第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用定積分的概念1.5.1曲邊梯形的面積A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．在計算由曲線y＝－x2以及直線x＝－1，x＝1，y＝0所圍成的圖形的面積時，若將區(qū)間[－1，1]n等分，則每個小區(qū)間的長度為()\f(1,n)\f(2,n)\f(2,n－1)\f(2,n＋1)解析：區(qū)間長度為2，將其n等分得每一個小區(qū)間的長度為eq\f(2,n).答案：B2．在求由函數(shù)y＝eq\f(1,x)與直線x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形的面積時，把區(qū)間[1，2]等分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間為()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋i－1,n)，\f(n＋i,n)))C．[i－1，i] \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i,n)，\f(i＋1,n)))解析：把區(qū)間[1，2]等分成n個小區(qū)間后，每個小區(qū)間的長度為eq\f(1,n)，且第i個小區(qū)間的左端點不小于1，所以選B.答案：B3．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值()A．只能是左端點的函數(shù)值f(xi)B．只能是右端點的函數(shù)值f(xi＋1)C．可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均不正確解析：由求曲邊梯形面積的“近似代替”知，選項C正確．答案：C4．直線x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲線y＝f(x)(f(x)＞0)所圍成的曲邊梯形的面積S＝()\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(1,n) B．eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(1,n)\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(b－a,n) D．eq^\o(,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)·f(ξi)解析：第n個小曲邊梯形的面積可近似的表示為eq\f(b－a,n)·f(ξi)．所以，曲邊梯形的面積為eq^\o(,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)·f(ξi)答案：D5．對于由函數(shù)y＝x3和直線x＝1，y＝0圍成的曲邊梯形，把區(qū)間[0，1]三等分，則曲邊梯形面積的近似值(每個ξi取值均為小區(qū)間的左端點)是()\f(1,9)\f(1,25)\f(1,27)\f(1,30)解析：S＝0×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).答案：A二、填空題6．在區(qū)間[1，10]上等間隔地插入8個點，則將它等分成9個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為____．解析：區(qū)間[1，10]長度為9，將它等分成9個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為1.答案：17．若xi=1,則(2xi＋1)=______.解析：(2xi＋1)＝2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＋5＝2×1＋5＝7.答案：78．直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2＋1圍成曲邊梯形，將區(qū)間[0，2]五等分，按照區(qū)間左端點和右端點估計曲邊梯形面積分別為________、________．解析：分別以小區(qū)間左、右端點的縱坐標為高，求所有小矩形面積之和．S1＝(02＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1)×＝；S2＝＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋22＋1)×＝.答案：三、解答題9．求出由直線x＝0，x＝3，y＝0和曲線y＝eq\r(4－（x－1）2)圍成的平面圖形的面積．解：圓(x－1)2＋y2＝4在第一象限的面積如圖所示：∠ACB＝eq\f(2π,3)，OB＝eq\r(3)，面積S＝S△BOC＋S扇形ACB＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×2×2×eq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(4π,3).10．求直線x＝2，y＝0和曲線y＝x2所圍成的曲邊梯形的面積．解：(1)分割：把區(qū)間[0，2]等分成n個小區(qū)間，第i個小區(qū)間的長度為eq\f(2,n)，過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形．(2)近似代替：當n很大時，區(qū)間長度很小，小曲邊梯形近似于小矩形，第i個小矩形的高度用feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)))代替(i＝1，2，…，n)．(3)求和：各矩形面積之和Sn＝eq\i\su(i＝1,n,f)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)))Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)))eq\s\up12(2)eq\f(2,n)＝eq\f(8,n3)(12＋22＋…＋n2)＝eq\f(8,n3)eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6)＝eq\f(8,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n))).(4)取極限：當n趨向于＋∞時，Sn趨向于eq\f(8,3)，所以曲邊梯形的面積S＝eq\f(8,3).B級能力提升1．已知直線l：y＝ax＋b和曲線C：y＝ax2＋bx，則由直線l和曲線C所圍成的平面圖形(圖中陰影部分)只可能是()解析：對于選項A，直線l和曲線C中的a＞0，b＜0，符合條件．答案：A2．如圖所示，曲線C∶y＝2x(0≤x≤2)兩端分別為M，N，且NA⊥x軸于點A，把線段OA分成n等份，以每一段為邊作矩形，使其與x軸平行的邊的一個端點在曲線C上，另一端點在曲線C的下方，設(shè)這n個矩形的面積之和為Sn，則eq^\o(,\s\do4(n→∞))[(2n－3)(eq\r(n,4)－1)Sn]＝________．解析：依題意可知從原點開始，矩形的高成等比數(shù)列，首項為1，公比為2eq\s\up13(\f(2,n))，則Sn＝eq\f(2,n)(1＋2eq\s\up13(\f(2,n))＋2eq\s\up13(\f(4,n))＋…＋2eq\s\up13(\f(2n－2,n)))＝eq\f(2,n)·eq\f(1－2\s\up13(\f(2n,n)),1－2\s\up13(\f(2,n)))＝eq\f(2,n)·eq\f(－3,1－\r(n,4)).所以eq^\o(,\s\do4(n→∞))[(2n－3)(eq\r(n,4)－1)Sn]＝eq^\o(,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（2n－3）（\r(n,4)－1）\f(2,n)·\f(－3,1－\r(n,4))))＝12.答案：123．求y＝x3與x＝0，y＝±8圍成的圖形的面積．解：所求面積如圖陰影部分所示，由對稱性知S1＝S2，故所求面積為2S1.先求y＝x3與y＝0，x＝0，x＝2圍成的面積S′1如下：(1)分割：將[0，2]分成n等份eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2（i－1）,n)，\f(2i,n)))(i＝1，2，3，…，n)，每個小區(qū)間距離為Δx＝eq\f(2,n).(2)近似代替：ΔSi＝f(ξi)Δx＝(eq\f(2i,n))3Δx.(4)求極限：eq\f(1,2)S＝eq^\o(,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))\s\up12(3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,n)))\s\up12(3)＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n,n))