—————教育源享步入識洋——————2020學年上海市嘉定區高二第二學期期末考試數學試題一、單選題1夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異”是以我國哪位數學家命名的數學原理（）．楊輝

B劉微C．祖暅D．李淳風【答案】C【解析】由題意可得求不規則幾何體的體積的求法，即運用祖暅原理【詳解】“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異”的意思是“夾在兩平行平面之間的兩個幾何體被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果兩個截面面積仍然相等，那么這兩個幾何體的體積相等以我國數學家祖暅命名的數學原理，故選：C.【點睛】本題考查祖暅原理的理解空間幾何體體積的求法對概念的理解，屬于基礎題.2已知拋物線

y

＝

（

是正常數）上有兩點Ay、Bxy，焦點122，甲：

x12

p24

；乙：yy

；丙

；?。?/p>

1FAp

.以上是“直線經過焦點”的充要條件有幾個（）．

B

C．2

D金戈鐵騎

3pxmymy11122———————育源共3pxmymy11122【解析】設直線的方程為my

，將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，利用韋達定理驗證四個選項結論成立時，實t線AB過焦點”的充要條件的個.【詳解】

的值，可以得出“直設直線AB方程為x點F的坐標為,0.

線交x軸于點

物線的焦2px將直線AB方程與拋物線的方程聯立，消去x得，myy2pt

，由韋達定理得yyypt12

.對于甲條件，

x1

y14p4p

，得

t

，甲條件是“直線AB經過焦點F”的必要不充分條件；對于乙條件yypt2

tAB過拋物線的焦點乙條件是“直線AB經過焦點”的充要條件；對于丙條件xy1212

2

3pt，tpt4

2

，解t

t，所以，丙條件是“直線過焦點F”的必要不充分2條件；對于丁條件，1FAFBppp22ppmymym2yyt2金戈鐵騎

，——————————教資共步入識洋—————，

m

2pptpmt2

2pm2pp22

2p

，化簡t

p24

，t

，所以，丁條件是“直AB經過焦點F”的必要不充分條件.綜上所述，正確的結論只個，故選：B.【點睛】本題考查拋物線的幾何性質，以及直線與拋物線的綜合問題，同時也考查了充分必要條件的判定，解題時要假設直線的方程，并將直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理求解，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中等題.二、填空題3橢圓2的焦點坐標是__________.3【答案】2,0【解析橢圓方程中得出ab值，可得c的值，可得出橢圓的焦點坐標.【詳解】由題意可得3

2

，因此，橢圓

3

2

的焦點坐標是

，故答案為：2,0.【點睛】本題考查橢圓焦點坐標的求解題時要從橢圓的標準方程中得出ab的值，同時也要確定焦點的位置，考查計算能力，屬于基礎題

4若復數z滿足【答案

，則實部是_________.金戈鐵騎

—————教育源享步入識洋————【解析】由

得出

，再利用復數的除法法則得出

的一般形式，可得出復數z的實部.【詳解】

，因此，復數

的實部1故答案為【點睛】本題考查復數的概念，同時也考查了復數的除法，解題時要利用復數的四則運算法則將復數表示為一般形式，考查計算能力，屬于基礎題5球的表面積是其大圓面積的________．【答案】【解析設球的半徑為，可得出球的表面積和球的大圓面積，從而可得出結果.【詳解】設球的半徑為R則球的表面積為

4，球的大圓面積為，因此，球的表面積是其大圓面積的倍，故答案為：.【點睛】本題考查球的表面積公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題6棱長為的正四面體的高為__________.【答案】

【解析】利用正弦定理計算出正四面體底面三角形的外接圓半徑r，再利用公式

可得出正四面體的高.【詳解】金戈鐵騎

223xxxxxx1xxx————教育源享步知海———223xxxxxx1xxx設正四面體底面三角形的外接圓的半徑為r

，由正弦定理得r

26r，333因此，正四面體的高為

62322

，故答案為：.【點睛】本題考查正四面體高的計算，解題時要充分分析幾何體的結構，結合勾股定理進行計算，考查空間想象能力，屬于中等題7展開二項式

6

，其常數項為_________.【答案】20【解析】利用二項展開式通項，令x指數為零，求出參數的值，再代入通項可得出二項式

展開式的常數項.【詳解】二項式

6k展開式的通項kk

6

6

，得k

.所以，二項式

展開式的常數項C

36

20

，故答案為：20

.【點睛】本題考查二項展開式中常數項的計算，解題時要充分利用二項式展開式通項，利用指數來求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.8

4中

個不同的數組成一個三位數個數大于200

，共有_____同的可能．【答案36【解析由題意得知，三位數首位2金戈鐵騎

4中的某個數，十位和個位數沒

——————————教資共步入識洋————————有限制，然后利用分步計數原理可得出結果【詳解】由于三位數比200數沒有限制，

大，則三位數首位

中的某個數，十位數和個位因此，符合條件的三位數的個數CA236

，故答案為

.【點睛】本題考查排列組合綜合問題，考查分步計數原理的應用，本題考查數字的排列問題時要弄清楚首位和零的排列分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9圓錐的母線長是3高是2

