1.4.1

充分條件與必條件充分條件與必條件1.4.2

充要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)

核心素養(yǎng)1.結(jié)合具體實(shí)例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.過充要條件的判斷，提升邏2．會(huì)(判斷)某些問題成立的充分條件、必要輯推理素養(yǎng)．條件、充要條件．(重點(diǎn))3．能夠利命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明．(難點(diǎn))

2．借助充要條件的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．充分件與必要條件命題真假推出關(guān)系條件關(guān)系

“若p，則q是真命題p?qpq充分條件qp必要條件

“若p，則q是假命題pqp是q充分條件q是p必要條件思考1：(1)p的充分條件與q的必要條件所表示的推出關(guān)系是否相同？以下五種表述形式①p?q②pq充分條件③q的分條件是；④q的必要條件；p必要條件是這五種表述形式等價(jià)嗎？提示：相同，都是?q等價(jià)．2．充要件一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時(shí)，我們說，p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q為充要條件．若pq，但q若qp，但p

p，則稱p是q充分不必要條件．q，則稱p是q必要不充分條件．若p

q，且qp，則稱pq既不充分也不必要條件．思考2若是的充要條件則命題p是兩個(gè)相互等價(jià)的命題，這種說法對(duì)嗎？“p的充要條件”與“的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？提示：正確．若的充要條件，則pq，等價(jià)于q.①p的充要條件說明p條件，是結(jié)論．②p充要條件是說明q條件，p結(jié)論．1．下列語是命題的是()A．梯形四邊形C．是整數(shù)

B．直線ABD．今天會(huì)下雪嗎A[不是陳述句，B、C能判斷真假．]2．“同位相等”是“兩直線平行”的)A．充分必要條件．必要不充分條件．既是充分條件，也是必要條件．既不充分也不必要條件[答案]

C3．使x成立的一個(gè)充分條件是()A．>4C．x

B．x>0D．x<2A[有>4?x3，他選項(xiàng)均不可推出x3.224．設(shè)x，∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2

＋y

2

≥4”的()A．充分必要條件C．充分必要條件

B．要不充分條件D．既不充分也不必要條件A[

因?yàn)閤≥2

且y≥2

＋y2

≥4

＋y2

≥4x≥2

且y≥2，＝－2，＝1，以“≥2y≥2”“y2

≥4”充分不必要條件．]充分條件、必要條件的判斷【例1】

指出下列各題中p是q的什么條件．p：x－3＝0，q：x－3)＝0.p：兩個(gè)三形相似，：兩個(gè)三角形全等．pa，：＞bc[解]

x30?－－＝0，(x2)(－3)0x30故是q的充分不必要條件．兩個(gè)三角形相似

兩個(gè)三角形全等，但兩個(gè)三角形全等?兩個(gè)三角形相似，故是的必要不充分條件a

＞b＞bc，

＞bc

＞b，故是q既不充分也不必要條件定義法判斷充分條件、必要條件件，誰是結(jié)論推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件.1．指出下各組命題中，p是q什么條件．p四邊形的對(duì)角線相等，q：四邊形是平行四邊形．p(x－1)

2

＋(－2

＝0，q：(x－－2)＝0.[解]

因?yàn)樗倪呅蔚膶?duì)角線相等四邊形是平行四邊形，邊形是平行四邊形四邊形的對(duì)角線相等所以是q既不充分也不必要條件因?yàn)?x1)

2

＋(－2

＝0?x1

且y2?x

－y＝0(x1)(－2)＝0(－1)＋(y2)20所以是的充分不必要條件．充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用[探究問題]1．集合＝{|px)}，B{|qx)}，p是q充分不必要條件，則集合，B關(guān)系是什么？若p的必要不充分條件呢？提示：若是q充分不必要條件，則B，是的必要不充分條件則A.2．記集合＝{|px)}，N{()}，若?N，則pq什么條件？若N?，＝呢？提示：若M，是q充分條件，若N?，則是的必要條件若M，則是q充要條件．【例2】已知：－2≤x≤，q：1－≤1＋m(＞，若pq充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_．[思路點(diǎn)撥]

pq充分不必要條件

→

p表的集合是q表的集合的真子集

→

列不等式組求解{|m9}

[因?yàn)槭莙充分不必要條件，所以?qp即{－2≤x≤10}{|1m≤1m>0}真子集，所以m>0，<2，1≥10

≤2，或，1>10，

解得m9.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{|≥9}．]1．本例中p是q充分不必要條件”改為“是的必要不充分條件”，其他條件不變，試求的取值范圍．[解]

