第三章時域響應(yīng)及誤差分析2/4/20231所謂時域分析法，就是通過求解控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)，依據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及時間響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性。并找出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與這些性能之間的關(guān)系。它是一種直接在時間域中對系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點，可以提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。尤其適用于低階系統(tǒng)。2/4/20232規(guī)定一些特殊的試驗輸入信號各種系統(tǒng)比較各種系統(tǒng)對這些試驗信號的響應(yīng)2/4/20233

時域響應(yīng)及典型輸入信號時域響應(yīng)包括：（以階躍輸入為例）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)t2/4/20234常見的典型輸入信號：階躍信號

0t2/4/20235斜坡信號

10t2/4/202363加速度信號

0t2/4/20237脈沖信號

因此脈沖高度趨于無窮大，持續(xù)時間趨于無窮小，脈沖面積為α。當(dāng)α=1

時，稱為單位脈沖函數(shù)，又稱δ

函數(shù)。002/4/20238正弦信號0t2/4/20239究竟采用哪種典型信號？

取決于系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號形式。斜坡信號隨時間逐漸變化的輸入階躍信號突然的擾動量、突變的輸入脈沖信號沖擊輸入正弦信號隨時間周期性變化的輸入

如機(jī)床、溫控裝置等如開關(guān)的轉(zhuǎn)換、電源的突然接通等如導(dǎo)彈發(fā)射等如電源的波動、機(jī)械的振動等2/4/202310為什么常用階躍信號？階躍函數(shù)是自動控制系統(tǒng)在實際工作中經(jīng)常遇到的一種外作用形式。例如電源電壓的突然跳動，負(fù)載突然增大或減小，都可近似成階躍函數(shù)形式。因此，在控制系統(tǒng)的分析設(shè)計中，階躍函數(shù)是用的最多的一種評價系統(tǒng)動態(tài)性能的典型實驗輸入信號。

因為常用，所以一些性能指標(biāo)才根據(jù)階躍函數(shù)的響應(yīng)來定義。2/4/202311

一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)×-?2/4/202312一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)2/4/202313結(jié)論：

1一階系統(tǒng)總是穩(wěn)定的；

2可用實驗方法測T；

3經(jīng)過3~4T，響應(yīng)已達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%~98%4

T2T3T4T5T98.2%95%99.3%86.5%B0t1A63.2%0.632一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線2/4/202314二、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)2/4/202315t0一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線2/4/202316三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)98.2%95%99.3%86.5%B0tT2T3T4T5T63.2%A2/4/2023172/4/202318這種對應(yīng)表明，系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)可以通過對系統(tǒng)原信號響應(yīng)進(jìn)行微分而得出，系統(tǒng)對原信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對原響應(yīng)的積分，而積分常數(shù)可由零輸出初始條件確定。這是線性定常系統(tǒng)的特性。線性時變系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)不具備這種特性。由此得出，在研究線性定常系統(tǒng)的時間響應(yīng)時，只要對其中一種典型輸入信號響應(yīng)的研究即可。

