第八章交通流理論主要內容交通流的統計分布特性排隊論的應用跟馳理論簡介流體動力學模擬理論第八章交通流理論一、概述交通流理論是運用物理學與數學的定律來描述交通特征的一門科學，是交通工程學的基礎理論。它用分析的方法闡述交通現象及其機理，從而使我們能更好地掌握交通現象及其本質，并使城市道路與公路的規劃設計和營運管理發揮最大的功效。第八章交通流理論一、概述當前交通流理論的主要內容：1、交通流量、速度和密度的相互關系及測量方法2、交通流的統計分布特性3、排隊論的應用4、跟馳理論

5、駕駛員處理信息的特性6、交通流的流體力學模擬理論7、交通流模擬第八章交通流理論二、交通流的統計分布(statisticaldistribution)特性交通流統計分布的研究內容與意義1、把交通流到達看作是相互獨立的隨機變量，交通流到達是一種概率變化的過程，符合概率論與數理統計.2、交通流的統計分布特性為設計新的交通設施和確定新的交通管理方案，提供交通流的某些具體特性的預測，并且能利用現有的和假設的數據，作出預報.第八章交通流理論二、交通流的統計分布特性描述交通流隨機到達的統計規律方法以概率論中的離散型分布工具，考察在一段固定長度的時間內到達某場所的交通數量的波動性以概率論的連續型分布為工具，研究交通到達的間隔時間的統計特性第八章交通流理論三、離散型(discrete)分布：常用于描述一定的時間間隔內事件的發生數在一定的時間間隔內到達的車輛數，或在一定的路段上分布的車輛數，是所謂的隨機變量，描述這類隨機變量的統計規律用的是離散型分布第八章交通流理論1、泊松分布(PoissonDistribution)

適用條件：交通流量小，駕駛員隨意選擇車速，車輛到達是隨機的。基本公式：在計數間隔t內到達k輛車的概率λ：平均到車率或平均分布率（輛/s、輛/m），t：每個計數時間或空間間隔（s、m）

注意單位的一致性！注意平均≠均勻第八章交通流理論令m＝λt：在計數間隔t內平均到達的車輛數；又稱泊松分布的參數

遞推公式：時間t內到達車輛數小于k的概率P(K<k)時間t內到達車輛數大于等于k的概率P(K≥k)時間t內到達車輛數大于等于x但不超過y的概率P(x≤K≤y)

第八章交通流理論該分布的均值M和方差D都等于m＝λt。實際應用中，均值M=E(X)和方差D(X)可分別由其樣本均值和樣本方差S2分別進行估計：

n:觀測數據分組數:在全部的觀測時間內,在計數間隔t內事件K發生次數的頻率（即對應的計數間隔的次數）N:觀測的總周期（觀測的間隔總數），此時觀測的總時間為T＝Nt第八章交通流理論由于泊松分布的均值M和方差D均等于λt；而觀測數據的均值m和S2均為無偏估計，因此，當觀測數據表明S2/m顯著不等于1時，就是泊松分布不合適的表征，所以，應選擇其他分布形式。

第八章交通流理論例1設60輛車隨機分布在4km長的道路上，求任意400m路段上有4輛及4輛車以上的概率關鍵是把t理解為空間間隔（m）,λ為單位長度上分布的車輛數（輛/m）求λ=60/4=15輛/km求泊松參數m=15×0.4=6第八章交通流理論例2已知某公路斷面流量q＝720輛/h，試問該斷面5s內有2輛車以上（包括2輛車）通過的概率（假設車輛達到服從泊松分布）。第八章交通流理論例3某信號燈交叉口周期C=97s，有效綠燈時間g=44s，在有效綠燈時間內排隊的車流以s=900輛/h的流量通過交叉口，在有效綠燈時間外到達的車輛要停車排隊。設信號燈交叉口上游車輛的到達率q=369輛/h，服從泊松分布，求使到達車輛不致兩次排隊的周期能占的最大比例。先分析發生兩次排隊的條件即一個周期內到達的車輛數大于有效綠燈時間內通過交叉口的車輛數；再求發生兩次排隊的概率第八章交通流理論說明本例中雖然在每個信號周期中平均到車數只有9.9輛小于一個信號周期有效綠燈時間內的通過的車輛數11輛，但仍有可能出現車輛兩次排隊的現象，因為平均到車數并不表示車流是均勻到達的，可能會出現某一周期到達的車輛數很少（小于10），使綠燈時間不能充分利用，當某些周期到達的車輛數很大（大于11）時就出現了二次排隊。第八章交通流理論2、二項分布（Binomialdistribution）

