2023—2024學(xué)年高一（下）第三次月考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第六章至第九章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．樣本數(shù)據(jù)12，11，7，15，9，10，12，8的中位數(shù)是（）A．12 B．11 C．10 D．10.52．為了提升學(xué)生的文學(xué)素養(yǎng)，某校將2024年5月定為讀書(shū)月，要求每個(gè)學(xué)生都只選擇《平凡的世界》與《麥田里的守望者》中的一本．已知該校高一年級(jí)學(xué)生選擇《平凡的世界》的人數(shù)為450，選擇《麥田里的守望者》的人數(shù)為550．現(xiàn)采用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法，從高一學(xué)生中抽取20名學(xué)生進(jìn)行閱讀分享，則被抽到的這20名學(xué)生中選擇了《平凡的世界》的人數(shù)為（）A．9 B．10 C．11 D．123．已知在R軟件的控制臺(tái)中，輸入“sample（1：20，4，replace＝F）”，按回車(chē)鍵，得到的4個(gè)1～20范圍內(nèi)的不重復(fù)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)為12，6，10，4，則這4個(gè)整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A． B． C．40 D．104．如圖所示，，，則（）A． B．C． D．5．一個(gè)樣本容量為600的頻數(shù)分布表不小心被損壞了一部分．若樣本中數(shù)據(jù)在內(nèi)的頻率為0.75，則樣本中數(shù)據(jù)在內(nèi)的個(gè)數(shù)為（）A．225 B．295 C．235 D．3056．已知樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為14，樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，若樣本數(shù)據(jù)，，…，，，，…，的平均數(shù)為，則（）A．12 B．10 C．2 D．117．已知，且，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．8．是內(nèi)一點(diǎn)，，，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若，則下列結(jié)論正確的是（）A．若為實(shí)數(shù)，則B．若，則C．若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則D．若，則10．已知某省2023年各地市地區(qū)生產(chǎn)總值的占比如圖所示，則根據(jù)圖中關(guān)于該省2023年各地市地區(qū)生產(chǎn)總值占比的統(tǒng)計(jì)情況，下列結(jié)論正確的是（）A．A市2023年地區(qū)生產(chǎn)總值比B市2023年地區(qū)生產(chǎn)總值多B．圖中11個(gè)地市2023年地區(qū)生產(chǎn)總值占比的40%分位數(shù)為5.92%C．圖中11個(gè)地市2023年地區(qū)生產(chǎn)總值占比的70%分位數(shù)為4.58%D．若該省2024年各地市地區(qū)生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)率相等，則該省2024年各地市地區(qū)生產(chǎn)總值的占比不變11．刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫(huà)空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正方體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)的曲率為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（）A．直線平面B．在三棱柱中，點(diǎn)的曲率為C．在四面體中，點(diǎn)的曲率小于D．二面角的大小為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)________．13．已知向量，，．若，則_________；若，則向量與的夾角為_(kāi)________．14．為促進(jìn)學(xué)生德、智、體、美、勞全面發(fā)展，河北廊坊市某校開(kāi)發(fā)出文化藝術(shù)課程、科技課程、體育課程等多類(lèi)課程．為了解該校各班參加科技課程的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，設(shè)這5個(gè)班級(jí)參加科技課程的人數(shù)分別為，，，，（，，，，，）．已知這5個(gè)班級(jí)參加科技課程的人數(shù)的平均數(shù)為9，方差為4，則_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知第10～19屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)如下圖所示．（1）求第10～19屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的極差；（2）剔除第12屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)數(shù)據(jù)，求剩余9屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的平均數(shù)；（3）設(shè)第10～12屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的方差為，第13～15屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的方差為，不通過(guò)計(jì)算，試比較與的大小，并說(shuō)明理由．16．（15分）在中，．