后計算Y Yi i，同樣還可以先計算，同樣還可以先計算Y Yi i后計算后計算X Xi i，即：即： 1111cosiiiiiiiiiYLYYY2XY tgXXX 22coseeeeeXYtgYXYPe (Xe,Ye)LPi+1 (Xi+1,Yi+1) Pi (Xi,Yi)YiXiXYO

45、2021/8/1473 上述兩個式子究竟哪個較優？上述兩個式子究竟哪個較優？ 由算式（由算式（1）、（）、（2）分別可得：）分別可得：iiiiiiiiYXXtgYXYY tgX對上兩式分別求微分并取絕對值得：對上兩式分別求微分并取絕對值得：/iieeiiieeidYtgdXYXdXdXtgdYXY dY對式（對式（3）有：）有： 該算法對誤差有收斂作用。該算法對誤差有收斂作用。對式（對式（4）有：）有： 該算法對誤差有放大作用。該算法對誤差有放大作用。eYe當 X（3）（4）iiiidYdXdYdX由此可知由此可知：2021/8/1474 通過上面得分析可以得出插補公式的選用原則為：通過上面得

46、分析可以得出插補公式的選用原則為： 這個結論的實質就是在插補計算時總是先計算大的坐標增量，后這個結論的實質就是在插補計算時總是先計算大的坐標增量，后計算小的坐標增量。計算小的坐標增量。 2YX1YXeeee選用公式時選用公式時2021/8/1475n公式的歸一化處理 若考慮不同的象限，插補公式將有若考慮不同的象限，插補公式將有8 8組，為程序設計的方便，引入引組，為程序設計的方便，引入引導坐標的概念，即將進給增量值較大的坐標定義為引導坐標導坐標的概念，即將進給增量值較大的坐標定義為引導坐標G G，進給增量，進給增量值較小的定義為非引導坐標值較小的定義為非引導坐標N N。這樣便可將八組插補公式歸

47、結為一組：。這樣便可將八組插補公式歸結為一組：22coseeeeeNGtgGGN 在程序設計時，可將上公式設計成子程序，并在其輸入輸出部分進在程序設計時，可將上公式設計成子程序，并在其輸入輸出部分進行引導坐標與實際坐標的相互轉換。這樣可大大簡化程序的設計。行引導坐標與實際坐標的相互轉換。這樣可大大簡化程序的設計。1111cosiiiiiiiiiGLGGGNG tgNNN 2021/8/14763三、圓弧插補算法三、圓弧插補算法 采用時間分割插補法進采用時間分割插補法進行圓弧插補的基本方法是用行圓弧插補的基本方法是用內接弦線逼近圓弧。設計圓內接弦線逼近圓弧。設計圓弧插補程序時，通常將插補弧插補程序時，通常將插補計算坐標