Chapter6DeflectionofBeams第六章彎曲變形第六章彎曲變形

(DeflectionofBeams)

§6-1基本概念及工程實例（Basicconceptsandexampleproblems)

§6-4

用疊加法求彎曲變形

(Beamdeflectionsbysuperposition)§6-3

用積分法求彎曲變形（Beamdeflectionbyintegration)§6-2

撓曲線的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)§6-5靜不定梁的解法(Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams)§6-6

提高彎曲剛度的措施(Themeasurestostrengthenrigidity)

§6-1基本概念及工程實例（Basicconceptsandexampleproblems）一、工程實例（Exampleproblem）但在另外一些情況下,有時卻要求構件具有較大的彈性變形,以滿足特定的工作需要.例如,車輛上的板彈簧,要求有足夠大的變形,以緩解車輛受到的沖擊和振動作用.1.撓度（Deflection）二、基本概念（Basicconcepts）w撓度C'CABwx橫截面形心C（即軸線上的點）在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度.用w表示.2.轉角

（Slope）轉角AC'CwB

xw撓度（橫截面對其原來位置的角位移,稱為該截面的轉角.用表示3.撓曲線

（Deflectioncurve）梁變形后的軸線稱為撓曲線.式中,x為梁變形前軸線上任一點的橫坐標,w為該點的撓度.撓曲線wAB

x轉角w撓度（C'C撓曲線方程（equationofdeflectioncurve）為4.撓度與轉角的關系（Relationshipbetween

deflectionandslope）：wABx轉角w撓度C'C撓曲線5.撓度和轉角符號的規定（Signconventionfordeflectionandslope）撓度向上為正,向下為負.轉角自x轉至切線方向,逆時針轉為正,順時針轉為負.

wABx轉角w撓度C'C撓曲線§6-2撓曲線的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)一、推導公式（Derivationoftheformula)1.純彎曲時曲率與彎矩的關系（Relationshipbetweenthecurvatureofbeamandthebendingmoment）橫力彎曲時,M和都是x的函數.略去剪力對梁的位移的影響,則2.由數學得到平面曲線的曲率（Thecurvaturefromthemathematics）在規定的坐標系中,x軸水平向右為正,w軸豎直向上為正.曲線向上凸時:OxwxOw因此,與的正負號相同曲線向下凸時:此式稱為

梁的撓曲線近似微分方程（differentialequationofthedeflectioncurve）(6.5)近似原因:（1）略去了剪力的影響;（2）略去了

項;（3）與1相比十分微小而可以忽略不計,故上式可近似為

§6-3用積分法求彎曲變形（Beamdeflectionbyintegration)一、微分方程的積分

（Integratingthedifferentialequation)若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量上式可改寫成2.再積分一次,得撓度方程（Integratingagaingivestheequationforthedeflection）二、積分常數的確定（Evaluatingtheconstantsofintegration）1.邊界條件（Boundaryconditions）

2.連續條件（Continueconditions）

1.積分一次得轉角方程（Thefirstintegrationgivestheequationfortheslope）AB在簡支梁中,左右兩鉸支座處的撓度和都等于0.在懸臂梁中,固定端處的撓度和轉角都應等于0.ABABxFw例題1圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用.試求梁的撓曲線方程和轉角方程,并確定其最大撓度和最大轉角（1）彎矩方程為解：（2）撓曲線的近似微分方程為xwABxF對撓曲線近似微分方程進行積分梁的轉角方程和撓曲線方程分別為邊界條件將邊界條件代入（3）（4）兩式中,可得BxyAF（）都發生在自由端截面處和（）例題2圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用.試求此梁的撓曲線方程和轉角方程,并確定其和ABql解:由對稱性可知,梁的兩個支反力為ABqlFRAFRBx此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為梁的轉角方程和撓曲線方程分別為邊界條件x=0和x=l時,

