山東省青島市鐵路職工子弟第一中學2023年高一數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.當時，（）,則的取值范圍是(

)

A．（０，）

B．（，１）

C．（１，）

D．（，２）參考答案：B略2.已知冪函數y=f（x）的圖象過點（3，），則log4f（2）的值為(

)A． B．﹣ C．2 D．﹣2參考答案：A【考點】冪函數的單調性、奇偶性及其應用．【專題】計算題；函數的性質及應用．【分析】用待定系數法求出冪函數的解析式，計算log4f（2）的值．【解答】解：設冪函數y=f（x）=xα，圖象過點（3，），∴3α=，∴α=，∴f（x）=（x≥0）；∴log4f（2）=log4=log42=×=；故選：A．【點評】本題考查了用待定系數法求出函數的解析式以及利用函數解析式求值的問題，是基礎題．3.已知點P為角β的終邊上的一點，且sinβ=，則y的值為（）A． B． C． D．±2參考答案：B【考點】G9：任意角的三角函數的定義．【分析】求出|OP|利用任意角的三角函數的定義，求出sinβ，進而結合已知條件求出y的值．【解答】解：由題意可得：，所以，所以y=±，又因為，所以y＞0，所以所以y=．故選B．【點評】本題是基礎題，考查任意角的三角函數的定義，常考題型．4.側棱長為的正三棱錐的側面都是直角三角形，且四個頂點都在一個球面上，則球的表面積為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D略5.如果奇函數f（x）在區間[3，7]上是增函數且最小值為5，那么f（x）在區間[﹣7，﹣3]上是（）A．增函數且最小值為﹣5 B．增函數且最大值為﹣5C．減函數且最小值為﹣5 D．減函數且最大值為﹣5參考答案：B考點： 奇函數．專題： 壓軸題．分析： 由奇函數在關于原點對稱的區間上單調性一致及奇函數定義可選出正確答案．解答： 解：因為奇函數f（x）在區間[3，7]上是增函數，所以f（x）在區間[﹣7，﹣3]上也是增函數，且奇函數f（x）在區間[3，7]上有f（3）min=5，則f（x）在區間[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，故選B．點評： 本題考查奇函數的定義及在關于原點對稱的區間上單調性的關系．6.函數f(x)=2sinxcosx是

（

）A.最小正周期為2π的奇函數

B.最小正周期為2π的偶函數C.最小正周期為π的奇函數

D.最小正周期為π的偶函數參考答案：C

略7.函數f(x)＝x3－3x－3一定有零點的區間是A．(2，3)

B．(1，2)

C．(0，1)

D．(－1，0)參考答案：A略8.在ΔABC中，點M是ＡＢ的中點，Ｎ點分ＡＣ的比為ＡＮ：ＮＣ＝１:２ＢＮ與ＣＭ相交于Ｅ，設，則向量（

）A．B．C．D．參考答案：C9.同時具有性質“①最小正周期是；②圖象關于直線對稱；③在上是增函數”的一個函數是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知函數在(－∞,5]上具有單調性，則實數k的取值范圍是（

）A．(－24,40)

B．[－24,40]

C．(－∞,－24]

D．[40,+∞)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，已知△ABC中，D為邊BC上靠近B點的三等分點，連接AD，E為線段AD的中點，若，則m+n=

．參考答案：【考點】9V：向量在幾何中的應用．【分析】根據向量加法的平行四邊形法則，向量加減法的幾何意義，以及向量的數乘運算即可得出，這樣便可得出m+n的值．【解答】解：根據條件，====；又；∴．故答案為：．12.定義一種集合運算A?B={x|x∈（A∪B），且x?（A∩B）}，設M={x|﹣2＜x＜2}，N={x|1＜x＜3}，則M?N所表示的集合是

．參考答案：{x|﹣2＜x≤1或2≤x＜3}【考點】子集與交集、并集運算的轉換．【專題】常規題型；集合．【分析】求出M∪N與M∩N，由新定義求M?N．【解答】解：∵M={x|﹣2＜x＜2}，N={x|1＜x＜3}，∴M∪N={x|﹣2＜x＜3}，M∩N={x|1＜x＜2}；則M?N={x|﹣2＜x≤1或2≤x＜3}．故答案為{x|﹣2＜x≤1或2≤x＜3}．【點評】本題考查了集合的交集，并集運算，同時給出了新的運算，實質是補集運算的變形，同時考查了學生對新知識的接受與應用能力．13.求值：sin50°（1+tan10°）=

．參考答案：1【考點】三角函數的恒等變換及化簡求值．【分析】先把原式中切轉化成弦，利用兩角和公式和整理后，運用誘導公式和二倍角公式化簡整理求得答案．【解答】解：原式=sin50°?=cos40°===1故答案為：114.已知函數，對于任意的，有如下條件：①；