（1）求角的大小；（2）若在邊上，，且，，求的面積．17．（15分）已知某高速服務(wù)區(qū)餐廳的窗口有四類(lèi)：①自選快餐，平均每份取餐時(shí)長(zhǎng)為1分鐘；②商務(wù)套餐，平均每份取餐時(shí)長(zhǎng)為0.5分鐘；③現(xiàn)炒現(xiàn)做，平均每份取餐時(shí)長(zhǎng)為5分鐘；④自動(dòng)售貨機(jī)，平均每份取餐時(shí)長(zhǎng)為1分鐘．已知該高速服務(wù)區(qū)餐廳的取餐窗口（每臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)按1個(gè)取餐窗口計(jì)算）一共有18個(gè)，就餐高峰期時(shí)有400名消費(fèi)者在等待就餐．為了提高消費(fèi)者的用餐滿意度，該高速服務(wù)區(qū)工作人員選取了100名用餐的消費(fèi)者進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，其中有50人選擇了自選快餐，30人選擇了商務(wù)套餐，15人選擇了現(xiàn)炒現(xiàn)做，5人選擇了自動(dòng)售貨機(jī)．（注：為了方便計(jì)算，若某消費(fèi)者選擇兩類(lèi)或多類(lèi)就餐類(lèi)別，則按該消費(fèi)者的主要就餐類(lèi)別歸類(lèi)，每名消費(fèi)者只統(tǒng)計(jì)為其中一類(lèi)）．（1）根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計(jì)，用樣本估計(jì)總體，如果設(shè)置10個(gè)自選快餐窗口，就餐高峰期時(shí)，假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇較短的隊(duì)伍等待（即各類(lèi)取餐的窗口前隊(duì)伍長(zhǎng)度各自相等），試問(wèn)選擇自選快餐的消費(fèi)者最長(zhǎng)等待時(shí)長(zhǎng)是多少分鐘？（2）根據(jù)以上的調(diào)查數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，用樣本估計(jì)總體，從等待時(shí)長(zhǎng)和公平的角度上考慮，要求每個(gè)隊(duì)伍的最長(zhǎng)等待時(shí)長(zhǎng)大致相等，應(yīng)如何設(shè)置各類(lèi)取餐窗口數(shù)（結(jié)果采用四舍五入法保留整數(shù)）？并說(shuō)明理由．18．（17分）已知某工廠一區(qū)生產(chǎn)車(chē)間與二區(qū)生產(chǎn)車(chē)間均生產(chǎn)某種型號(hào)的零件，這兩個(gè)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)的該種型號(hào)的零件尺寸的頻率分布直方圖如圖所示（每組區(qū)間均為左開(kāi)右閉）．尺寸大于的零件用于大型機(jī)器中，尺寸小于或等于的零件用于小型機(jī)器中．（1）若，試分別估計(jì)該工廠一區(qū)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)的500個(gè)該種型號(hào)的零件和二區(qū)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)的500個(gè)該種型號(hào)的零件用于大型機(jī)器中的零件個(gè)數(shù)．（2）若，現(xiàn)有足夠多的來(lái)自一區(qū)生產(chǎn)車(chē)間與二區(qū)生產(chǎn)車(chē)間的零件，分別用于大型機(jī)器、小型機(jī)器各5000臺(tái)的生產(chǎn)，每臺(tái)機(jī)器僅使用一個(gè)該種型號(hào)的零件．方案一：直接將一區(qū)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)的零件用于大型機(jī)器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型機(jī)器每臺(tái)會(huì)使得工廠損失200元；直接將二區(qū)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)的零件用于小型機(jī)器中，其中用了尺寸大于的零件的小型機(jī)器每臺(tái)會(huì)使得工廠損失100元．方案二：重新測(cè)量一區(qū)生產(chǎn)車(chē)間與二區(qū)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)的零件尺寸，并正確匹配型號(hào)，重新測(cè)量的總費(fèi)用為35萬(wàn)元．請(qǐng)寫(xiě)出采用方案一，工廠損失費(fèi)用的估計(jì)值（單位：萬(wàn)元）的表達(dá)式，并從工廠損失的角度考慮，選擇合理的方案．19．（17分）如圖，在四棱臺(tái)中，平面，底面為平行四邊形，，且，，分別為線段，，的中點(diǎn)．（1）證明：．（2）證明：平面平面．（3）若，，，當(dāng)與平面所成的角最大時(shí)，求四棱臺(tái)的體積．2023—2024學(xué)年高一（下）第三次月考數(shù)學(xué)參考答案1．D將數(shù)據(jù)從小到大排列：7，8，9，10，11，12，12，15．故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．2．A依題意，被抽到的這20名學(xué)生中選擇了《平凡的世界》的人數(shù)為．3．B這4個(gè)整數(shù)的平均數(shù)為，則這4個(gè)整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為．4．C．5．C因?yàn)閿?shù)據(jù)在內(nèi)的頻率為0.75，所以數(shù)據(jù)在內(nèi)的頻數(shù)為，故樣本中數(shù)據(jù)在內(nèi)的個(gè)數(shù)為．6．B根據(jù)題意可得，解得．7．A如圖，依題意可得點(diǎn)為的外心．因?yàn)椋裕裕瑒t四邊形為菱形．設(shè)，則．因?yàn)椋栽谏系耐队跋蛄繛椋?．D設(shè)，因?yàn)椋裕烧叶ɡ砜傻茫瑒t，則，解得．