瞬態(tài)性能指標(biāo)是以階躍信號為典型輸入信號定義的。2/4/202319二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)×-2/4/202320阻尼：（英語：damping）是指任何振動系統(tǒng)在振動中，由于外界作用或系統(tǒng)本身固有的原因引起的振動幅度逐漸下降的特性，以及此一特性的量化表征。阻尼是指阻礙物體的相對運動、并把運動能量轉(zhuǎn)化為熱能或其他可以耗散能量的一種作用。阻尼的作用主要有以下五個方面：（1）阻尼有助于減少機(jī)械結(jié)構(gòu)的共振振幅，從而避免結(jié)構(gòu)因震動應(yīng)力達(dá)到極限造成機(jī)構(gòu)破壞；（2）阻尼有助于機(jī)械系統(tǒng)受到瞬時沖擊后，很快恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)；（3）阻尼有助于減少因機(jī)械振動產(chǎn)生的聲輻射，降低機(jī)械性噪聲。許多機(jī)械構(gòu)件，如交通運輸工具的殼體、鋸片的噪聲，主要是由振動引起的，采用阻尼能有效的抑制共振，從而降低噪聲；（4）可以提高各類機(jī)床、儀器等的加工精度、測量精度和工作精度。各類機(jī)器尤其是精密機(jī)床，在動態(tài)環(huán)境下工作需要有較高的抗震性和動態(tài)穩(wěn)定性，通過各種阻尼處理可以大大的提高其動態(tài)性能；（5）阻尼有助于降低結(jié)構(gòu)傳遞振動的能力。在機(jī)械系統(tǒng)的隔振結(jié)構(gòu)設(shè)計中，合理地運用阻尼技術(shù)，可使隔振、減振的效果顯著提高。2/4/202321二階系統(tǒng)特征方程：[s]0000特征方程的根：2/4/202322[s]002/4/2023230[s]一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)欠阻尼2/4/202324衰減振蕩2/4/2023250一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)無阻尼等幅振蕩2/4/2023260一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)臨界阻尼不振蕩2/4/2023270一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)過阻尼不振蕩動態(tài)過程更長2/4/202328一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)[s]0負(fù)阻尼不相等正實根單調(diào)發(fā)散2/4/202329共軛復(fù)根0負(fù)阻尼發(fā)散振蕩2/4/202330二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)2/4/202331二、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)2/4/202332二、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)2/4/202333二、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)2/4/2023342/4/202335三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)2/4/2023362/4/2023372/4/2023382/4/202339-2/4/202340四、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)二階系統(tǒng)動態(tài)性能？2/4/2023411、二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)響應(yīng)曲線達(dá)到第一個峰值所用時間-峰值時間在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值上，用穩(wěn)態(tài)值的絕對百分?jǐn)?shù)做一個允許誤差范圍，響應(yīng)曲線達(dá)到并且永遠(yuǎn)保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所用的最小時間-調(diào)節(jié)時間1響應(yīng)曲線從0上升到穩(wěn)態(tài)值的100%所用時間-上升時間0t這些點已被確定0.05或0.02最大超調(diào)量2/4/2023421、二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)0[s]2/4/2023432/4/2023442/4/2023452/4/2023462/4/202347標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)2/4/202348×-2/4/20234922/4/202350Mfk8.9N求M、k、f的數(shù)值0.00292/4/2023512/4/2023522/4/202353比較對二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響0[s]衰減振蕩2/4/2023542/4/2023552/4/202356§3-4高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)分析

對于一般二階以上的單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可以表示為：2/4/202357

可見，高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是由一些一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)函數(shù)迭加組成的。當(dāng)所有極點均具有負(fù)實部時，除了α，其它各項隨著t→∞而衰減為零，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

高階系統(tǒng)通過合理的簡化，可以用低階系統(tǒng)近似。2/4/2023581、系統(tǒng)極點的負(fù)實部愈是遠(yuǎn)離虛軸，則該極點對應(yīng)的項在瞬態(tài)響應(yīng)中衰減得愈快。反之，距虛軸最近的閉環(huán)極點對應(yīng)著瞬態(tài)響應(yīng)中衰減最慢的項，該極點對（或極點）對瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用，稱之為主導(dǎo)極點。

工程上當(dāng)極點A距虛軸的距離大于5倍的極點B距虛軸的距離時，分析時可忽略極點A。2、閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果零、極點數(shù)值上相近，則可將該零點和極點一起消去，稱之為偶極子相消。2/4/2023592/4/202360當(dāng)考慮主導(dǎo)極點削去(s+60)時，只去掉s，保證靜態(tài)增益不變。2/4/202361

穩(wěn)定性是線性控制系統(tǒng)中最重要的問題§3-5線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性2/4/202362一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動取消后，這個系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一、穩(wěn)定的概念2/4/202363Mbcoodfabcde條件穩(wěn)定系統(tǒng)b、c——允許偏差范圍d、e——規(guī)定偏差邊界穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)2/4/202364

穩(wěn)定性反映在干擾消失后的過渡過程的性質(zhì)上。這樣，在干擾消失的時刻，系統(tǒng)與平衡狀態(tài)的偏差可以看作是系統(tǒng)的初始偏差。因此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性也可以這樣定義：2/4/202365

若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。2/4/202366

控制理論中所討論的穩(wěn)定性其實都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，也就是討論輸入為零，僅存在初始偏差時的穩(wěn)定性，即討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的。至于機(jī)械工程系統(tǒng)往往用激振或外力的方法施以強(qiáng)迫振動或運動，而造成系統(tǒng)共振或偏離平衡位置，這并不是控制理論所要討論的穩(wěn)定性。2/4/202367

二、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件ttt=0t-2/4/202368-反之，若特征根中有一個或多個根具有正實部，則零輸入響應(yīng)將隨時間的推移而發(fā)散，這樣的系統(tǒng)就不穩(wěn)定。2/4/202369可見，穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，它取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入無關(guān)；控制理論所討論的穩(wěn)定性都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，即討論輸入為零，系統(tǒng)僅存在初始偏差時的穩(wěn)定性，即討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的。2/4/202370控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負(fù)實部。或閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點全部具有負(fù)實部（位于左半s平面）。2/4/202371

