山西省臨汾市薛關中學高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.給出下列函數：①f（x）=xsinx；②f（x）=ex+x；③f（x）=ln（﹣x）；?a＞0，使f（x）dx=0的函數是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③參考答案：B【考點】特稱命題．【專題】對應思想；轉化法；導數的綜合應用；簡易邏輯．【分析】①求出f（x）dx的積分，結合函數的圖象得出存在a＞0，使f（x）dx=0成立；②求出（ex+x）dx=0時a的值，得出命題不成立；③根據f（x）是定義域上的奇函數，積分的上下限互為相反數，得出定積分值為0，滿足條件．【解答】解：對于①，f（x）=xsinx，∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，∴xsinxdx=（sinx﹣xcosx）=2sina﹣2acosa，令2sina﹣2acosa=0，∴sina=acosa，又cosa≠0，∴tana=a；畫出函數y=tanx與y=x的部分圖象，如圖所示；在（0，）內，兩函數的圖象有交點，即存在a＞0，使f（x）dx=0成立，①滿足條件；對于②，f（x）=ex+x，（ex+x）dx=（ex+x2）=ea﹣e﹣a；令ea﹣e﹣a=0，解得a=0，不滿足條件；對于③，f（x）=ln（﹣x）是定義域R上的奇函數，且積分的上下限互為相反數，所以定積分值為0，滿足條件；綜上，?a＞0，使f（x）dx=0的函數是①③．故選：B．【點評】本題主要考查了定積分運算性質的應用問題，當被積函數為奇函數且積分區間對稱時，積分值為0，是綜合性題目．2.函數的圖象上存在不同的三點到原點的距離構成等比數列，則以下不可能成為該數列的公比的數是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D3.設函數f（x）=是奇函數（a,b,c都是整數）且f（1）=2,f（2）<3

（1）求a,b,c的值；（2）當x<0，f（x）的單調性如何？用單調性定義證明你的結論。

（3）當x>0時，求函數f（x）的最小值。參考答案：（12分）解：（Ⅰ）由是奇函數，得對定義域內x恒成立，則對對定義域內x恒成立，即

（或由定義域關于原點對稱得）

又由①得代入②得，又是整數，得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，當，在上單調遞增，在上單調遞減．下用定義證明之．

設，則＝

，因為，，

，故在上單調遞增；

同理，可證在上單調遞減．略4.已知數列的前項和，正項等比數列中，，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知雙曲線,其中，雙曲線半焦距為c,若拋物線的準線被雙曲線C截得的弦長為（e為雙曲線C的離心率），則雙曲線C的漸近線方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.已知復數z滿足(i是虛數單位)，則(

)A． B． C． D．參考答案：A7.二項式展開式的二項式系數之和為，則展開式第四項的系數為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C8.某校開展“愛我家鄉”攝影比賽，9位評委為參賽作品A給出的分數如莖葉圖所示．記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復核員在復核時，發現有一個數字(莖葉圖中的x)無法看清，若記分員計算無誤，則數字x應該是A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：D9.下列復數是純虛數的是A．

B．

C．

D．參考答案：C10.甲、乙、丙、丁、戊5名學生各自在3門數學選修課：數學史、數學建模和幾何畫板中任選一門學習，則這三門課程都有同學選修且甲不選修幾何畫板的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】求出5名學生任選一門的做法，根據條件概率求出三門課程都有同學選修的做法以及三門課程都有同學選修且甲不選幾何畫板的做法，求出滿足條件的概率即可．【解答】解：5名學生任選一門的做法為35=243，三門課程都有同學選修的做法為，三門課程都有同學選修且甲不選幾何畫板的做法為：，所求的概率為，故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若0，﹣＜β＜0，cos（）=，sin（+）=，則cos（2α+β）=．參考答案：【考點】兩角和與差的余弦函數．【分析】利用兩角和的正弦函數公式，余弦函數公式，二倍角公式化簡已知等式，可求sin2α，sinβ，進而利用同角三角函數基本關系式可求cosβ的值，利用二倍角的余弦函數公式可求cos2α，利用兩角和的余弦函數公式即可計算求值得解．【解答】解：∵cos（）=（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，①∴兩邊平方可得，1﹣sin2α=，解得：sin2α=，∵0，可得：cosα+sinα==，②∴由①②解得：cos2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=，又∵sin（+）=，可得：（sin+cos）=，兩邊平方，可得：sinβ=，cosβ=，∴cos（2α+β）=cos2αcosβ﹣sin2αsinβ=×﹣×（﹣）=．故答案為：．【點評】本題主要考查了兩角和的正弦函數公式，余弦函數公式，二倍角公式，同角三角函數基本關系式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．12.已知全集，且的取值范圍是