：

基本公式：在計數間隔t內到達k輛車的概率λ：平均到車率或平均分布率（輛/s、輛/m）t：每個計數時間或空間間隔（s、m）n:正整數，二項分布參數通常記則：0<P<1,n、p為二項分布的參數第八章交通流理論遞推公式：二項分布的均值M=np,方差D＝np(1-p);M>D通過對觀測數據的計算樣本的均值、方差S2來代替M、D;然后估算p、n的值。第八章交通流理論適用條件：車流比較擁擠、自由行駛機會不多的車流用二項分布擬合較好，由于二項分布的均值M大于方差D，當觀測數據表明S2/m顯著大于1時就不適合用二項分布擬合。第八章交通流理論例：在某條公路上，上午高峰期間，以15s間隔觀測到達車輛數，結果如下，試用二項分布擬合之求出P=0.465，n=16.08取163、負二項分布negativebinomialdistribution滿足以下條件的稱為負二項分布1.實驗包含一系列獨立的實驗。2.每個實驗都有成功、失敗兩種結果。3.成功的概率是恒定的。4.實驗持續到r次成功，r為正整數。已知一個事件在伯努利試驗中每次的出現概率是p，在一連串伯努利試驗中，一件事件剛好在第k+x次試驗出現第k次的概率。遞推公式P(0)=pk第八章交通流理論負二項分布的期望值和方差E(x)=k(1-p)/pD(x)=k(1-p)/p2用負二項擬合數據時，其參數的估計值用下式計算p’=m/s2k’=m2/(s2-m)適用條件：

S2/m.>1四、連續性分布（continuousdistribution)交通工程中，另一個用于描述車輛到達隨機特性的度量就是車頭時距的分布，常用的分布有負指數分布、移位的負指數分布、M3分布和愛爾朗分布1、負指數分布（ExponentialDistribution）

由泊松分布知四、連續性分布（continuousdistribution)1、負指數分布（ExponentialDistribution）

基本公式：到達的車頭時距h大于t秒的概率泊松分布t內無車輛到達的概率適用條件：用于描述有充分超車機會的單列車流和密度不大的多列車流的車頭時距分布四、連續性分布（continuousdistribution)1、負指數分布交通流到達服從泊松分布，則交通流到達的車頭時距服從負指數分布，

反之亦然已知到達某交叉口的車流車頭時距（單位：s）服從負指數分布，且試求任意10s到達車輛數不小于2輛的概率NumberofheadwaynolessthanTEquationstoberememberedNumberofheadwaywhose

valueisbetweenT1andT2連續性分布負指數分布：車頭時距愈短，其出現的概率越大；對于不能超車的單列車流是不合適的。此時可用移位負指數分布來描述

2023/2/427例5：在一條有隔離帶的雙向四車道道路上，單向流量為360輛/h，該方向路寬7.5m，設行人步行速度為1m/s，求1h中提供給行人安全橫過單向車道的次數，如果單向流量增加到900輛/h，1h中提供給行人安全橫過單向車道的次數是增加還是減少。7.5mQ=360輛/h2023/2/428連續性分布解：行人橫過單向行車道所需要的時間：

t=7.5/1=7.5s因此，只有當h≥7.5s時，行人才能安全穿越，由于雙車道道路可以充分超車，車頭時距符合負指數分布，對于任意前后兩輛車而言，車頭時距大于7.5s的概率為：

對于Q=360輛/h的車流，1h車頭時距次數為360，其中h≥7.5s的車頭時距為可以安全橫穿的次數：2023/2/429連續性分布當Q=900輛/h時，車頭時距大于7.5s的概率為：1h內車頭時距次數為900，其中h≥7.5s的車頭時距為可以安全橫穿的次數：連續性分布負指數分布在次要車流通行能力研究中的應用次干路車輛穿越主干路所要求的最小時間間隔次干路橫穿車輛連續通過時的最小車頭時距主干路車輛平均達到率連續性分布2、移位負指數分布

