''''''相三形性及定2）中考要板相似三角形

A級要求了解相似三角形

考要B級要求掌握相似三角形的概念，判定及性質，以及掌握相關的模型

C要求會運用相似三角形相關的知識解決有關問題知識點一、相似的有關概念．相似形具有相同形狀的圖形叫做相似形．相似形僅是形狀相同，大小不一定相同．相似圖形之間的互變換稱為相似變換．．相似圖形的特性兩個相似圖形的對應邊成比例，對應角相等．．相似比兩個相似圖形的對應角相等，對應邊成比例．二、相似三角形的概念．相似三角形的定對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形．如圖，△ABC與△A

相似，記作△A

，符號∽讀“似于．CB

C．相似比相似三角形對應邊的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1全等三角形一是相似形，相形不一定“全等形．三、相似三角形的性質．相似三角形的對角相等如圖，△ABC與△A

相似，則有

．12.2.2相似三角形的性質及判定（）

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''''''''''''''''''''''''CB

C．相似三角形的對邊成比例如圖，△ABC與△A

相似，則有

BCAC（為似比BAABCB．相似三角形的對邊上的中線，高線和對應角的平分線成比例，都等于相似比．

C如圖，△△

相似，是△ABC中BC邊的中線，

是△

中

邊上的中線，則有

BCAMBA

（為相似比MB

M

'

C圖1如圖，△與

相似，是△中BC上的高線，

是△

中

邊上的高線，則有

BCAHAAA

（k為似比CB

C圖2如圖3eq\o\ac(△,)ABC與△

相似，是△中的平分線，A

是A

中

的角平分線，則有

BCABAA

（k為相似比12.2.2相似三角形的性質及判定（）

講義·學生版Page2of16

''''''''''''''''''''''CB

C圖3．相似三角形周長比等于相似比．如圖，△

相似，則有

BCAC（k為似比用比例的等比質有ABBCBCACAB

．CB

C圖4．相似三角形面積比等于相似比的平方．如圖，△△是ABC中邊上的高線，高線，則有

BCAHAAA

（k為似比而可得eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

BCAHB

．CB

C圖5四、相似三角形的判定．平行于三角形一的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形原三角形相似．．如果一個三角形的兩個角與另一三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．可簡單成：兩角對應相等，兩個三角形似．．如果一個三角形的兩邊和另一個角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形似．．如果一個三角形的三條邊與另一三角形的你對應成比例，那么這兩個三角形相似．可簡單地成：三邊對應成比例，兩個三角相似．．如果一個直角三角形的斜邊和一直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例那么這兩個直角三角形相似．12.2.2相似三角形的性質及判定（）

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．直角三角形被斜上的高分成的兩個直角三角形相似（常用但要證明）．如果一個等腰三角形和另一個等三角形的頂角相等或一對底角相等，那么這兩個等腰三角形似；如果它們的腰和底對應成比，那么這兩個等腰三角形也相似．五、相似證明中的比例式或等積式、比例中項式、倒數式、復合式證明比例式或等積式的主要方法“三點定形”．橫向定型法欲證

ABBE

橫觀察比例式中的分子的條線段是ABBC三字母恰△ABC的頂點；分母的兩條線段是和BF，三個字母F恰△BEF的三個頂點．因此只需證△∽△EBF．．縱向定型法欲證

ABDEBCEF

，縱向觀察，比例式左邊的比AB和BC中的三個字母AB恰△的點；右邊的比兩條線段是DE和EF中的三個字母DF恰△的個頂點．因此只需證△∽△．中間比法由于運用三點定形法時常會碰到三點共線或四點中沒有相同點的情況，此時可考慮運用等線，比或等積進行變換后，再考慮運用三點定形法尋找相似三角形．這種方法就是等量代換法．在證明例式時，常用到中間比．比例中項式的證明，通常涉及到公共邊有關的相似問題。這類問題的典型模型是射影定理模型模型的特征和結論要熟練掌握和透理解．倒數式的證明，往往需要先進行形，將等式的一邊化為，另一邊化為幾個比值和形式，然后對比值進行等量代換，進而證明之復合式的證明比較復雜．通常需進行等線代換（對線段進行等量代換比代換，等積代換，復合式轉化為基本的比例式或等式，然后進行證明．六、相似證明中常見輔助線的作法在相似的證明中，常見的輔助線的作法是做平行線構造成比例線段或相似三角形，同時再結合量代換得到要證明的結論．常見的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代換等．如圖：AD平D，求證：

AB．DC1DC證法一：過C∥AD，BA的長線于E∴．∵，．．BABA∵ADCE，．DCBEAC點評：做平行線構造成比例線段，利用A型的基本模型．12.2.2相似三角形的性質及判定（）

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12D證法二；過作AC的平行線，交AD的長線于．∴，AB．∵BE，∴

BEAB．DCAC點評：做平行線構造成比例線段，利用X型的基本模型．七、相似證明中的面積法面積法主要是將面積的比，和線段的比進行相互轉化來解決問題．常用的面積法基本模型如下：ABCHD如圖：