，則其側面積是________.【答案】3【解析計算出圓錐底面圓的半徑，然后利用圓錐的側面積公式可計算出圓錐的側面積.【詳解】由題意知，圓錐的底面半徑為

r

32因此，圓錐的側面積為S

33故答案為：.【點睛】本題考查圓錐的側面積，解題的關鍵就是要求出圓錐的母線長和底面圓的半徑，利用圓錐的側面積公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題10雙曲線

2的虛軸長為2其漸近線夾角為__________.3b【答案】．【解析】計算

的值，得出漸近線的斜率，得出兩漸近線的傾斜角，從而可得出兩漸近線的夾角.金戈鐵騎

———————教資共步入識洋————【詳解】由題意知，雙曲線

2y2的虛軸長為，b3b所以，雙曲線的漸近線方程為

yx兩條漸近線的傾斜角分別、

，因此，兩漸近線的夾角，故答案為.【點睛】本題考查雙曲線漸近線的夾角，解題的關鍵就是求出漸近線方程，根據漸近線的傾斜角來求解，考查運算求解能力，屬于基礎題11在空間直角坐標系中，某個大小為銳角的二面角的兩個半平面的法向量分別為

，則該二面角的大小為________結果用反三角函數表示【答案arccos

【解析設銳二面角的大小為

，利用空間向量法求cos

的值，從而可求【詳解】設銳二面角的大小cos

2

，

arccos

1，故答案為arccos.【點睛】本題考查利用空間向量法計算二面角，同時也考查了反三角函數的定義，考查運算求解能力，屬于基礎題.12現有顏色為紅、黃、藍的小球各三個，相同顏色的小球依次編1、

，從中任3

個小球，顏色編號均不相同的情況有__________．金戈鐵騎

—————————教資源享步知海———————【答案【解析設紅色的三個球分別為A、

A、，黃色的三個球分別、12B，藍色的三個球分別C，列出所有符合條件的選法組合，可3得出結果.【詳解】設紅色的三個球分別為、、，黃色的三個球分別為、B、，藍32色的三個球分別CCC，現從中任31

個小球，顏色編號均不相同的情況有：,C、A,,C、,B,C、AB,C、A,C、31112,,C1因此，從中任3

個小球，顏色編號均不相同的情況6

種，故答案為

.【點睛】本題考查分類計數原理的應用，在求解排列組合問題時，若符合條件的基本事件數較少時，可采用列舉法求解，考查分類討論數學思想，屬于中等題13已知點

，st，

u

2

2

，復數

z、在復平面1內分別對應點

，若1

2

，則z

的最大值是__________.【答案【解析】由題意可知，點

在曲線x內，Q圓y2

上，利用三角不等式得出zzOP，可求出2【詳解】

的最大值.由題意知，點P

在曲線y內，Q圓

上，如下圖所示：金戈鐵騎

——————教育資共步入識洋—————由三角不等式得zzzOP12當點P為3

為正方形的頂點，且O.

方向相反時，取最大，故答案【點睛】本題考查復數模的最值，解題時充分利用三角不等式與數形結合思想進行求解，能簡化計算，考查數形結合思想的應用，屬于中等題14已知在二面AB，點

在半平內，且POB

對于半平面

內異

的任意一

12

二面取值的集合為__________.【答案】90【解析畫出圖形，利用斜線與平面內直線所成的角中，斜線與它的射影所成的角是最小的，判斷二面角的大小即可【詳解】如下圖所示，過點在平內作PC

，垂直為

，金戈鐵騎

mmn——————————教育源享步入識洋————————mmn

在二面，點

在平，且

POB

，若對于平面內異于O

的任意一Q，都

12

.因為斜線與平面內直線所成角中，斜線與它的射影所成的角是最小的，即

是線PO

與平面

成的角

平面平面

所以，平面所以，二面角AB是

.故答案為：90.【點睛】本題考查二面角平面角的求解，以及直線與平面所成角的定義，考查轉化與化歸思想和空間想象能力，屬于中等題.15已知nN*

，

，下面哪一個等式是恒成立的（）mn

n!!

BAn

n!(n)!C

m

m

C

m

D

m

m【答案】B【解析利用排列數、組合數公式以及組合數的性質可對各選項中的等式的正誤進行判斷.【詳解】由組合數的定義可

mn

!m!

