小波分析和變換課程學習報告1課程概述小波（Wavelet）這一術語，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅正負相間的震蕩形式。與Fourier變換相比，小波變換是時間（空間）頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號（函數）逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數學顯微鏡”。小波分析是一種新興的數學分支，它是泛函數、Fourier分析、調和分析、數值分析的最完美的結晶；在應用領域，特別是在信號處理、圖像處理、語音處理以及眾多非線性科學領域，它被認為是繼Fourier分析之后的又一有效的時頻分析方法。2課程學習過程2.1緒論本節課，吳老師通過最基礎的和差變換，深入淺出的指導我們初步認識到小波的基本知識面貌，在X（i）至Y（i）至Z（i）的變換與恢復過程中，我們認識到這其實是一種非常普遍的數據壓縮與解壓縮的過程，我們在生活和學習過程中經常會運用到。引申到圖像處理中，小波分析的運用更為直接和有效。在該領域小波變換存在以下幾個優點：a） 小波分解可以覆蓋整個頻域；b） 小波變換通過選取合適的濾波器，可以極大的減小或去除所提取得不同特征之間的相關性；c） 小波變換具有“變焦”特性，在低頻段可用高頻率分辨率和低時間分辨率（寬分析窗口），在高頻段，可用低頻率分辨率和高時間分辨率（窄分析窗口）；d） 小波變換實現上有快速算法（Mallat小波分解算法）。2.2小波變化原理2.2.1小波變換及小波函數的多樣性小波是函數空間"（R）中滿足下述條件的一個函數或者信號3）:

式中，R*=R-{0}表示非零實數全體，W(①)是W3)的傅里葉變換，w3)成為小波母函數。對于實數對(a,b)，參數a為非零實數，函數W(W(a,b)(x)=稱為由小波母函數W(X)生成的依賴于參數對(a,b)的連續小波函數，簡稱小波。其中：a稱為伸縮因子；b稱為平移因子。對信號f(x)的連續小波變換則定義為，，、 1w^(a，，、 1w^(a,b)=jf(x)WR]dx=(fMWa,bSA其逆變換(回復信號或重構信號)為dadb1dadbf(x)=—』』C RxR*w信號f(x)的離散小波變換定義為w(2j,2jk)=2-j2j+8f(x)w(2-jx-k)dx其逆變換(恢復信號或重構信號)為f(t)=C男男W(2j,2jk刃 (x)j=-8k=一8其中，C是一個與信號無關的常數。顯然小波函數具有多樣性。在MATLAB小波工具箱中提供了多種小波幻術，包括Harr小波，Daubecheies(dbN)小波系，Symlets(symN)小波系，ReverseBior(rbio)小波系，Meyer(meyer)小波，Dmeyer(dmey)小波，Morlet(morl)小波，ComplexGaussian(cgau)小波系，Complexmorlet(cmor)小波系，Lemarie(lem)小波系等。實際應用中應根據支撐長度、對稱性、正則性等標準選擇合適的小波函數。2.1.2小波的多尺度分解與重構1988年Mallat在構造正交小波基時提出多尺度的概念，給出了離散正交二進小波變換的金字塔算法，其小波分析樹形結構如圖1所示，即任何函數f(x)eL'R)都可以根據分