xABqlFRAFRBAB在x=0和x=l處轉角的絕對值相等且都是最大值，最大轉角和最大撓度分別為wmax在梁跨中點處有最大撓度值例題3圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在D點處受一集中力F的作用.試求此梁的撓曲線方程和轉角方程,并求其最大撓度和最大轉角.ABFDabl解:梁的兩個支反力為FRAFRBABFDabl12xx兩段梁的彎矩方程分別為兩段梁的撓曲線方程分別為（a）（0x

a）撓曲線方程轉角方程撓度方程撓曲線方程轉角方程撓度方程（b）（a

x

l）D點的連續條件邊界條件在x=a處在x=0處,在x=l處,代入方程可解得:ABFDab12FRAFRB（a）（0x

a）（b）（a

x

l）將x=0和x=l分別代入轉角方程左右兩支座處截面的轉角當a>b時,右支座處截面的轉角絕對值為最大簡支梁的最大撓度應在處先研究第一段梁,令得當a>b時,x1<a

最大撓度確實在第一段梁中梁中點C處的撓度為結論:在簡支梁中,不論它受什么荷載作用,只要撓曲線上無拐點,其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替,其精確度是能滿足工程要求的.（a）對各段梁,都是由坐標原點到所研究截面之間的梁段上的外力來寫彎矩方程的.所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁的彎矩方程.只增加了(x-a)的項.（b）對(x-a)的項作積分時,應該將(x-a)項作為積分變量.從而簡化了確定積分常數的工作.積分法的原則

§6–4用疊加法求彎曲變形

（Beamdeflectionsbysuperposition）

梁的變形微小,且梁在線彈性范圍內工作時,梁在幾項荷載(可以是集中力,集中力偶或分布力)同時作用下的撓度和轉角,就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉角的疊加.當每一項荷載所引起的撓度為同一方向(如均沿w軸方向),其轉角是在同一平面內(如均在xy平面內)時,則疊加就是代數和.這就是疊加原理.一、疊加原理

（Superposition）

1.載荷疊加（Superpositionofloads）多個載荷同時作用于結構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形的代數和.2.結構形式疊加（逐段剛化法）按疊加原理求A點轉角和C點撓度.解:（a）載荷分解如圖（b）由梁的簡單載荷變形表,查簡單載荷引起的變形.BqFACaaF=AB+ABq

（c）疊加qFF=+AAABBBCaaq例題4一抗彎剛度為EI的簡支梁受荷載如圖所示.試按疊加原理求梁跨中點的撓度wC和支座處橫截面的轉角A

,B。ABCqMel解:將梁上荷載分為兩項簡單的荷載,如圖所示ABCqMe(a)lBAMe(c)lAq(b)BlCC()()()例題5試利用疊加法,求圖所示抗彎剛度為EI的簡支梁跨中點的撓度wC

和兩端截面的轉角A

,B

.ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2解:可視為正對稱荷載與反對稱荷載兩種情況的疊加.（1）正對稱荷載作用下ABCq/2CABq/2q/2（2）反對稱荷載作用下在跨中C截面處,撓度wC等于零,但轉角不等于零且該截面的彎矩也等于零可將AC段和BC段分別視為受均布線荷載作用且長度為l

/2的簡支梁CABq/2q/2可得到：Bq/2ACq/2將相應的位移進行疊加,即得()()()例題6一抗彎剛度為EI的外伸梁受荷載如圖所示,試按疊加原理并利用附表,求截面B的轉角B以及A端和BC中點D的撓度wA

和wD.ABCDaa2a2qq解:將外伸梁沿B截面截成兩段,將AB段看成B端固定的懸臂梁,BC段看成簡支梁.ABCDaa2a2qqBCDq2qa2qAB2qaB截面兩側的相互作用為：簡支梁BC的受力情況與外伸梁AC的BC段的受力情況相同由簡支梁BC求得的B,wD就是外伸梁AC的B,wD2qaBCDqqBCDBCD簡支梁BC的變形就是MB和均布荷載q分別引起變形的疊加.由疊加原理得:DBC2qaBCDqDBC（1）求B