為了避開對特征方程的直接求解，就只好討論特征根的分布，看其是否全部具有負(fù)實部，并以此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這就產(chǎn)生了一系列穩(wěn)定判據(jù)。2/4/202372控制理論對于判別控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了多種方法：1884年E.J.Routh（勞斯）提出了基于閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程判定系統(tǒng)穩(wěn)定的方法，及勞斯穩(wěn)定判據(jù)；1892年李雅普諾夫?qū)刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性做出了樣的定義和理論闡述，主要是對時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究；1895年A.Hurwitz（胡爾維茨）提出了基于閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程判定系統(tǒng)穩(wěn)定的另一種方法，及胡爾維茨判據(jù)；1932年奈奎斯特（Nyquist)提出了基于開環(huán)頻率特性的幾何圖形（奈奎斯特圖或極坐標(biāo)圖）進(jìn)而判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定方法，及奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)；2/4/202373判斷控制系統(tǒng)穩(wěn)定的方法：1884 勞斯穩(wěn)定判據(jù)（代數(shù)判據(jù)）1892 李雅普諾夫穩(wěn)定性闡述1895 胡爾威茨穩(wěn)定判據(jù)（代數(shù)判據(jù)）1932 乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（幾何判據(jù)）2/4/202374

§3-6勞斯穩(wěn)定判據(jù)2/4/202375一、勞斯判據(jù)穩(wěn)定的必要條件：特征方程中各項系數(shù)>0穩(wěn)定的充分條件：

勞斯陣列中第一列所有項>02/4/202376勞斯陣列如下：

一直計算到最后一行算完為止。然后判斷陣列中第一列系數(shù)的符號，若全部>0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)，就為特征方程在右半s平面的根數(shù)。2/4/202377解：滿足必要條件

13-232/4/202378-例2K為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定2/4/202379勞斯判據(jù)的兩種特殊情況：1、某一行第一個元素為零，而其余各元素均不為零、或部分不為零；2、某一行所有元素均為零。2/4/202380

第一列系數(shù)符號改變兩次，系統(tǒng)有兩個右根，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1012/4/20238102第一列系數(shù)符號無改變，故系統(tǒng)沒有正實部的根。[S]行為0，表明系統(tǒng)有一對共軛虛根，所以，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

2/4/202382由該行的上一行元素來解決：（1）構(gòu)成輔助多項式，并求導(dǎo)，用其系數(shù)代替全為零的行；（2）構(gòu)成輔助方程，并解出這些大小相等但位置徑向相反的特征根。2、某一行所有元素均為零

表明在S平面內(nèi)存在大小相等但位置徑向相反的根，即存在兩個大小相等、符號相反的實根和（或）一對共軛虛根，[S]顯然，這些根的數(shù)目一定是偶數(shù)。2/4/202383輔助多項式\1\3

第一列符號全為正，說明系統(tǒng)無右根，但有共軛虛根，可由輔助方程解出。輔助方程3

8

8\1\6\800

系統(tǒng)臨界穩(wěn)定212162/4/202384赫爾維茨判據(jù)系統(tǒng)特征方程的一般形式為：各階赫爾維茨行列式為：（一般規(guī)定）系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)的特征方程的各項系數(shù)均為正值，且各階赫爾維茨行列式全部為正值。2/4/202385對于控制系統(tǒng)的基本要求是穩(wěn)定、準(zhǔn)確、快速。

誤差問題就是控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確度問題。

系統(tǒng)過渡完成后的誤差稱為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在過渡完成后控制準(zhǔn)確度的一種度量。一個控制系統(tǒng)，只有滿足要求的控制精度，才有實際工程意義。§3-7控制系統(tǒng)的誤差分析2/4/202386t0一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線0t1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線2/4/202387二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)2/4/202388機(jī)電控制系統(tǒng)中，元件的不完善，如靜摩擦、間隙以及放大器的零點漂移、元件老化或變質(zhì)都會造成誤差，這種誤差稱為靜差。

本章不研究靜差，只研究由于系統(tǒng)不能很好地跟蹤輸入信號而引起的穩(wěn)態(tài)誤差，或者由于擾動而引起的穩(wěn)態(tài)誤差，即系統(tǒng)原理性誤差。通常把在階躍輸入作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)；而把有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為有差系統(tǒng)。

2/4/202389一、概念和術(shù)語1、系統(tǒng)的型和階、系統(tǒng)開環(huán)增益2/4/2023902、誤差系數(shù)2/4/202391二、偏差和誤差及穩(wěn)態(tài)誤差理論1、誤差定義2、穩(wěn)態(tài)誤差計算理論3、擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計算理論2/4/202392圖1誤差和偏差的概念+-+-1、誤差定義2/4/202393輸入信號與反饋信號比較后的信號也能反映誤差的大小，稱為偏差，即

