2021-2022學年湖南省婁底市新澤中學高三數學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一個幾何體的三視圖如圖所示，則其外接球的表面積是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.已知全集，集合,,則圖中的陰影部分表示的集合為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B3.設分程和方程的根分別為和，函數，則（

）A． B．C． D．參考答案：A4.設全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣1≥0}，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}參考答案：D【考點】1J：Venn圖表達集合的關系及運算．【分析】由陰影部分表示的集合為?U（A∪B），然后根據集合的運算即可．【解答】解：由圖象可知陰影部分對應的集合為?U（A∪B），由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），∵B={x|x≥1}，∴A∪B=（﹣1，+∞），則?U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，故選D．5.函數的圖象如圖所示，則的解析式可以為

（

）A．

B．C．

D．參考答案：C略6.（理）若的展開式中前三項的系數成等差數列，則展開式中x6項的系數為A.4

B．7

C．8

D．2參考答案：A7.已知M是拋物線上一點，F為其焦點，C為圓的圓心，則的最小值為（

）A.2 B.3 C.4 D.5參考答案：B【分析】設出拋物線的準線方程，問題求的最小值，結合拋物線的定義，就轉化為，在拋物線上找一點，使到點、到拋物線準線距離之和最小，利用平面幾何的知識可以求解出來．【詳解】解：設拋物線的準線方程為，為圓的圓心，所以的坐標為，過作的垂線，垂足為，根據拋物線的定義可知，所以問題求的最小值，就轉化為求的最小值，由平面幾何的知識可知，當，，在一條直線上時，此時，有最小值，最小值為，故選：B．【點睛】本題考查了拋物線的定義，以及動點到兩點定點距離之和最小問題．解決本題的關鍵是利用拋物線的定義把問題進行轉化，屬于中檔題．8.運行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為，則判斷框中應填入的條件是（）A．i＞4？ B．i＜4？ C．i＞5？ D．i＜5？參考答案：D【考點】程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算并輸出變量P的值，要確定進入循環的條件，可模擬程序的運行，對程序運行過程中各變量的值進行分析，不難得到題目要求的結果．【解答】解：模擬程序的運行，可得：i=1，T=0，P=15滿足判斷框內的條件，執行循環體，i=2，T=1，P=5滿足判斷框內的條件，執行循環體，i=3，T=2，P=1滿足判斷框內的條件，執行循環體，i=4，T=3，P=滿足判斷框內的條件，執行循環體，i=5，T=4，P=此時，由題意，應該不滿足判斷框內的條件，退出循環，輸出的結果為，即i=5時退出循環，故繼續循環的條件應為：i＜5？故選：D．9.已知點A（3，0），過拋物線y2=4x上一點P的直線與直線x=﹣1垂直相交于點B，若|PB|=|PA|，則點P的橫坐標為（）A．1 B． C．2 D．參考答案：C【考點】拋物線的簡單性質．【分析】利用拋物線的定義，結合|PB|=|PA|，即可求出點P的橫坐標．【解答】解：由題意，可知F（1，0），∵過拋物線y2=4x上一點P的直線與直線x=﹣1垂直相交于點B，∴|PB|=|PF|∵|PB|=|PA|，∴|PF|=|PA|，∴P的橫坐標為2，故選：C．【點評】本題考查拋物線的定義與性質，考查學生的計算能力，比較基礎．10.的三邊長分別為，若，則△ABC是（

）A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．無法確定參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.計算定積分＝＿＿＿參考答案：12.若，則數列的前n項和=______參考答案：略13.已知x＞﹣3，則x+的最小值為．參考答案：4﹣3考點： 基本不等式．

專題： 等差數列與等比數列．分析： 由題意可得x+3＞0，可得x+=x+3+﹣3，由基本不等式可得．解答： 解：∵x＞﹣3，∴x+3＞0，∴x+=x+3+﹣3≥2﹣3=4﹣3，當且僅當x+3=即x=2﹣3時取等號，故答案為：4﹣3．點評： 本題考查基本不等式求最值，湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關鍵，屬基礎題．14.設x,y是正實數,且x+y=5,則+的最小值為.