因?yàn)?/p>

是

的必要不充分條，所以?，且pq.則{|1－≤x≤1m，>0}{－2≤x≤10}，m>0，所以≥21m10，

，解得0<≤即m的取值范圍是{m|0≤3}．2．若本例改為：已知＝{|a－<a＋4}，＝{|1<<3}，“”是“x∈Q”的必要條件，求實(shí)數(shù)a取值范圍．[解]

因?yàn)椤皒∈P”“∈Q”必要條件，以Q?.所以解得－1≤a≤5，即的取值范圍是{－1≤a≤5}．利用充分、必要、充要條件的關(guān)系求參數(shù)范圍兩命題；q關(guān)系、充要條件的關(guān)系；不等式；caca2caca2充要條件的探求與證明【例3】件是＜0.

試證：一元二次方程ax

＋＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條[思路點(diǎn)撥]

從“充分”和“必要性”兩個(gè)方面來證明[證明]

①必要性：因?yàn)榉匠?

＋＋c0有一正根和一負(fù)根所以Δ＝b

2

－4ac0，x1

＜0(，為方程的兩根)，以＜0.②充分性：由ac0推得＝b

－4ac0＝

＜0(為方程的兩根)．所以方程2

＋＋c0有個(gè)相異實(shí)根且兩根異號(hào)即方程ax

＋bx＋＝0一正根和一負(fù)根綜上所述，一元二次方程ax2＋c0一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.充要條件的證明策略p否是q充要條件，需要從充分性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行，即證明兩個(gè)命題“若，則”為真且“若，則p為真.轉(zhuǎn)化為集合的思想來證明，證明pq解集是相同的證明前必須分清楚充分性和必要性即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論.提醒：證明時(shí)一定要注意，分清充分性與必要性的證明方向.2．求證：的方程ax＋＋c＝0一個(gè)根是1充要條件是a＋b＋＝0.[證明]

假設(shè)方程

＋＋c0有個(gè)根是，qabc0.①證明?，證明必要性．∵x1方程ax

＋bxc0的，∴a

2

＋b＋c0，即＋＋＝0.②證明?，證明充分性．由＋＋＝0，＝－－b.∵ax2∴ax2

＋bx＋c0＋bx－ab0即(x2

－1)b－1)故－axab＝0.∴x1方程的一個(gè)根．故方程ax

＋＋c0有一個(gè)根是的充要條件是ab＝0.充分條件、必要條件的判斷方法定義法：直接利用定義進(jìn)行判斷．等價(jià)法：“pq”表示p價(jià)于q，等價(jià)命題可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，當(dāng)我們要證明p立時(shí)，就可以去證明q成立．利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷：如果條件和結(jié)論q應(yīng)的集合分別為和B那么若?B則pq充分條件若?B則pq必要條件；若A＝，則pq的分必要條件．1．考辨析qp必要條件時(shí)，是的充分條件．()q是p必要條件時(shí)，“”成立．()2m32m3若qp必要條件，則成立，也成立．()[答案]

√

√

×2．“>0”是“x≠0”的)A．充分必要條件．必要不充分條件．充分必要條件．既不充分也不必要條件A

[由“>”“≠”反之不一定成立因此“x0”“x≠0”充分不必要條件．]3函數(shù)()＝x2＋mx＋1的圖象于直線＝對(duì)稱的充要條件是________m－2

[數(shù)f(x＝

＋＋1圖象關(guān)于直線＝1稱，則－＝，即2m－2反之，若＝