。參考答案：13.設x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為_________．參考答案：略14.用表示不超過的最大整數，如，設函數，關于函數有如下四個命題：①的值域為；②是偶函數；③是周期函數，最小正周期為1；④是增函數.其中正確命題的序號是：

.參考答案：③15.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=，b=2，A=60°，則sinB=_________________，c=___________________.參考答案：

3由正弦定理，得，所以.由余弦定理，，得，所以.16.已知點O是銳角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=．若，則6x+9y=．參考答案：5【考點】平面向量的基本定理及其意義．【專題】平面向量及應用．【分析】如圖所示，過點O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．可得D，E分別為AB，AC的中點．可得=，=．由A=，可得．對，兩邊分別與，作數量積即可得出．【解答】解：如圖所示，過點O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．則D，E分別為AB，AC的中點，∴===32．===72．∵A=．∴==48．∵，∴=，=+y，化為32=64x+48y，72=48x+144y，聯立解得x=，y=．∴6x+9y=5．故答案為：5．【點評】本題考查了向量數量積運算性質、三角形外心性質、垂經定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．17.如圖，點在軸的非負半軸上運動，點在軸的非負半軸上運動.且.設點位于軸上方，且點到軸的距離為，則下列敘述正確的個數是_________.①隨著的增大而減小；②的最小值為，此時；③的最大值為，此時；④的取值范圍是.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數。（1）求函數的最小值；（2）設，討論函數的單調性；

（3）斜率為的直線與曲線交于,兩點，

求證：。參考答案：1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．∵當時，f'（x）＜0；當時，f'（x）＞0，∴當時，．-----------------4分（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．①當a≥0時，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函數；②當a＜0時，令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．綜上，當a≥0時，F（x）在（0，+∞）上是增函數；當a＜0時，F（x）在上單調遞增，在上單調遞減．------------------------------------8分（3）證：．要證，即證，等價于證，令，則只要證，由t＞1知lnt＞0，故等價于證lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．①設g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），則，故g（t）在[1，+∞）上是增函數，∴當t＞1時，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．②設h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），則h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函數，∴當t＞1時，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得證．---------------------------------12分略19.（本小題共13分）已知數列，，，，（）．⑴求，；⑵是否存在正整數，使得對任意的，有；⑶設，問是否為有理數，說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）；．

（Ⅱ）假設存在正整數，使得對任意的，有．則存在無數個正整數，使得對任意的，有．設為其中最小的正整數．若為奇數，設（），則．與已知矛盾．

若為偶數，設（），則，而從而．而，與為其中最小的正整數矛盾．綜上，不存在正整數，使得對任意的，有．（Ⅲ）若為有理數，即為無限循環小數，則存在正整數，，對任意的，且，有．與（Ⅱ）同理，設為其中最小的正整數．若為奇數，設（），

當時，有．與已知矛盾．

若為偶數，設（），當時，有，而從而．而，與為其中最小的正整數矛盾．故不是有理數．

……………………13分20.已知在等比數列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中項．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）若數列{bn}滿足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求{bn}的前n項和Sn．參考答案：（I）設等比數列{an}的公比為q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中項，a1=1，∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，..................................2∴=2，.......................................3∴=2n﹣1，（n∈N*）．......................5（Ⅱ）∵∴（2n﹣1+2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）..................................6=+......................................10=n2+2n﹣1．............................1221.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

已知函數．（1）若，求不等式的解集；（2）若方程有三個不同的解，求的取值范圍．參考答案：【知識點】絕對值不等式的解法；根的存在性及根的個數判斷．N4(1)；(2)解析：（Ⅰ）時，，zxxk∴當時，不合題意；當時，，解得；當時,符合題意.

3分綜上,的解集為

5分（Ⅱ）設，的圖象和的圖象如右圖：

7分易知的圖象向下平移1個單位以內（不包括1個單位）與的圖象始終有3個交點，從而.

10分【思路點撥】(1)若a=0，則f（x）=，分x＜﹣1時、當﹣1≤x＜0時、當x≥0時，三種情況，分別求得不等式的解集，再取并集，即得所求．(2)設u（x）=|x+1|﹣|x|，由題意易知，把函數y=u（x）的圖象向下平移1個單位以內（不包括1個單位）與y=x的圖象始終有3個交點，從而求得a的范圍．22.函數的定義域為，且滿足：①對于任意的，；②在區間上單調遞增.求:（Ⅰ）

（Ⅱ）不等式的解集.參考答案：解：（Ⅰ）令，則，所以