②；

③；

④．其中能使恒成立的條件序號是

.參考答案：①④略15.函數f（x）=ln（1﹣2x）的單調區間是．參考答案：（﹣∞，）【考點】對數函數的單調性與特殊點．【專題】數形結合；換元法；函數的性質及應用．【分析】由題意可得函數的定義，令t=1﹣2x，由復合函數單調性可得．【解答】解：令1﹣2x=t，則由t＞0可得函數的定義域為（﹣∞，），∵函數y=lnt在t＞0時單調遞增，函數t=1﹣2x單調遞減，∴原函數的單調遞減區間為：（﹣∞，）故答案為：（﹣∞，）【點評】本題考查對數函數的單調性，涉及復合函數的單調性和函數的定義域，屬基礎題．16.已知sinx+siny=，cosx+cosy=，則cos（x﹣y）=

．參考答案：﹣

【考點】兩角和與差的余弦函數．【分析】對已知兩式分別平方相加，逆用兩角和與差的余弦函數公式即可求得答案．【解答】解：∵sinx+siny=，①cosx+cosy=，②①2+②2得：2+2sinxsiny+2cosxcosy=，∴cos（x﹣y）=sinxsiny+cosxcosy=﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查兩角和與差的余弦函數，考查三角函數的平方關系的應用，屬于基礎題．17.函數已知，則的值是

參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數，其中，，.（1）求的單調遞增區間；（2）若關于x的方程在時有兩個不同的解，求實數m的取值范圍.參考答案：（1）單調遞增區間為，.（2）【分析】（1）由，結合輔助角公式可整理出；令，，解出的范圍即為所求的單調遞增區間；（2）利用的范圍可確定，可判斷出函數的單調性；將問題轉變為，與有兩個不同交點，結合函數圖象可求得范圍.【詳解】（）由題意得：當，，即，時，單調遞增的單調遞增區間為：，（2）當時，當時，單調遞增；當時，單調遞減，且，在時有兩個不同的解，即，與有兩個不同交點結合圖象可知，當時，與有兩個不同交點【點睛】本題考查正弦型函數單調區間的求解、根據方程根的個數求解參數范圍的問題，關鍵是將問題轉化為交點個數的問題，通過自變量的取值范圍求得函數的值域和單調性，結合函數圖象可求得結果.19.已知tanα=3，計算：（Ⅰ）；（Ⅱ）sinα?cosα．參考答案：【考點】同角三角函數基本關系的運用．【分析】（Ⅰ）分子、分母同除以cosα，利用同角三角函數基本關系式即可計算得解．（Ⅱ）將分母看成1，即兩弦值的平方和，由已知，利用同角三角函數基本關系式即可計算得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（Ⅰ）∵tanα=3，∴===．…（6分）（Ⅱ）∵tanα=3，∴sinα?cosα====．…（12分）【點評】本題主要考查了同角三角函數基本關系式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．20.已知函數.（1）求函數f(x)的單調遞增區間；（2）若對于任意的，都有成立，求實數a的范圍.參考答案：(1)因為,所以當時,單調遞增,當時,單調遞增,當時,單調遞減,因此函數的單調遞增區間為,（2）當時,,令,則,為上單調遞減函數,因此時,取最大值18,從而.21.在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：摸球方法：從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢．（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計）能賺多少錢？參考答案：【考點】C1：隨機事件；CC：列舉法計算基本事件數及事件發生的概率．【分析】（1）先列舉出所有的事件共有20種結果，摸出的3個球為白球只有一種結果，根據概率公式得到要求的概率，本題應用列舉來解，是一個好方法．（2）先列舉出所有的事件共有20種結果，摸出的3個球為2個黃球1個白球從前面可以看出共有9種結果種結果，根據概率公式得到要求的概率．（3）先列舉出所有的事件共有20種結果，根據摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢，算一下摸出的球是同一色球的概率，估計出結果．【解答】解：把3只黃色乒乓球標記為A、B、C，3只白色的乒乓球標記為1、2、3．從6個球中隨機摸出3個的基本事件為：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20個（1）事件E={摸出的3個球為白球}，事件E包含的基本事件有1個，即摸出123：P（E）==0.05（2）事件F={摸出的3個球為2個黃球1個白球}，事件F包含的基本事件有9個，P（F）==0.45（3）事件G={摸出的3個球為同一顏色}={摸出的3個球為白球或摸出的3個球為黃球}，P（G）=（4）=0.1，假定一天中有100人次摸獎，由摸出的3個球為同一顏色的概率可估計事件G發生有10次，不發生90次．則一天可賺90×1﹣10×5=40，每月可賺1200元22.(本題滿分14分)已知⊙C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0.(1)若⊙C的切線在x軸、y軸上截距相等，求切線的方程．(2)從圓外一點P(x0，y0)向圓引切線PM，M為切點，O為原點，若|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P點坐標．參