均值和方差不足：車頭時距越接近τ，其出現的概率越大；此時的不是安全車頭時距2023/2/432連續性分布移位負指數分布的局限性：服從移位負指數分布的車頭時距愈接近τ出現的可能性愈大。這在一般情況下是不符合駕駛員的心理習慣和行車特點的。車頭時距分布的概率密度曲線一般總是先升后降。2023/2/434二、排隊論的基本概念“排隊”與“排隊系統”當一隊車輛通過收費站，等待服務（收費）的車輛和正在被服務（收費）的車輛與收費站構成一個“排隊系統”。等候的車輛自行排列成一個等待服務的隊列，這個隊列則稱為“排隊”。“排隊車輛”或“排隊（等待）時間”都是指排隊的本身。“排隊系統中的車輛”或“排隊系統消耗時間”則是在指排隊系統中正在接受服務（收費）和排隊的統稱。2023/2/435二、排隊論的基本概念排隊系統的三個組成部分:輸入過程：是指各種類型的“顧客(車輛或行人)”按怎樣的規律到達。輸入方式包括：泊松輸入、定長輸入、愛爾朗輸入排隊規則：是指到達的顧客按怎樣的次序接受服務。排隊規則包括：等待制、損失制、混合制服務方式：指同一時刻多少服務臺可接納顧客，每一顧客服務了多少時間。服務時間分布包括：定長分布、負指數分布、愛爾朗分布排隊論一、排隊系統的特征及排隊論4、常見排隊系統顧客可以根據實際選擇服務臺排隊論排隊系統的特征及排隊論4、常見排隊系統顧客選擇隊列后不能再選擇服務臺排隊論一、排隊系統的特征及排隊論4、常見排隊系統2023/2/439二、排隊論的基本概念排隊系統的主要數量指標：等待時間：即從顧客到達時起到他開始接受服務時止這段時間。忙期：即服務臺連續繁忙的時期，這關系到服務臺的工作強度。隊長（cháng）：有排隊顧客數與排隊系統中顧客之分，這是排隊系統提供服務水平的一種衡量指標。2023/2/440M/M/1排隊系統（單通道服務系統）主要參數：設平均到達率為λ，則兩次到達的平均間隔時間（時距）為1/λ；設排隊從單通道接受服務后出來的系統平均服務率（輸出率）為μ，則平均服務時間為1/μ；比率：稱為交通強度或利用系數，由比率ρ即可確定各種狀態的性質。2023/2/441M/M/1排隊系統（單通道服務系統）當比率ρ<1（即λ<μ），且時間充分，每個狀態都會以非0的概率反復出現；當比率ρ≥1，任何狀態都是不穩定的，且排隊會越來越長。例如：某高速公路進口收費站平均每10s有一輛車到達，收費站發放通行卡的時間平均需要8s，即:1/λ=10s；1/μ=10s如果時間充分，這個收費站不會出現大量阻塞。2023/2/442M/M/1排隊系統（單通道服務系統）當比率ρ<1（即λ<μ），系統處以穩定狀態：在系統中沒有顧客的概率為（即沒有接受服務，也沒有排隊）：在系統中有k個顧客的概率為（包括接受服務的顧客與排隊的顧客之和）：在系統中的平均顧客數為（平均接受服務的顧客與排隊的顧客之和）：2023/2/443M/M/1排隊系統（單通道服務系統）系統中顧客數的方差：隨著ρ的增大，n增大；當ρ≥0.8以后，n迅速增大，從而使排隊長度快速增加，排隊系統便的不穩定，造成系統的服務能力迅速下降。平均排隊長度：這里是指排隊顧客（車輛）的平均排隊長度，不包括接受服務的顧客（車輛）。2023/2/444M/M/1排隊系統（單通道服務系統）平均非零排隊長度：即排隊不計算沒有顧客的時間，僅計算有顧客時的平均排隊長度，即非零排隊。如果把有顧客時計算在內，就是前述的平均排隊長度。排隊系統中平均消耗時間：這里是指排隊中消耗時間與接受服務所用時間之和。2023/2/445M/M/1排隊系統（單通道服務系統）排隊中的平均等待時間：這里在排隊時平均需要等待的時間，不包括接受服務的時間，等于排隊系統平均消耗時間與平均服務時間之差。共有八個指標。2023/2/446M/M/1排隊系統（單通道服務系統）M/M/1系統（單通道服務系統）的基本概念：由于排隊等待接受服務的通道只有單獨的一條，因此也叫做“單通道服務”系統。服務（收費站）μ輸出輸入λM/M/1系統2023/2/447M/M/1排隊系統（單通道服務系統）例1：高速公路入口收費站，車輛到達是隨機的，流入量為400輛/h，如果收費工作人員平均能在8s內發放通行卡，符合負指數分布，求：收費站排隊系統中的平均車輛數，平均排隊長度，排隊系統中的平均消耗時間和排隊中的平均等待時間。解：λ=400/3600（輛/s）,μ=1/8（輛/s）

