2021-2022學年湖南省益陽市廖家中學高三數學文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，，AB=2,AC＝1，E,F為BC的三等分點，則＝A、B、C、D、參考答案：B由知，以所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則，于是，據此，，故選B2.在中，，若點為的內心，則的值為(

)

A．2

B．

C．3

D．參考答案：D3.已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要條件，則實數k的取值范圍是(

)A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】求出不等式q的等價條件，根據充分條件和必要條件的定義即可得到結論．【解答】解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要條件，∴k＞2，故選：B．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用不等式之間的關系是解決本題的關鍵，比較基礎．4.定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”，若函數的“新駐點”分別為，則的大小關系為

A.

B.

C.

D.參考答案：A略5.已知曲線C：與直線L：，則C與L的公共點A.有2個

B.

最多1個

C.

至少1個

D.

不存在參考答案：C6.已知實數滿足不等式組，則函數的最大值為A．2 B．4 C．5 D．6參考答案：D作出可行域如下圖，當直線過點C時，最大，由得，所以的最大值為6．7.在△ABC中，a，b，c分別為∠A、∠B、∠C、的對邊，若向量和平行，且，當△ABC的面積為時，則b=(

)A． B．2 C．4 D．2+參考答案：B考點：向量在幾何中的應用．分析：利用向量共線的充要條件得a，b，c的關系，利用三角形的面積公式得到a，b，c的第二個關系，利用三角形的余弦定理得到第三個關系，解方程組求出b．解答：解：由向量和共線知a+c=2b①，由②，由c＞b＞a知角B為銳角，③，聯立①②③得b=2．故選項為B點評：本題考查向量共線的充要條件，三角形的面積公式及三角形中的余弦定理8.已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣與垂直，則||=（） A． B． C．2 D．4參考答案：C【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；平面向量數量積的坐標表示、模、夾角． 【專題】平面向量及應用． 【分析】根據向量的坐標運算先求出，然后根據向量垂直的條件列式求出x的值，最后運用求模公式求||． 【解答】解∵，， ∴2=（3，x），由?3×（﹣1）+x2=0，解得x=﹣，或x=， ∴或，∴||=，或||=． 故選C． 【點評】本題考查了運用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，若，，則?x1x2+y1y2=0． 9.已知函數為R上的奇函數，且在[0,+∞)上為增函數，從區間(-5，5)上任取一個數x，則使不等式成立的概率為(

)．A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用奇函數的性質，可以解出不等式的解集，然后利用幾何概型公式，進行求解.【詳解】因為函數為上的奇函數，所以，在上為增函數，由奇函數的性質可知，函數為上的增函數，所以，從區間(-5，5)上任取一個數，則使不等式成立的概率為，故本題選A.【點睛】本題考查了幾何概型、奇函數的性質.值得注意的是:當奇函數在時，沒有定義，如果在單調遞增，那么在整個定義域內，就不一定是增函數.10.以＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為(

)A．＝1

B．＝1

C．＝1

D．

＝1參考答案：答案：

A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知α是第一象限角，且sin（π﹣α）=，則tanα=．參考答案：【考點】GI：三角函數的化簡求值．【分析】利用同角三角函數的基本關系的應用，誘導公式，求得tanα的值．【解答】解：∵α是第一象限角，且sin（π﹣α）=sinα=，∴cosα==，則tanα==，故答案為：．【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系的應用，誘導公式的應用，屬于基礎題．12.已知正實數x，y滿足（x﹣1）（y+1）=16，則x+y的最小值為

．參考答案：8考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：變形利用基本不等式即可得出．解答： 解：∵正實數x，y滿足（x﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y==8，當且僅當y=3，（x=5）時取等號．∴x+y的最小值為8．故答案為：8．點評：本題考查了變形利用基本不等式的性質，屬于基礎題．13.已知三棱錐P-ABC中，PA=PB=2PC=2，是邊長為的正三角形，則三棱錐P-ABC的外接球半徑為_________.參考答案：由題意可得PC⊥平面ABC，以PC為一條側棱，△ABC為底面把三棱錐P-ABC補成一個直三棱柱，則該直三棱柱的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，且該直三棱柱上、下底面的外接圓圓心連線的中點就是球心，因為底面外接圓的半r=1，所以三棱錐P-ABC的外接球半徑.14.若f（x）是定義在R上的奇函數，且x＞0時，f（x）=x2，則x＜0時，f（x）=