辨率為2—N的f⑴的低頻部分(近似部分)和分辨率為2-j(1<j<N)下f⑴的高頻部分(細節部分)完全重構。多尺度分析時只對低頻部分作進一步分解，而高頻部分則不予考慮，分解具有關系：f(x)=A+D+D1++D2+D]其中(x)代表信號，A代表低頻近似部分，D代表高頻細節部分，n代表分解層數。對信號采樣后，可得到在一個大的有限頻帶中的一個信號，對這個信號進行小波多尺度分解，其實質就是把采到的信號分成兩個信號，即高頻部分和低頻部分，而低頻部分通常包含了信號的主要信息，高頻部分則與噪音及擾動聯系在一起。根據分析的需要，可以繼續對所得到的低頻部分進行分解，如此又得到了更低頻部分的信號和頻率相對較高部分的信號。I—-^2.1.3二進小波變化及其穩定性分析信號分解的層數不是任意的，對于長度為N德信號最多恩給你分成1塑N層。實際應用中，課根據實際需要選擇合適的分解層數幺(f)(b0,I—-^2.1.3二進小波變化及其穩定性分析如下圖所示，因為連續小波變下將一維信號變換到二維變換域上，從而有大量的信息冗余量。w(f)(b1,氣)余量。%(f)(b，a)包含了一個時頻空間窗口中■勺信息。注：為完成對頻域的分割，應對時間刻度a抽樣，其準則為:方法簡單，高效；保留f(t)的全部信息。抽樣方法見下所示：a)對頻域的分割必須是不重疊，完全的。

(0,+8)=uAjj^ZAnA.2i。jb)窗口的寬度與其中心頻率相適應。(二進制劃分)+8(0,+8)=+8(0,+8)=u(2j△,2j+i△]

VV

j=f如何快速的怎樣確定時間刻度參數a的樣本值｛aj｝，使:①* 1 ①* 1(―-—△,—+_△]=(2j△,2j+1△]

aaVaaVVV由于V的頻率中心可以移動，而不影響我們可以假設：①*=3△V2 4△]=(△.,

VawaV的基本性質。(①*aj取：aj①*△,Vajaj=2-(j-i)函數VeL2,1A函數VeL2,1A④*——△，——awa:氣］j=(2j氣,2j+1氣］稱為二進小波。若存在兩個常數0<A<B<+8,使:A<￥V(2-jw)|2<B 幾乎處處成立這個條件稱為二進小波的穩定性條件。二進小波變換的定義：T(/灼=如(f)(b*)j8 =22jf(t)V(2j(t-b))dt-8=<f,w.〉 其中w=2；V(2j(t-b))二進小波穩定性條件的另一種表述，這點非常重要：S 2叩112空Wf|<叩『weL-8針對穩定性條件，有如下定理：令V滿足二進小波的穩定性條件，則V滿足:8V(①)|2Aln2<J1加①0j土吐仙<血①0即：V是一個基小波。當A=B時，有：8Vf(3)|2C=j 如=2Aln2—8II由穩定性條件：A〈寸爐(2-j①)|2<B(①〉0)艾V(2-j①)|2(①〉0)-8jA/j一d④④1jA/j一d④④1/2B/<j一d④④12.1.4離散二進小波離散二進小波是一類重要的二進小波。定義見下圖所示:定義：設"(。是基本小波，取定/>L腐〉0,記-危)=靈一"筍。)=町暢"—泌0)。0稱也其)：皿住Z｝為離散小波;設f(t)GZ2,稱/仁”〉=「/?)，"(X為/■(,)的離散小波變換。注.常取％=2,4=1離散小波變換不具有平移不變性Fourier級數是不同頻率的正弦波的疊加，小波級數是不同頻率、不同位置的波的疊加。因為離散二進小波是二進小波，因此其也是允許小波，具備平移不變性。2.3多分辨分析與Mallat分解重構Mallat使用多分辨率分析(multiresolution)的概念統一了各種具體小波基的構造方法，并由此提出了現今廣泛使用的Mallat快速小波分解和重構算法，它在小波分析(wavelettransform)中的地位與快速傅里葉變換在傅里葉分析中的地位相當。有時候也稱之為多尺度分析。具體定義見下：設3w丁是￡氣衣)空間中的一列閉子空間』如果它們滿足如下六個性質，則說；匕如e 是一個多分辨率近似.1-VQ^)eZ\若而電則北一2』?氏*V/eZ,匕叫.即…*=)*=)*???*=)*+]???V/eZ,若"斗則叫.+】lLi燮隊=nk=Lim7?.=Closure(U=JTijjJ j.TUJ存在一個基本函數$使得V以，EZ是*中的甌明基。性質1說明，空間*對于正比于尺度才的位移具有不變性，也即函數的時移不改變其所屬的空間。我們在上一章對（a,b）作二進制離散化時曾說明，若令刀=2七貝冊應職上=2映將％歸一化為1,則時）=土m寧）=E好f="）性質1實際上應等效為：弋m一攔T（t\『T（t一「礦.性質N說明，在尺度淡（或J）時，對X（￡）作的是頒褻為2一『的近似.其結果將包含在較低一級頒紊2一》1時對W）近似的所有信息，即空間的包含性質3是性質2的直接結果。在*+】中，函數作了二倍的擴展，分辯率降為2一尸，所以工（：）應屬于*+】性質4說明當j-03時，分辨率尸T0,這時我們將會失而的所有信息，也即LimP{x（f）=0