9．AD若為實(shí)數(shù)，則，A正確．若，則，則解得，B錯(cuò)誤．若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則解得，C錯(cuò)誤．若，則，解得，，則，D正確．10．ABD由圖中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得A市2023年地區(qū)生產(chǎn)總值比B市2023年地區(qū)生產(chǎn)總值多，A正確．因?yàn)椋詧D中11個(gè)地市2023年地區(qū)生產(chǎn)總值占比的分位數(shù)為，B正確．因?yàn)椋詧D中11個(gè)地市2023年地區(qū)生產(chǎn)總值占比的分位數(shù)為，C錯(cuò)誤．若該省2024年各地市地區(qū)生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)率相等，則該省2024年各地市地區(qū)生產(chǎn)總值的占比不變，D正確．11．ABD取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)椋謩e為，，的中點(diǎn)，所以可證平面平面，因?yàn)槠矫妫灾本€平面，A正確．在直三棱柱中，平面，則，，所以點(diǎn)的曲率為，解得，因?yàn)椋裕渣c(diǎn)的曲率為，B正確．連接，易證平面，則，所以，又，所以，在四面體中，點(diǎn)的曲率為，C錯(cuò)誤．過(guò)作的延長(zhǎng)線，垂足為，連接，則，則為二面角的平面角，通過(guò)計(jì)算得，則，所以，D正確．12．2因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的虛部為2．13．3；若，則，得．若，則，即，解得，則，．設(shè)向量與的夾角為，則，因?yàn)椋裕?4．0依題意得，，化簡(jiǎn)得，．易知，，得．又因?yàn)椋裕@5個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)4．當(dāng)時(shí)，，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，由，，，，，，得這四個(gè)平方數(shù)只能為0，1，1，9，則，，，，符合題意，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，無(wú)解．綜上，．15．解：（1）第10～19屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的極差為．（2）剩余9屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的平均數(shù)為．（3）．理由如下：因?yàn)榈?0～12屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的波動(dòng)性比第13～15屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的波動(dòng)性大，所以．16．解：（1）由題意得，即，由正弦定理得，由余弦定理得．因?yàn)椋裕?）因?yàn)椋裕谥校烧叶ɡ淼茫獾茫瑒t或（舍去），得，則．故．17．解：（1）由題意得，就餐高峰期時(shí)選擇自選快餐的總?cè)藬?shù)為，這200人平均分布在10個(gè)自選快餐窗口，平均每個(gè)窗口等待取餐的人數(shù)為，所以選擇自選快餐的消費(fèi)者的最長(zhǎng)等待時(shí)長(zhǎng)為分鐘．（2）設(shè)自選快餐窗口個(gè)，商務(wù)套餐窗口個(gè)，現(xiàn)炒現(xiàn)做窗口個(gè)，自售貨機(jī)臺(tái)．自選快餐高峰期就餐總?cè)藬?shù)為，每個(gè)窗口等待人數(shù)為，最長(zhǎng)等待時(shí)長(zhǎng)為分鐘；商務(wù)套餐高峰期就餐總?cè)藬?shù)為，每個(gè)窗口等待人數(shù)為，最長(zhǎng)等待時(shí)長(zhǎng)為分鐘；現(xiàn)炒現(xiàn)做高峰期就餐總?cè)藬?shù)為，每個(gè)窗口等待人數(shù)為，最長(zhǎng)等待時(shí)長(zhǎng)為分鐘；自動(dòng)售貨機(jī)高峰期就餐總?cè)藬?shù)為，每臺(tái)售貨機(jī)等待人數(shù)為，最長(zhǎng)等待時(shí)長(zhǎng)為分鐘．依題意，從等待時(shí)長(zhǎng)和公平的角度上考慮，要求每個(gè)隊(duì)伍的最長(zhǎng)等待時(shí)長(zhǎng)大致相等，則可得，即有．因?yàn)椋裕蕬?yīng)設(shè)置自選快餐、商務(wù)套餐、現(xiàn)炒現(xiàn)做的取餐窗口分別為6個(gè)，2個(gè)，9個(gè)，自動(dòng)售貨機(jī)1臺(tái)．18．解：（1）一區(qū)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)的零件尺寸大于60的頻率為，則該工廠一區(qū)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)的500個(gè)該種型號(hào)的零件用于大型機(jī)器中的零件個(gè)數(shù)為；二區(qū)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)的零件尺寸大于60的頻率為，則該工廠二區(qū)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)的500個(gè)該種型號(hào)的零件用于大型機(jī)器中的零件個(gè)數(shù)為．（2）一區(qū)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)的零件尺寸小于或等于的頻率為．二區(qū)生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)的零件尺寸大于的頻率為．故．因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椴捎梅桨付匦聹y(cè)量的總費(fèi)用為35萬(wàn)元，所以從工廠損失的角度考慮，應(yīng)選擇方案