為系統(tǒng)希望的輸出量，為系統(tǒng)實際的輸出量，則誤差定義為：誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量被稱為穩(wěn)態(tài)誤差。圖1誤差和偏差的概念+-+-一般情況下，系統(tǒng)的誤差信號與偏差信號并不相等。2/4/202394圖中反映的是輸入與輸出之間的比例、微分或積分等關(guān)系，稱為理想變換算子。一般情況下，誤差信號與偏差信號之間的關(guān)系為：

對于實際使用的控制系統(tǒng)來說，往往是一個常數(shù)，因此，通常誤差信號與偏差信號之間存在簡單的比例關(guān)系，求出穩(wěn)態(tài)偏差也就求出了穩(wěn)態(tài)誤差。對于單位反饋控制系統(tǒng)，偏差信號與誤差信號相同。+-+-2/4/202395（1）單位反饋控制系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為：也即：

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：2、穩(wěn)態(tài)誤差計算理論2/4/202396（2）非單位反饋控制系統(tǒng)偏差為：穩(wěn)態(tài)偏差為：誤差為：一般情況下，為常值H，則有穩(wěn)態(tài)誤差為：

注意：在求穩(wěn)態(tài)偏差和穩(wěn)態(tài)誤差時，用到了拉氏變換的終值定理，而終值定理只對有終值的變量才有意義，如果系統(tǒng)本身不穩(wěn)定，用終值定理求出的值是虛假的。

故在求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差前，應(yīng)先判斷穩(wěn)定性。2/4/202397

實際控制系統(tǒng)中，不僅存在給定的輸入信號，還存在干擾作用，如圖。圖2干擾引起誤差的系統(tǒng)-

3、擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計算理論2/4/202398由輸入信號引起的偏差為，則有穩(wěn)態(tài)偏差為穩(wěn)態(tài)誤差為

-

2/4/202399由擾動信號引起的偏差為（此時不考慮輸入信號）。穩(wěn)態(tài)偏差為：此即干擾引起的穩(wěn)態(tài)偏差。由此可得干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差為：則系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差為總的穩(wěn)態(tài)誤差為-

2/4/2023100例1：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，當(dāng)輸入信號，干擾時，求系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差。圖3系統(tǒng)方塊圖-

2/4/2023101解：（1）先判斷穩(wěn)定性

系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：只要，系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差為

故系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為：-

2/4/20231021、計算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法（1）判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性

（2）求誤差傳遞函數(shù)

（3）用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差

三、穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法2/4/2023103單位反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：式中，分母階次高于分子階次；，為0型系統(tǒng)；，為I型系統(tǒng)；，為II型系統(tǒng)；

2、靜態(tài)誤差系數(shù)法2/4/2023104（1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp

對于0型系統(tǒng)

對于I型或高于I型的系統(tǒng)

在單位階躍輸入時，

穩(wěn)態(tài)誤差對于0型系統(tǒng)對于I型或高于I型系統(tǒng)

2/4/2023105（2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

對于0型系統(tǒng)對于I型系統(tǒng)對于II型或高于II型的系統(tǒng)2/4/2023106在單位斜坡輸入時，穩(wěn)態(tài)誤差對于0型系統(tǒng)對于I型系統(tǒng)對于II型系統(tǒng)或高于II型2/4/2023107由上可知，單位斜坡輸入時，

0型系統(tǒng)不能跟蹤輸入，因為其誤差為；

I型系統(tǒng)能夠跟蹤斜坡輸入，但是有一定的誤差；

II型或高于II型的系統(tǒng)能夠跟蹤斜坡輸入，因為其穩(wěn)態(tài)誤差為0。對于0型系統(tǒng)對于I型系統(tǒng)對于II型系統(tǒng)或高于II型在單位斜坡輸入時2/4/2023108（3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka

對于0型系統(tǒng)

對于I型系統(tǒng)

對于II型系統(tǒng)對于III型或高于III型的系統(tǒng)

2/4/2023109在單位加速度輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差為：對于0型系統(tǒng)對于I型系統(tǒng)對于II型系統(tǒng)對于III型或高于III型的系統(tǒng)2/4/2023110由上可知，

0型和I型系統(tǒng)都不能跟蹤單位加速度輸入，因為其誤差為；

II型系統(tǒng)能夠跟蹤單位加速度輸入，但是有誤差；

III型及以上系統(tǒng)能夠跟蹤單位加速度輸入，因為其穩(wěn)態(tài)誤差為0。對于0型系統(tǒng)對于I型系統(tǒng)對于II型系統(tǒng)對于III型或高于III型的系統(tǒng)在單位加速度輸入下2/4/2023111

1.位置誤差、速度誤差、加速度誤差分別指輸入是階躍、斜坡、加速度輸入時所引起的輸出位置上的