lI''從空間上講，所有=-00~+00）的交集為零空間性質5是性質4的另一面，即當jT-oo時，獅寮Too,那么信號歡'）在該尺度下的近似將收斂于它自身，即￡物|%（￡）一丑（￡）=0

2.4小波基2.4.1由尺度函數構造正交小波基由正交尺度函數^(t-k)}構造正交小波基，構造步驟如下:keZ選擇Nt)或中(?)使版t-k)}為一組正交基。keZ求h(n):h(n)=<?(t),Nt—k)>HH(①)=中(2①)

中(①)⑶由h(n)求g(n):g(n)=(-1)n-h一n+1或G(s)=e-冷H(s+兀)⑷由g(n)，Nt)構造正交小波基函數^(t):W(t)=Zg^1n(t)n或W(①)=G32)?中(①；2)2.4.2由尺度函數為Riesz基時構造正交小波基函數要找到一個多分辨率分析的尺度函數Nt)，使它的整數平移構成一個正交系列，有時候不太方便。但要找到一個函數，使它的整數位移構成一個Riesz基$(t-k〃ez來構造一個多分辨率框架，從而構造一組正交小波基。首先給出Riesz基的定義：設函數§(t-赫心張成的空間為匕的Riesz基的充分必要條件為存在兩常數A>0,B<8，使得對于所有(匕)舊巴L2(Z)都有

2 b￡CkI2kaXc|2<5(t-k)2 b￡CkI2kk k可以證明式(7-7)等價于0<(2兀)-iA<^|中(s+2兀l)|2<(2兀)-iB<3l因此我們可以定義一個^#(t)eL2(R)，使得中#(必)=[EI中(①+2兀l)|2]-：.中(①)l顯然，中#(?)滿足X|中#(①+2兀l)|2=1即如(t-k)是正交基。且如(t-k)可以構成I"的多分辨率分析框架。由此可由如(t-k)入手，構造一個正交小波基。可以證明如下：除了N=0時(此時為Haar小波)例外，其他4(t-k)都不具有正交性，因此必須實行正交化處理過程8#(t)。正交的8#(t)及其構造的小波函數W(t)(Battle—Lemarie小波函數)支集都為非緊的(定義域為整個實軸)。, 1一一, 一當N為偶數時，8#(或8)關于t——對稱，當N奇數時，8#(或8)關于t—01 ,對稱。而所有Battle—Lemarie小波關于t—-對稱。并且已有學者證明8#和W都具有指數衰減性。2.4.3緊支集正交小波基的性質和構造由MRA理論可知，尺度函數和小波函數均滿足雙尺度方程:(2.4.3-1a)(2.4.3-1b)8(t)—豆Xh(n)8(2t-n)(2.4.3-1a)(2.4.3-1b)ni neZW(t)-2X(-1)nh(n)8(2t-n)-n+1neZ由上式可知，即使8(t)是支集緊的，相應的W(t)的支集未必是緊的。因此既簡單又重要的是要求式(2.4.3-1)的右邊僅包含有限(N+1)項，此時只要作適當的平移變換即可將雙尺度方程寫成