，A項錯誤；!由排列數的定義可知A，B選項正確；!由組合數的性質可C

rn

rn

C

r，則C項均錯誤.故選：n【點睛】本題考查排列數、組合數的定義以及組合數的性質的應用，意在考查對這些金戈鐵騎

ii1ii2222———————ii1ii222216在復數范圍內，多項式．4xC．

4

可以因式分解為（）B．xD．xx2【答案】A【解析】將代數式化為【詳解】

4x24x22，然后利用平方差公式可得出結果iii44x2xx，故選：A.4【點睛】本題考查復數范圍內的因式分解，考查平方差公式的應用，屬于基礎題三、解答題17已知復w滿足

i為虛數單位

w

，求一個以

為根的實系數一元二次方程．【答案】

x

【解析】先由

w

求出復數w，再由zw

求出復數

，計算出其復數

，可得出以復數

為根的實系數方程為

x

【詳解】由

w

，得w

iii

ii

5w

5

z

.z，z

，金戈鐵騎

b202c220—————教育源享步入識b202c220因此，以復數

為一個根的實系數方程為x

，即x即

x.【點睛】本題考查復數形式的乘法與除法運算，考查實系數方程與虛根之間的關系，考查運算求解能力，屬于中等題.18面直角坐標系中

x22:點a2

F為

．（1若其長半軸長為，焦距，求其標準方程．（2證明該橢圓上一動點P

到點F的距離的最大值是a

．【答案

224

解.【解析題設條件可得出a的值，進而可求b的值，由此得出橢C

的標準方程；（2設點,0

x，將該點代入橢方程得出a

2

0

，并代d

的表達式，轉化為關于x

的函數，利用函數的性質求出

的最大值.【詳解】（1由題意，，，22．圓的標準方程為

24（2設,0

，0

,0，2d

x0

x20

0

2

xa20

cx0

2c

c

a2xd金戈鐵騎

xx————————教資共步入識洋——————【點睛】xx本題考查橢圓方程的求解及橢圓方程的應用，在處理與橢圓上一點有關的最值問題時，充分利用點在橢圓上這一條件，將問題轉化為二次函數來求解，考查函數思想的應用，屬于中等題.19推廣組合數公式，定Cmx

!

，其x且規C

0x

．的值；（1C（2設當x為何值時，函數

f

C3

取得最小值？【答案

時，

C3x

取得最小值.【解析據題中組合數的定義計算C的值；2（2根據題中組合數的定義求出函數f，然后利用基本不等式求出函數【詳解】

y

的最小值，并計算出等號成立對應的x的值.（1由題中組合數的定義C

3!

（2由題中組合數的定義得

f

C3

xx2

．因為x由基本不等式得x

2x

，當且僅當

x2

時，等號成立，所以當時，

C3x

取得最小值．【點睛】本題考查組合數的新定義，以及利用基本不等式求函數最值，解題的關鍵就是利用題中組合數的新定義進行化簡、計算，考查運算求解能力，屬于中等金戈鐵騎

1883——————————教資共步入識洋————————題.188320被嘉定著名學者錢大昕贊譽為“國朝算學第一”的清朝數學家梅文鼎曾創造出一類“方燈體示，在棱長4正方體ABCDC中，點Pi111i

為棱上的四等分點.（1求該方燈體的體積；（2求直線PP和P的所成角；2（3求直線P和平面PP的所成角．91【答案60arcsin.33【解析出八個角（即八個三棱錐）的體積之和，然后利用正方體的體積減去這八個角的體積之和即可得出方燈體的體積；（2以A原點，為軸，AD為y

軸，為z軸建立空間直角坐標1系，利用空間向量法求出直線和的所成角；611（3求出平P法向量，利用空間向量法求出直PP和平面P1299132的所成角的正弦值，由此可得出P和平面的所成角的大小.9132【詳解】（1在棱長為的正方體﹣AB中，點Pi11i

為棱上的四等分點，該方燈體的體積：

11V323

；（2以A原點，為軸，AD為y，AA1系，金戈鐵騎

軸，建立空間直角坐標

P0,3,4———教育源享步知海P0,3,4P1

,42

6

P11

1,1,012

P611

，設直線和P的所成角為，611直線和PP的所成角；2611

PPP1111PPP1211

，（34,0,3，13

，

P13

，9

，設平面PP的法向量129

，則

nx1nxy12

，得，取x得z

，設直線和平面PP的所成角sin9132

9913

2，23直線和平面PP的所成角為919

．【點睛】本題考查多面體的體積、異面直線所成角、直線與平面所成角的計算，解題的關鍵就是建立空間直角坐標系，利用空間向量法進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.21雙曲線

xy2a,b的左、右焦點分別為a2

FF，直l過F且2與雙曲線交于、B兩點．金戈鐵騎

1a21a2（1l準方程；

———————教育資共步入識洋————的傾斜角為3AB是等腰直角三角形，求雙曲線的標2（23b

，l

的斜率存在，且FA，l1

的斜率；（3證明：點P

到已知雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積為定值是a2該點在已知雙曲線上的必要非充分條件．x2y【答案

解析.【解析代入雙曲線的方程，得出

2y，由

等腰直1角三角形，可得出線的標準方程；

b22c，再a入可得ba

的值，由此可得出雙曲（2求出雙曲線的標準方程設直l

的方程為

該直線的方程與雙曲線的方程聯立，列出韋達定理，并求出線段AB的中點的坐標，由FA得出FAFB，轉化為利用這兩條11直線斜率之積為出實數

的值，可得出直l

的斜率；（3設Py，