,wD（2）求wA由于簡支梁上B截面的轉動,帶動AB段一起作剛體運動,使A端產生撓度w1

懸臂梁AB本身的彎曲變形,使A端產生撓度w2A2qB2qaAC2qaBDq因此,A端的總撓度應為由表6-1查得二、剛度條件（Stiffnesscondition）1.數學表達式（Mathematicalformula）2.剛度條件的應用（Applicationofstiffnesscondition）（1）校核剛度（Checkthestiffnessofthebeam）（2）設計截面尺寸（Determinetheallowableloadonthebeam）（3）求許可載荷

（Determinetherequireddimensionsofthebeam）是構件的許可撓度和轉角.和例7下圖為一空心圓桿,內外徑分別為:d=40mm,D=80mm,桿的E=210GPa,工程規定C點的[w/L]=0.00001,B點的[]=0.001弧度,試核此桿的剛度.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB解:（1）結構變換,查表求簡單載荷變形.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNB+F2BC圖2圖3+F2BCDAM=圖1F1=1kNDC（2）疊加求復雜載荷下的變形F2=2kN=++圖1圖2l=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC圖3F2BDAMACCF2（3）校核剛度:（rad）一、基本概念（Basicconcepts）

1.超靜定梁（staticallyindeterminatebeams）§6-5靜不定梁的解法（Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams）單憑靜力平衡方程不能求出全部支反力的梁,稱為超靜定梁FABABCFFRAFRBFRC2.“多余”約束（Redundantconstraint）多于維持其靜力平衡所必需的約束3.“多余”反力（Redundantreaction）“多余”與相應的支座反力FRBABCFFABFRAFRC4.超靜定次數（Degreeof

staticallyindeterminateproblem）超靜定梁的“多余”約束的數目就等于其超靜定次數.n=未知力的個數-獨立平衡方程的數目二、求解超靜定梁的步驟

(procedureforsolvingastaticallyindeterminate)1.畫靜定基建立相當系統：

將可動絞鏈支座作看多余約束,解除多余約束代之以約束反力RB.得到原超靜定梁的基本靜定系.2.列幾何方程——變形協調方程超靜定梁在多余約束處的約束條件,梁的變形協調條件ABqqABFRB根據變形協調條件得變形幾何方程:變形幾何方程為

3.列物理方程—變形與力的關系

查表得qAB將力與變形的關系代入變形幾何方程得補充方程4.建立補充方程BAFRBqABFRB補充方程為由該式解得5.求解其它問題（反力,應力,變形等）qABFRBFRAMA求出該梁固定端的兩個支反力qABBAFRB代以與其相應的多余反力偶MA

得基本靜定系.變形相容條件為請同學們自行完成！方法二取支座A處阻止梁轉動的約束為多余約束.ABqlABqlMA例題8

梁AC如圖所示,梁的A端用一鋼桿AD與梁AC鉸接,在梁受荷載作用前,桿AD內沒有內力,已知梁和桿用同樣的鋼材制成,材料的彈性模量為E,鋼梁橫截面的慣性矩為I,拉桿橫截面的面積為A,其余尺寸見圖,試求鋼桿AD內的拉力FN.a2aABCq2qDlCADBq2qAFNFNA點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結于A點.即解:這是一次超靜定問題.將AD桿與梁AC之間的連結絞看作多余約束.拉力FN為多余反力.基本靜定系如圖ADBCq2qFNFNA1變形幾何方程為根據疊加法A端的撓度為BCq2qFNBCq2q在例題中已求得可算出:CFNB拉桿AD的伸長為:補充方程為:由此解得:ADBCq2qFNFN例題9求圖示梁的支反力,并繪梁的剪力圖和彎矩圖.已知EI=5103kN·m3.4m3m2mABDC30kN20kN/m解:這是一次超靜定問題取支座B截面上的相對轉動約束為多余約束.基本靜定系為在B支座截面上安置鉸的靜定梁,如圖所示.4m3m2mABDC