2023年高考數學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱中，點是平面內一點，則三棱錐的正視圖與側視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則A． B．C． D．3．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．4．設函數（，為自然對數的底數）,定義在上的函數滿足，且當時，．若存在，且為函數的一個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知橢圓的短軸長為2，焦距為分別是橢圓的左、右焦點，若點為上的任意一點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．復數，是虛數單位，則下列結論正確的是A． B．的共軛復數為C．的實部與虛部之和為1 D．在復平面內的對應點位于第一象限7．已知點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．已知函數，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．09．如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．10．設，則A． B． C． D．11．已知集合，，則（）A． B．C． D．12．在直角坐標系中，已知A（1，0），B（4，0），若直線x+my﹣1=0上存在點P，使得|PA|=2|PB|，則正實數m的最小值是()A． B．3 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的定義域為_____________.14．已知向量，，且，則實數m的值是________．15．某中學高一年級有學生1200人，高二年級有學生900人，高三年級有學生1500人，現按年級用分層抽樣的方法從這三個年級的學生中抽取一個容量為720的樣本進行某項研究，則應從高三年級學生中抽取_____人．16．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某生物硏究小組準備探究某地區蜻蜓的翼長分布規律，據統計該地區蜻蜓有兩種，且這兩種的個體數量大致相等，記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長（單位：）分別為隨機變量，其中服從正態分布，服從正態分布.（Ⅰ）從該地區的蜻蜓中隨機捕捉一只，求這只蜻蜓的翼長在區間的概率；（Ⅱ）記該地區蜻蜓的翼長為隨機變量，若用正態分布來近似描述的分布，請你根據（Ⅰ）中的結果，求參數和的值（精確到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從該地區的蜻蜓中隨機捕捉3只，記這3只中翼長在區間的個數為，求的分布列及數學期望（分布列寫出計算表達式即可）.注:若，則，，.18．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓C的標準方程；（2）點P是橢圓上異于短軸端點A，B的任意一點，過點P作軸于Q，線段PQ的中點為M.直線AM與直線交于點N，D為線段BN的中點，設O為坐標原點，試判斷以OD為直徑的圓與點M的位置關系.19．（12分）已知六面體如圖所示，平面，，，，，，是棱上的點，且滿足.（1）求證：直線平面；（2）求二面角的正弦值.20．（12分）在平面直角坐標系中,已知橢圓：（）的左、右焦點分別為、,且點、與橢圓的上頂點構成邊長為2的等邊三角形．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓相切于點,且分別與直線和直線相交于點、．試判斷是否為定值,并說明理由．21．（12分）已知函數.（1）若在上是減函數，求實數的最大值；（2）若，求證：.22．（10分）已知函數，且．（1）若，求的最小值，并求此時的值；（2）若，求證:．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據幾何體分析正視圖和側視圖的形狀，結合題干中的數據可計算出結果.【詳解】由三視圖的性質和定義知，三棱錐的正視圖與側視圖都是底邊長為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側視圖的面積之和為，故選：A.【點睛】本題考查幾何體正視圖和側視圖的面積和，解答的關鍵就是分析出正視圖和側視圖的形狀，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎題.2、A【解析】∵集合∴∵集合∴，故選A3、A【解析】

設為、的夾角，根據題意求得，然后建立平面直角坐標系，設，，，根據平面向量數量積的坐標運算得出點的軌跡方程，將和轉化為圓上的點到定點距離，利用數形結合思想可得出結果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標系，設，，，由，可得，即，化簡得點的軌跡方程為，則，則轉化為圓上的點與點的距離，，，，轉化為圓上的點與點的距離，，.故選：A.【點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關鍵，考查化歸與轉化思想與數形結合思想的應用，屬于中等題.4、D【解析】

先構造函數，由題意判斷出函數的奇偶性，再對函數求導，判斷其單調性，進而可求出結果.【詳解】構造函數，因為，所以，所以為奇函數，當時，，所以在上單調遞減，所以在R上單調遞減.因為存在，所以，所以，化簡得，所以，即令，因為為函數的一個零點，所以在時有一個零點因為當時，，所以函數在時單調遞減，由選項知，，又因為，所以要使在時有一個零點，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點睛】本題主要考查函數與方程的綜合問題，難度較大.5、D【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到，利用二次函數的性質可求，從而可得的取值范圍.【詳解】由題設有，故，故橢圓，因為點為上的任意一點，故.又，因為，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質，一般地，如果橢圓的左、右焦點分別是，點為上的任意一點，則有，我們常用這個性質來考慮與焦點三角形有關的問題，本題屬于基礎題.6、D【解析】

利用復數的四則運算，求得，在根據復數的模，復數與共軛復數的概念等即可得到結論．【詳解】由題意，則，的共軛復數為，復數的實部與虛部之和為，在復平面內對應點位于第一象限，故選D．【點睛】復數代數形式的加減乘除運算的法則是進行復數運算的理論依據,加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數化，其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為．7、C【解析】