參考答案： 本題主要考查利用基本不等式求最值,考查考生的基本運算能力.解題時,先令,將+轉化為2++,然后利用基本不等式求解.利用基本不等式求最值,關鍵是滿足“一正、二定、三相等”的條件. 令,則,a+b=x+y+3=8,所以+++= a+b++-6=2++=2+(a+b)(+)=2+(5++)≥2+(5+2)=,當且僅當a=,b=,即x=,y=時取等號,所以+的最小值為. 15.（5分）已知，均為單位向量，＜，＞=60°，那么|+3|=

．參考答案：考點： 平面向量數量積的運算．專題： 平面向量及應用．分析： ，均為單位向量，則它們的模都是1，要求向量|+3|的模，可求其平方，然后利用向量模的平方等于向量的平方，展開后再利用平面向量的數量積運算求解．解答： ∵，均為單位向量，∴．又＜，＞=60°，∴===．故答案為：．點評： 本題考查了平面向量的數量積的運算，解答的關鍵是利用轉化，是中檔題．16.在實數集上定義運算

，并定義：若存在元素使得對，有，則稱為上的零元，那么，實數集上的零元之值是

參考答案：；根據“零元”的定義，，故17.球為棱長為的正方體的內切球，為球的球面上動點，為中點，,則點的軌跡周長為

．

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為，且.(1)求角A的大小;(2)若,求△ABC的周長的取值范圍.參考答案：略19.已知函數f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），g（x）=x3﹣ax．（1）求f（x）的最大值；（2）若對?x1∈（0，+∞），總存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范圍；（3）證明不等式：（）n+（）n+…+（）n＜．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；不等式的證明．【專題】綜合題；導數的綜合應用．【分析】（1）求導函數，確定函數的單調性，可得f（x）≤f（1）=0，從而可求f（x）的最大值；（2）若對?x1∈（0，+∞），總存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，等價于f（x）max≤g（x）max，由（1）知f（x）max=0，分類討論，求出g（x）max，即可求a的取值范圍；（3）由（1）知f（x）≤0即lnx≤x﹣1（x＞0），取x=，可得ln≤﹣1=，從而可得（）n≤ek﹣n，即可證明結論．【解答】（1）解：∵f（x）=lnx﹣x+1（x＞0）∴f′（x）=，∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0，x＞1時，f′（x）＜0，∴f（x）≤f（1）=0，∴f（x）的最大值為0；（2）解：?x1∈（0，+∞），總存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，等價于f（x）max≤g（x）max，由（1）知f（x）max=0，當a≤0時，g（x）=x3﹣ax在x∈[1，2]時恒為正，滿足題意．當a＞0時，g′（x）=3x2﹣a，令g′（x）=0，解得x=±，∴g（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上單調增若≤1即0＜a≤3時，g（x）max=g（2）=8﹣2a，∴8﹣2a≥0，∴a≤4，∴0＜a≤3若1＜≤2即3＜a≤12時，g（x）在[1，]，[，2]而g（1）=1﹣a＜0，g（2）=8﹣2a在（3，4]為正，在（4，12）為負∴3＜a≤4當＞2而a＞12時g（1）＜0，g（2）＜0不合題意綜上a的取值范圍為

a≤4．（3）證明：由（1）知f（x）≤0即lnx≤x﹣1（x＞0）取x=，∴ln≤﹣1=，∴nln≤k﹣n，即（）n≤ek﹣n，∴（）n+（）n+…+（）n≤e1﹣n+e2﹣n+…+en﹣n==＜．【點評】本題考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查不等式的證明，考查分類討論的數學思想，屬于難題．20.（本小題滿分12分）已知函數f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）討論函數的單調性；（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。參考答案：解析：(1)的定義域為。2分（i）若即,則故在單調增加。(ii)若,而,故,則當時，;當及時，故在單調減少，在單調增加。(iii)若,即,同理可得在單調減少，在單調增加.(II)考慮函數則由于1故，即g(x)在(4,+∞)單調增加，從而當時有，即，故，當時，有·········12分21.（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：（a＞b＞0），圓O：x2+y2=r2（0＜r＜b）．當圓O的一條切線l：y=kx+m與橢圓E相交于A，B兩點．（Ⅰ）當k=﹣，r=1時，若點A，B都在坐標軸的正半軸上，求橢圓E的方程；（Ⅱ）若以AB為直徑的圓經過坐標原點O，探究a，b，r是否滿足，并說明理由．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）利用點到直線的距離公式求得d==1，即可求得m的值，由點A，B都在坐標軸的正半軸上，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）利用點到直線的距離公式，求得m2=r2（1+k2），將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及向量數量積的坐標運算x1x2+y1y2=0，即可求得a，b與r的關系．【解答】解：（Ⅰ）當k=﹣，r=1時，則切線l：y=﹣x+m，即2y+x﹣2m=0，由圓心到l的距離d==1，解得：m=±，點A，B都在坐標軸的正半軸上，則m＞0，∴直線l：y=﹣x+，∴A（0，），B（，0），∴B為橢圓的右頂點，A為橢圓的上頂點，則a=，b=，∴橢圓方程為：；（Ⅱ）a，b，r滿足+=成立，理由如下：設點A、B的坐標分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），直線l與圓x2+y2=r2相切，則=r，即m2=r2（1+k2），①則，（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．則x1+x2=﹣，x1x2=，所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，AB為直徑的圓經過坐標原點O，則∠AOB=90°，則⊥=0，∴x1x