第2章可靠性數學基礎電子科技大學

本章內容數理統計基本概念常用的概率分布隨機變量函數均值與方差的近似計算數理統計的基本概念總體（母體）是研究對象的全體。總體可以是尺寸、壽命、時間和強度等。總體可以分為有限總體和無限總體。個體是組成總體的每個基本單元抽樣和樣本總體與個體抽樣是隨機的抽取和組成樣本的過程。樣本是取自總體的部分個體的集合。樣本所包含的個體數目，稱為樣本容量。

集中趨勢的是指分布密度的圖形集中趨向于哪里，即分布的中心位置在哪里。隨機變量集中趨勢的尺度均值分布的平均值中位數分布密度圖的中間值眾數頻率(或頻數)為最大的隨機變量的位置隨機變量分散性的尺度分散性是指分布的離散程度方差標準差

變異系數

變異系數的值越小，變量的分散性越小極差

樣本經驗分布函數定義：設總體的一組樣本觀測值，將其按從小到大排列經驗分布函數是總體分布函數的近似。下標i表示失效數據的序號。對一批觀測數據，若樣本量較大，樣本量較大時，也可以根據可靠度定義，直接計算其經驗分布經驗分布函數的計算t時刻失效樣本數參加試驗的產品數經驗分布函數的計算樣本量較小時Hansen公式數學期望公式中位秩公式medianrank本章內容數理統計基本概念常用的概率分布隨機變量函數均值與方差的近似計算概率分布的作用制定合理的維修和保修制度計算產品的可靠性參數計算產品的壽命特征預測產品的故障規律離散型隨機變量的常用分布（0-1）分布Beroulli分布（二項分布）部分冗余Poisson分布幾何分布與負二項分布超幾何分布分布類型可靠性工程中的應用（0-1）分布描述具有兩種結果的隨機試驗二項分布部分冗余時，計算系統成功的概率Poisson分布描述產品在某個時間區間內受到外界“沖擊”的次數。幾何分布和二項分布描述試驗中失敗次數的分布超幾何分布適用于較小規模的抽樣問題離散型隨機變量的分布類型及其應用連續型隨機變量的常用分布正態分布截尾正態分布對數正態分布G分布指數分布威布爾分布極值分布1.指數分布ExponentialDistribution指數分布在可靠性計算中的應用故障率可靠壽命中位壽命描述電子設備壽命分布規律；描述大型復雜系統故障時間間隔的分布規律。例題求該設備使用100小時和1000小時后的可靠度。已知某設備的失效率工作100h后的可靠度為工作1000h后的可靠度為2.正態分布Normal

Distribution(Gaussiandistribution)概率密度函數累積分布函數描述由于磨損、腐蝕引起失效的產品壽命；對制造的產品及其性能進行分析和質量控制。tt正態分布的概率密度曲線標準正態分布的正態分布稱為標準正態分布。標準正態分布的概率密度函數標準正態分布的累積分布函數查正態分布表。例題已知非標準正態分布如何變為標準正態分布？例題有100個某種材料的試件進行抗拉強度試驗，測得試件材料的強度極限的均值與標準差分別為求：（1）試件材料的強度小于600MPa的概率；（2）強度在（550~450）MPa區間內的概率。解：（1）（2）若強度落在（550－450）MPa區間內如果隨機變量X

的自然對數Y=ln(X)服從正態分布，則X服從對數正態分布，概率密度函數和累積分布函數分別為：對數正態分布Log-NormalDistribution隨機變量Y的均值和標準差累積分布概率的計算對數正態分布Log-NormalDistribution利用標準正態分布求解均值和標準差的均值和標準差用對數變換可將較大的數縮小為較小的數，在機械零、部件的疲勞壽命、疲勞強度、耐磨壽命以及描述維修時間的分布等研究中，常應用對數正態分布。對數正態分布Log-NormalDistribution例題某工程機械的正常運行時間（兩次失效之間的時間）服從對數正態分布，其均值為6個月，標準差為1.5個月。若要求在任何時間內一臺設備能處于運行狀態的概率至少為0.90，試計算每臺設備的維修周期。解：要求設備處于運行狀態的概率為0.90，則不可靠度為查正態分布表，得則維修周期為（月）WaloddiWeibull1887-1979Astatisticaldistributionfunctionofwideapplicability.JournalofAppliedMechanics,1951,18(3):293–2973.威布爾分布Weibull

Distribution若隨機變量T服從三參數威布爾分布，則其概率密度函數：累積分布函數為其中：形狀參數尺寸參數位置參數3.威布爾分布Weibull

Distribution兩參數威布爾分布的概率密度函數和累積分布函數分別：時，三參數威布爾分布轉變為兩參數威布爾分布。3.威布爾分布Weibull

Distribution威布爾分布變量的數學期望和方差分別為：式中：為伽馬函數取值對概率密度曲線形狀的影響概率密度函數曲線取值對概率密度曲線形狀的影響概率密度函數曲線取值對概率密度曲線形狀的影響概率密度函數曲線描述疲勞壽命的威布爾分布模型疲勞壽命的分布函數位置參數，即最小壽命參數；特征壽命參數；形狀參數。疲勞壽命的概率密度函數本章內容數理統計基本概念常用的概率分布隨機變量函數均值與方差的近似計算

隨機變量函數均值與方差的近似計算工程中有許多隨機事件，大多需要用兩個、三個或多個隨機變量的函數來描述，當已知其中每一個隨機變量的均值及標準差，可以通過一些方法來估計和計算隨機變量函數的均值和標準差。三種方法：基本函數法泰勒級數法變異系數法基本函數法泰勒級數法一維隨機變量函數的近似解多維隨機變量函數的近似解例題已知某一銷軸半徑r的均值和標準差分別為求此銷軸截面積A的均值和標準差。解：例題一拉桿受外力