(2.4.3-2a)(2.4.3-2b)^(t)=?、:2l^h(n)^((2.4.3-2a)(2.4.3-2b)nn=0W(t)=、，2￡g(n)^(2t-n)nn=1-N如此，若Nt）是正交MRA中緊支集的母函數，則由此構成的正交小波基的母函數甲（t）也是緊支集的。現在的關鍵問題是要求出滿足式（2.4.3-2a）的雙尺度方程中的8（t）。由式（2.4.3-2a）我們發現，如果先直接尋找8函數，然后再來確定有限項的h是不容易的。相反，若有限長度的h已確定，再來確定8則容易些。我們先不考慮這樣得到的8（t）是否滿足多尺度分析的生成元的正交性等條件，而只考慮若給定一組常數匕,h1,,氣-1，如何由解方程（2.4.3-2a）來求得8（t）的問題。2.5小波包由于正交小波變換只對信號的低頻部分做進一步分解，而對高頻部分也即信號的細節部分不再繼續分解，所以小波變換能夠很好地表征一大類以低頻信息為主要成分的信號，但它不能很好地分解和表示包含大量細節信息（細小邊緣或紋理）的信號，如非平穩機械振動信號、遙感圖象、地震信號和生物醫學信號等。與之不同的是，小波包變換可以對高頻部分提供更精細的分解，而且這種分解既無冗余，也無疏漏，所以對包含大量中、高頻信息的信號能夠進行更好的時頻局部化分析。2.5.1小波包定義正交小波包的一般解釋僅考慮實系數濾波器。*}L}為」-1）""—nneZ nneZ n 1n^8（t）=^2E七8（2t-k）W（t）=yf2Eg8（2t—k）I keZ為便于表示小波包函數，引入以下新的記號：〃日（t）：=8（t）M（t）:=W（t）"（t）=42E七K（2t-k）'（t）=v2Eg尸0（2t-k）keZ

通過h,g在固定尺度下可定義一組成為小波包的函數。由'日（t）=T2Zh日（2t-k）k（2t-kk（2t-k）n口2.5.2小波分解及小波包分解V=V=U0LL2.5.3小波包變換的原理和公式由于正交小波變換只對信號的低頻部門做進一步的分析，而對高頻部分以及信號的細節部分不再繼續分解，所以小波包變換能夠很好的表征以低頻信息為主要成分的信號，但它不能很好地結合表示包含大量細節信息（細小細節或紋理）的信號，如非平穩機械振動信號、遙感圖像、地震信號和生物醫學信號燈。與之不同的是，小波包變換可以對高頻部分提供更精細的分解，而且這種分解既無冗余，也無疏漏，所以對包含大量中頻、高頻信息的信號能后進行更好的時頻局部化分析。小波包分解算法：d2n[k]=￡hdn[/]d2n+1L]=NgdnH]j l-2kj+1l IcZ小波包重構:dnj+1[kdnj+1[k]=Zh d2nk-2ljleZ\1]+Sg d2n+1k-2lj\1]leZ綜上得到信號小波包分析的基本實現步驟：1） 選擇適當的小波錄波器，對給定的采樣信號進行小波包變換，獲得樹形結構的小波包系數；2） 選擇信息代價函數，利用最佳小波包基選取算法選取最佳基；3） 對最佳正交小波包基對應的小波包系數進行處理；4） 對處理后的小波包系數采用小波包重構算法得到重構信號。3學習心得和思考通過學習、查詢資料，得知小波分析已經在科技信息產業領域取得了令人矚目的成就。電子信息技術是六大高新技術中重要的一個領域，它的重要方面是圖象和信號處理。現今，信號處理已經成為當代科學技術工作的