ρ=λ/μ=0.89<1，排隊系統是穩定的。收費站排隊系統中的平均車輛數：2023/2/448M/M/1排隊系統（單通道服務系統）平均排隊長度：排隊系統中的平均消耗時間：排隊中的平均等待時間：2023/2/449例2：修建一個服務能力為120輛/h的停車場，布置一條進入停車場的引道，經調查車輛到達率為72輛/h，進入停車場的引道長度能夠容納5輛車，是否合適。解：λ=72（輛/h）,μ=120（輛/h）

ρ=λ/μ=0.6<1，排隊系統是穩定的。進入停車場的引道長度能夠容納5輛車,如果系統中的平均車輛數小于5輛車則是合適的，否則，準備停放的車輛必然影響交通。2023/2/450

驗證系統中平均車輛數超過5輛車的概率P(＞5)，如果P(＞5)很小，則得到“合適”的結論正確。由：驗證結果表明：系統中平均車輛數超過5輛車的概率P(＞5)不足5%，概率很小，進入停車場的引道長度是合適的。2023/2/451M/M/N排隊系統簡介（多通道服務系統）一般收費站屬于多路排隊多通道服務的M/M/N系統，如果總流入量為Q，可以假設每個收費站的流入量為Q/N，就可以按照M/M/1系統計算。服務收費站1μ輸出輸入λM/M/1系統服務收費站Nμ輸出輸入λM/M/1系統N

2023/2/452單路排隊多通道服務的M/M/N排隊系統如下：從服務效率分析這種排隊系統的效率較高，但用于收費站顯然是不合適的（這一系統同樣有一整套計算公式）。輸入λ服務1μ輸出服務Nμ輸出N

第四節跟馳理論1、跟車理論是運用動力學方法，研究在無法超車的單一車道上車輛列隊行駛時，后車跟隨前車的行駛狀態，并用數學模式表達而加以分析的一種理論2、車隊跟車特性分析1）制約性前車車速制約著后車車速和兩車間距2）延遲性在前車行駛狀態改變后，后車要有一定的延遲才能做出相應的改變3）傳遞性由制約性而使車隊第一輛車的運行狀態可以一直制約到第n輛車第四節跟馳理論n+1nn+1n+1nS(t)Xn+1(t)Xn+1(t)Xn(t)d1d2L時刻t兩車位置完全制動后兩車位置前車開始減速的位置后車開始減速的位置時刻t的刺激加速度：反應敏感度d3第四節跟馳理論上述模型是基于前導車制動、前后車制動距離相等以及后車在反應時間T內速度不變等假定條件推倒出來的。一般情形下：線性跟車模型第四節跟馳理論模型的穩定性：車隊車輛的穩定性穩定的含義局部穩定性：前后兩車之間的距離變化是否穩定，如車間距的擺動，若擺動大則不穩定，擺動愈小愈穩定漸進穩定性：前車速度變化向后面各車傳播的特性，如速度變化的振幅在傳播中擴大了則不穩定；如振幅在傳播中逐漸衰減則穩定，此情形成為漸進穩定性第四節跟馳理論跟車模型與車流模型車流模型是指在穩定的車流中，流量、車速和密度之間的相依關系從跟車模型出發，可推導出各種車速-密度關系，方法是根據邊界條件解微分方程第四節跟馳理論跟車模型與車流模型用線性跟車模型推到車流模型當車隊處于平穩狀態時，因此對任何t,有第四節跟馳理論