將點A坐標代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實軸長和虛軸長，進而求得離心率.【詳解】將,代入方程得，而雙曲線的半實軸，所以，得離心率,故選C.【點睛】此題考查雙曲線的標準方程和離心率的概念，屬于基礎題.8、D【解析】分析：因為題設中給出了的值，要求的值，故應考慮兩者之間滿足的關系.詳解：由題設有，故有，所以，從而，故選D.點睛：本題考查函數的表示方法，解題時注意根據問題的條件和求解的結論之間的關系去尋找函數的解析式要滿足的關系.9、A【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．再由球與圓柱體積公式求解．【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．則幾何體的體積為．故選：．【點睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．10、C【解析】分析：利用復數的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數，化簡復數，然后求解復數的模.詳解：，則，故選c.點睛：復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.11、C【解析】

求出集合，計算出和，即可得出結論.【詳解】，，，.故選：C.【點睛】本題考查交集和并集的計算，考查計算能力，屬于基礎題.12、D【解析】

設點，由，得關于的方程.由題意，該方程有解，則，求出正實數m的取值范圍，即求正實數m的最小值.【詳解】由題意，設點.，即，整理得，則，解得或..故選：.【點睛】本題考查直線與方程，考查平面內兩點間距離公式，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可得，，解不等式可求．【詳解】解：由題意可得，，解可得，，故答案為．【點睛】本題主要考查了函數的定義域的求解，屬于基礎題．14、1【解析】

根據即可得出，從而求出m的值．【詳解】解：∵；∴；∴m＝1．故答案為：1．【點睛】本題考查向量垂直的充要條件，向量數量積的坐標運算．15、1．【解析】

先求得高三學生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學生占的比例為，所以應從高三年級學生中抽取的人數為.【點睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.16、【解析】

先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖，再利用球的直徑是長方體體對角線即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，如圖所示長方體對角線長為，所以三棱錐外接球半徑為，故所求外接球的表面積.故答案為：.【點睛】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積，考查學生空間想象能力以及基本計算能力，是一道基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的，所以，代入數值運算即可；（Ⅱ）可判斷均值應為，再結合（1）和題干備注信息可得，進而求解；（Ⅲ）求得，該分布符合二項分布，故，列出分布列，計算出對應概率，結合即可求解；【詳解】（Ⅰ）記這只蜻蜓的翼長為.因為種蜻蜓和種蜻蜓的個體數量大致相等，所以這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的.所以.（Ⅱ）由于兩種蜻蜓的個體數量相等，的方差也相等，根據正態曲線的對稱性，可知由（Ⅰ）可知，得.（Ⅲ）設蜻蜓的翼長為，則.由題有，所以.因此的分布列為.【點睛】本題考查正態分布基本量的求解，二項分布求解離散型隨機變量分布列和期望，屬于中檔題18、（1）（2）點在以為直徑的圓上【解析】

（1）根據題意列出關于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的標準方程；（2）設點，，則，，求出直線的方程，進而求出點的坐標，再利用中點坐標公式得到點的坐標，下面結合點在橢圓上證出，所以點在以為直徑的圓上．【詳解】（1）由題意可知，，解得，橢圓的標準方程為：.（2）設點，，則，，直線的斜率為，直線的方程為：，令得，，點的坐標為，，點的坐標為，，，，又點，在橢圓上，，，，點在以為直徑的圓上．【點睛】本題主要考查了橢圓方程，考查了中點坐標公式，以及平面向量的基本知識，屬于中檔題．19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）連接，設，連接.通過證明，證得直線平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的正弦值.【詳解】（1）連接，設，連接，因為，所以，所以，在中，因為，所以，且平面，故平面.（2）因為，，，，，所以，因為，平面，所以平面，所以，，取所在直線為軸，取所在直線為軸，取所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知可得，，，，所以，因為，所以，所以點的坐標為，所以，，設為平面的法向量，則，令，解得，，所以，即為平面的一個法向量.，同理可求得平面的一個法向量為所以所以二面角的正弦值為【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）（2）為定值．【解析】

（1）根據題意,得出,從而得出橢圓的標準方程．（2）根據題意設直線方程：,因為直線與橢圓相切,這有一個交點,聯立直線與橢圓方程得,則,解得①把和代入,得和,,的表達式,比即可得出為定值．【詳解】解：（1）依題意,,,．所以橢圓的標準方程為．（2）為定值.①因為直線分別與直線和直線相交,所以,直線一定存在斜率．②設直線：,由得,由,得．①把代入,得,把代入,得,又因為,所以,,②由①式,得,③把③式代入②式,得,,即為定值．【點睛】本題考查橢圓的定義、方程、和性質,主要考查橢圓方程的運用,考查橢圓的定值問題,考查計算能力和轉化思想,是中檔題.21、（1）（2）詳見解析【解析】

（1），在上，因為是減函數，所以恒成立，即恒成立，只需.令，，則，因為，所以.所以在上是增函數，所以，所以，解得.所以實數的最大值為.（2），.令，則，根據題意知，所以在上是增函數.又因為，當從正方向趨近于0時，趨近于，趨近于1，所以，所以存在，使，即，，所以對任意，，即，所以在上是減