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

BC．

圖：“山字型

HOD

如圖：

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

AHAO．DGOD

圖2：“田”型

DSABAD如圖：eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)．AEAC

C圖3“”型12.2.2相似三角形的性質及判定（）

講義·學生版

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八、相似證明中的基本模型

DE

D

D

F

E

I

FCBC

G

BDHB

E

O

O

F

DCDFDCD

D

EH

DO

CBCD

DCCDCD

DCADA

A

A

AD

D

D

GDEBF

B

G

EEECFBFGC

F

G

H

DF

D

F

G

D

F

M

D

F

NEECBBH例題精一、與角平分線有關的相似問題

C12.2.2相似三角形的性質及判定（）

講義·學生版Page6of16

【例】如，AD是的角平分線，求證：

ABACDC【例】已ABC中BAC的角平分線交對邊BC的長線于，證：

ABBDCDCD【鞏固】已知ABC中BAC外角平分線交對邊的長于，證：AD

BDABCD12.2.2相似三角形的性質及判定（）

講義·學生版Page7of16

【例】已：分別為的、外角平分線，M為的點，求證：

BMACCMABDME【鞏固】已知：分別為ABC的、外角平分線，求證：

112.BCDE【例】已四邊形，、F分為一組對邊BC、的點，若求證：AB、DC與EF成角

BEAFABECFDDC

F

D12.2.2相似三角形的性質及判定（）

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二、與公共邊有關的相似問題【例】如ABC中ACBCAB

BDAC

CDAD

D【例】如，在矩形中，對角線AC、BD相于G，E為的點，連接BE交AC于，連接FD，90下列四對三角形：①△與△ACD；②△FED與DEB；△CFD與；ADF與其中相似的為（）A

EDFBCA①④

B．②

C．③④

D．②【鞏固】如圖，矩形ABCD中BEAC于F，是CD中點，下列式子成立的是（）DEF

AABF

AF

B．BF

AF

C．BF

AF

D．

AF

12.2.2相似三角形的性質及判定（）

講義·學生版Page9of16

【例】如，中AD于D，BEAC于E，DF于F，交于G，FDAC的延長線交于點H，證：DF

FG.AF

G

EB

D

CH【鞏固】如圖，中D在AC上AD，M是中點，MEAC于點是ME的中點，連接DP。證：BEDPC

C

【例】如，在直角梯形ABCD中∥CD，角線ACBD，垂足為，AD，過的直線EF∥ABADF．⑴，⑵

D

CF

EA12.2.2相似三角形的性質及判定（）

講義·學生版Page10of16

【鞏固】如圖，中ACBCDAB于DE為BC的點，AC的長線交于F．求證：

FA．FDF3AD

21

EB【例】如，在中，AD平BAC，的直平分線交于E交BC的長線于，求證：FD

FB．AEBDCF【鞏固】如上圖，在中FD求證：AD平BAC

FB，AD的直平分線交于交延長線于F，DCF12.2.2相似三角形的性質及判定（）

講義·學生版Page11of16

【例1】已知，如圖，為邊三角形，DAE120DAE兩邊交直線于D兩，求證：BC

．ADB

C2

13DC【鞏固】已知，如圖，為腰三角形，，不添加輔助線的條件下：⑴當與滿什么關系時，(_____)⑵證你的結論．

括號里填圖中已有線．ADBCE三、與旋轉有關的相似問題【例1】如角形ABCD中BCD90CDE梯形內一點90將繞C點旋轉與重，到DCF，連EF交CD于．已知BCCF，DM:MC的為（）A5:3

B．3:5

C．4:3D4A

DE

M12.2.2相似三角形的性質及判定（）

FB講義·學生版Page12of16

【例1】如，四邊形ABCD和均正方形，求::CE

ADG

G

B

B

E

E【鞏固圖等邊△ABC中，為上的動點CD為一邊上作等邊△連，求證：BC．（2如圖2將1）中的等邊△為以為邊的等腰三角形，所作EDC改相似于△ABC請問：是否有AE？明你的結論．

A

ED

D

B

C12.2.2相似三角形的性質及判定（）

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【例1】把塊全等的直角三角板和DEF放在一起，是三角板的角頂點與角板ABC的斜邊中點O重，其中DEF45，三角板固定不動三板DEF繞O轉射線DE與線AB交于點線DF與段相交于點Q（1）如圖1，射線DF過點，點與點重時，易證△APD∽CDQ此時，．（2）將三角板DEF由1的示的位置繞點O沿時針方向旋轉，設旋轉角，中0值是否改變？說明你的理由．（3在（）的條件下，設，塊三角板重疊的部分面積為，求于的數關系式．A

AE

AP

D)

E

D(O)PBQC

BM

Q

D()CB(Q

C

EF

F

P

F圖

圖

圖3四、與相似有關的動點問題【例1】如，中

3，，P從出，沿方以2/的度移動，5點Q從出CA向也以1s的度移動Q分從C出發過少時間CPQ與CBA相？ABC12.2.2相似三角形的性質及判定（）

講義·學生版Page14of16

【鞏固如，在矩形中ABBC，點沿AB邊點A開向點以

秒的速度移動，點沿DA邊1/秒速度從點D開始移動，如果同時出發，用（）表示移動的時間(0≤t≤6)．⑴當為何值時，QAP為腰直角角