既然在跟車狀態下車輛的行駛是密度較高的非自由狀態，因此由線性跟車模型推導出來的車流模型只適用于高密度情形。

線性跟車模型的缺陷在于由其推導出來的車流模型中當密度趨于0時，車速u趨向于無窮大；以及流量在密度等于0時達到最大。第四節跟馳理論線性跟車模型的推廣線性跟車模型的缺陷的根源在于它假定后隨車的跟駛反應只依賴于它與前導車的速度差，而與兩車的間距以及后隨車本身的絕對速度無關。實際的情形表明，在一定的車速下，兩車的間距愈近，尾撞的潛在危險愈大，同時后隨車對前導車的速度變化的感知也愈快，因而反應愈加迅速和強烈。另一方面，后隨車本身的速度愈高，一旦發生尾撞的后果就愈嚴重，因而反應愈迅速和愈有效。第四節跟馳理論推廣模型（跟車模型最一般形式）令參數m和l取各種不同的組合，積分后可導出不同的車流模型從微觀的跟馳理論建立的運動規律，通過積分運算可得到宏觀的交通流方程（模型）。根據速度方程邊界條件求解，確定積分常數第四章交通流理論4－4跟馳理論推廣模型（跟車模型最一般形式）第五節流體動力學模擬理論一、引言1、流體動力學模擬理論（車流波動理論）：運用流體動力學的基本原理，模擬流體的連續性方程，建立車流的連續性方程。把車流密度的變化，比擬成水波的起伏而抽象為車流波。當車流因道路或交通狀況的改變而引起密度的改變時，在車流中產生車流波的傳播，通過分析車流波的傳播速度，以尋求車流流量、速度之間的關系，并描述車流的擁擠-消散過程流體動力學模擬理論一、引言2、車流連續性方程的建立根據流入量-流出量=Δx內車輛數的變化Ⅱqk

ΔxⅠq+ΔqK-ΔkΔt2023/2/465二、車流波動理論波速公式的推導：假設一條公路上由兩個相鄰的不同交通流密度區域（K1和K2）用垂線S分割這兩種密度，稱S為波陣面，設S的速度為w（w為垂線S相對于路面的絕對速度），并規定垂線S的速度w沿車流運行方向為正。由流量守恒可知，在t時間內由A進入S面的車輛數等于由S面駛入B的車輛數，即：式中:(V1-w)、(V2-w)分別為車輛進出S面前后相對于S面的速度。2023/2/466二、車流波動理論V1=100km/hK1=10輛/kmV2=80km/hK2=14輛/km

車頭間距71mwwK1V1K2V2ABSS2023/2/467二、車流波動理論由：規定：當K2<K1，密度降低，產生的w為消散波；當K2>K1，密度增加，產生的w為集結波。流體動力學模擬理論二、車流波動理論5、流量-密度圖與集散波1）圖中兩點割線的斜率即集散波的波速2）密度由小到大是集結波，由大到小是消散波3）前進波：割線斜率大于0；后退波：割線斜率小于0；什么情況下是前進波？什么情況下是后退波？流體動力學模擬理論二、車流波動理論6、停車波信號燈交叉口上游駛來的車流流量為Q，紅燈時間為r，問紅燈結束時交叉口進口道上排隊的車輛數是多少？紅燈開啟時，車流從高速度低密度轉變成零速度高密度狀態，即停車狀態，形成集結波，又稱停車波。紅燈期間，停車波向上游移動的距離為停下的車輛數為

Nr與Qr的關系？流體動力學模擬理論二、車流波動理論6、停車波停車波的絕對速度與上游來的車流密度的關系紅燈結束時的排隊車輛數與上游來的車流密度的關系流體動力學模擬理論二、車流波動理論7、起動波綠燈開啟時，車流從高密度零流量狀態轉變成具有流量s和較低密度Ks的狀態，形成消散波；又稱起動波。由于排隊車流啟動后的密度Ks比較接近停車密度Kj，所以起動波的絕對速度比較接近自由流車速Vf

流體動力學模擬理論補充車流波動理論1、車流波動：車流中兩種不同密度部分的分界面經過一輛輛車向車隊后部傳播的現象2、波速：車流波動沿道路移動的速度3、車對運行狀態變化圖流體動力學模擬理論補充

車流波動理論3、車對運行狀態變化圖：n輛車的運行的空間-時間變化圖一條曲線表示一輛車運行的空間-時間軌跡圖中車頭時距？車頭間距？車速？三個區域的交通流特征？對某一確定時刻，虛線與運行軌跡的交點即是車隊密度不同的兩部分的分界虛線表示分界既沿車隊向后傳播，又沿著道路移動。虛線的斜率？如何確定虛線？集散波：集結波、疏散波A點的含義？tA？何時擁擠車輛數最多？流體動力學模擬理論補充車流波動理論3、波速公式t內車頭間距的改變量等于兩車行駛距離之差xt1A3

v2

ov1

A(t,x)？2流體動力學模擬理論補充車流波動理論4、波流量：（集散波從前車向后車傳播）單位時間內集散波所掠過的車輛數；相對于移動的波界面計算的波流量公式三、車流波動理論的應用某快速干道上車流的速度-密度模型為，其中v以km/h,K以輛/km計。一列速度v1=50的車流中被插入一輛速度為v2=12的低速車并不能超車而集結形成速度為v2的擁擠車流。低速車行駛了2km后駛離車隊，擁