，若對任意的x∈[t，t+2]，f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實數t的取值范圍是

．參考答案：﹣x2；[，+∞）【考點】函數恒成立問題．【分析】由當x＞0時，f（x）=x2，函數是奇函數，可得當x＜0時，f（x）=﹣x2，從而f（x）在R上是單調遞增函數，且滿足2f（x）=f（x），再根據不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=x2∴當x＜0，有﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）2，∴﹣f（x）=x2，即f（x）=﹣x2，∴f（x）=，∴f（x）在R上是單調遞增函數，且滿足2f（x）=f（x），f（x+t）≥2f（x）=f（x），又∵函數在定義域R上是增函數故問題等價于當x屬于[t，t+2]時x+t≥x恒成立?（﹣1）x﹣t≤0恒成立，令g（x）=（﹣1）x﹣t，g（x）max=g（t+2）≤0解得t≥．∴t的取值范圍t≥，故答案為：﹣x2；[，+∞）．15.（5分）已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F（1，0），過焦點F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，若直線l的傾斜角為45°，則弦AB的中點坐標為．參考答案：（3，2）【考點】：直線與圓錐曲線的關系．【專題】：圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】：根據題意確定出拋物線C解析式，以及直線l解析式，聯立兩解析式消去y得到關于x的一元二次方程，設A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達定理求出x1+x2=6，進而確定出弦AB中點橫坐標，即可確定出弦AB中點坐標．解：根據題意得：拋物線C解析式為y2=4x，∵過焦點F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，直線l的傾斜角為45°，∴直線l解析式為y=x﹣1，聯立得：，消去y得：（x﹣1）2=4x，即x2﹣6x+1=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1+x2=6，即弦AB中點橫坐標為3，把x=3代入y=x﹣1得：y=2，則弦AB中點坐標為（3，2），故答案為：（3，2）．【點評】：此題考查了直線與圓錐曲線的關系，韋達定理，線段中點坐標公式，確定出拋物線與直線解析式是解本題的關鍵．16.公差不為零的等差數列{an}中，a1＋a2＋a3＝9，且a1，a2，a5成等比數列，則數列{an}的公差為

參考答案：【知識點】等差數列的性質．D22

解析：由等差數列的性質知3a2＝9，所以a2＝3，又a＝(a2－d)(a2＋3d)，解得d＝2.故選B.【思路點撥】設出數列的公差，利用a1＋a2＋a3＝9，求得a1和d關系同時利用a1、a2、a3成等比數列求得a1和d的另一關系式，聯立求得d．17.若x，y滿足約束條件則的最小值為

．參考答案：畫出x，y滿足約束條件的可行域如圖：目標函數z=的幾何意義為動點P（x，y）到定點Q（﹣2，﹣1）的斜率，當P位于A（﹣1，1）時，此時QA的斜率最大，此時zmax==2，當P位于B（1，1）時，此時直線的斜率最小，目標函數z=的最小值是．故答案為：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列前項和.數列滿足，數列滿足。（1）求數列和數列的通項公式；

（2）求數列的前項和；（3）若對一切正整數恒成立，求實數的取值范圍。參考答案：（1）由已知和得，當時，

又，符合上式。故數列的通項公式。又∵，∴，故數列的通項公式為，

（2），

，，①-②得，∴。

（3）∵,∴,

當時，；當時，，∴。

若對一切正整數恒成立，則即可，

解得或19.(本小題滿分12分)已知f(x)為奇函數，且當x＜0時，f(x)＝x2＋3x＋2.若當x∈[1,3]時，f(x)的最大值為m，最小值為n，求m－n的值．

參考答案：略20.（本題滿分12分）復數，（其中，為虛數單位）.在復平面上，復數、能否表示同一個點，若能，指出該點表示的復數；若不能，說明理由．參考答案：設復數，能表示同一個點，則

……3分解得或，

………………7分當時，得，此時；

……………9分當時，得，此時；

……………11分綜上，復平面上該點表示的復數為或．

……………12分21.已知函數（1）若在是增函數，求的取值范圍；（2）已知，對于函數圖象上任意不同兩點,，其中，直線的斜率為，記，若求證：.參考答案：解：（1）由得，又當時，，所以（II），，，要證，只要證，即設，則，顯然令，考慮在上的單調性令

恒成立

則有

成立略22.（12分）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F1（﹣2，0），點B（2，）在橢圓C上，直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）在x軸上是否存在點P，使得無論非零實數k怎樣變化，總有∠MPN為直角？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．參考答案：【分析】（Ⅰ）由題意可設橢圓標準方程為+=1（a＞b＞0），結合已知及隱含條件列關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a2，b2的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經過定點（±2，0），即可判斷存在點P．【解答】解：（Ⅰ）由題意可設橢圓方程為+=1（a＞b＞0），則c=2，a2﹣b2=c2，+=1，解得：a2=8，b2=4．可得橢圓C的方程為+=1；（Ⅱ）如圖，設F（x0，y0），E（﹣x0