2023/2/411.1光學中常用的幾種初等函數

一、矩形函數矩形函數的定義為函數圖像如下圖所示01第一章線性系統分析二維矩形函數可表示成一維矩形函數的乘積式中a>0,b>0,它在xy平面上，以原點為中心的ab矩形范圍內，函數值為1，其它地方為零。光學上常用矩形函數表示不透明屏上的矩形孔、狹縫的透過率。它與其它函數相乘，可限制函數自變量的取值范圍，起到截取函數的作用，故又稱為門函數。如表示一個只出現在區間二、sinc函數一維sinc函數的定義為式中a>0,函數在x=x0處有最大值1。對于x0=0,該函數在原點處有最大值1.兩個第一級零值之間的寬度為2a,函數圖像如圖所示。零點位于二維sinc函數的定義為sinc函數常用來描述矩孔或單縫的夫瑯和費衍射圖樣，且與矩形函數互為傅里葉變換。三、階躍函數階躍函數的定義為10階躍函數與某函數相乘時，如x>0，則積等于原函數，在x<0的部分，其積為零。因而階躍函數的作用如同一個開關，可開啟或關閉另一函數。用來描述光學直邊(或刀口)的透過率1/2四、符號函數符號函數的定義為10-1符號函數與某函數相乘，可以使該函數在某點的極性（正負號）發生翻轉。如：某孔徑的一半嵌有的相位板，則可用其描述此孔的復振幅透過率2023/2/47五、三角函數一維三角函數的定義為10式中a>0,函數圖形是底邊寬為2a，高為1的三角形，三角形函數可表示光瞳為矩形的非相干成像系統的光學傳遞函數。六、圓柱函數圓柱函數的定義為函數圖形呈圓柱形，底半徑為a，高度為1。極坐標下的形式為圓柱函數常用來描述圓孔的透過率a七、高斯函數高斯函數的定義為二維高斯函數的形式是曲面下的體積為aba>0.當x0=0時，函數在原點處有最大值1。高斯圖形中曲線下的面積為a.式中2023/2/410曲面下的體積為ab極坐標下高斯函數在統計領域中經常用到。高斯函數在光學中常用來描述激光器發出的高斯光束，有時也用于光學信息處理中的切趾術。2、篩選性質1、函數和其它函數的乘積3、坐標縮放性質1.2函數性質4、可分離變量性質5、函數是偶函數三、梳狀函數光學上，單位光通量間隔為1個單位的點光源線陣的亮度，可用一個一維梳狀函數表示：n為整數梳狀函數也是廣義函數，其性質可由函數的性質推出。利用坐標縮放性質，可以把間隔為x0的等間距脈沖序列表示為梳狀函數與普通函數的乘積是因此，可以利用梳狀函數對普通函數作等間距抽樣。在x和y方向間隔分別為a和b的二維脈沖序列表示為1.3二維傅里葉變換1、二維傅里葉變換的定義含有兩個變量x,y的函數f(x,y)，其二維傅里葉變換定義為{}在此定義中，本身也是兩個自變量的函數。變換F振幅譜相位譜功率譜類似地，函數f(x,y)也可以用其頻譜函數表示，即：上式稱為F（，）的二維傅里葉逆變換。=-1{}F-1()FF()1.4卷積與相關一、卷積的定義兩個函數f(x,y)和h(x,y)的卷積的定義為：它是包含兩個參量的二重無窮積分，這里的參變量x,y和積分變量，均為實數，但函數f(x,y)和h(x,y)可以是實數，也可以是復數。*號表示卷積運算。1、卷積的定義存在條件：物理上的可能性2023/2/4172、卷積運算的例子例：如下圖，已知兩個函數f(x)和h(x),求其卷積上述卷積的圖解方法，概括起來有四個步驟：折疊、位移、相乘和積分。求卷積的方法：（1）、將f(x)和h(x)變為f()和h()，并畫出相應的曲線（2）、將h()h(-)只要將h()曲線相對縱軸折疊便得到其鏡像h(-)曲線。（3）、對任一x(-,+)，只要將曲線h(-)沿x軸平移x便得到h(x-)x>0右移，x<0,左移（4）、計算所對應的曲線下的面積為了得到卷積，需對-,+的每一個x值求其卷積值。綜合上面的結果可得兩函數的卷積3、卷積運算的兩個效應（1）展寬效應：假設函數只在一個有限區間不為零，這個區間可稱為函數的寬度。一般說來，卷積函數的寬度等于被卷函數的和。（2）平滑效應：被卷積的函數經過卷積運算，其細微結構在一定程度上被消除，函數本身的起伏振蕩變得平緩圓滑。4、卷積運算的基本性質（1）分配律（2）交換律（3）結合律（4）平移不變性已知則令5、函數f(x,y)與函數的卷積2023/2/425二、相關1、互相關的定義兩個函數f(x,y)和g(x,y)的互相關定義為★式中f﹡是函數f的復共軛，★號表示相關運算。令我們可得互相關定義的另一種形式2、互相關的卷積表達式互相關與卷積是不同的兩種運算，參與互相關的兩個函數都不翻轉，但是我們可以把它表示成卷積的形式。若f(x,y)是實偶函數，則★2、互相關的性質（1）證明：令（2）證明：引用施瓦茲不等式其中和一般為復數，其中等號當且僅當=k時才成立，k是復常數。令則由施瓦茲不等式得因為2、自相關1、定義：時互相關成為自相關★當由：互相關的卷積表達式（3）、歸一化互相關函數和自相關函數=歸一化自相關函數1-5傅里葉變換的基本性質和有關定理一、傅里葉變換的基本性質1、線性性質設a,b為常數，則即兩個函數的線性組合的傅里葉變換等于各函數的傅里葉變換的相應組合。FFF2、迭次傅里葉變換對二元函數作二次傅里葉變換，可得其倒立像3、坐標縮放性質4、位移定理函數空域的位移，帶來頻域中的線性相移，另一方面函數在空域中的相移，會導致頻域位移。FFFFFF若請同學業們動手推導請同學業們動手推導ffffff5、體積對應關系6、復共軛函數的傅里葉變換若f(x,y)為實函數，顯然有稱具有厄米對稱性二、傅里葉變換的基本定理1、卷積定理FF說明：空域兩個函數的卷積，在頻域等于其變換的乘積。這一定理有重要的意義，當一個復雜函數可以表示成簡單函數的乘積或卷積時，利用卷積定理可由簡單函數的傅里葉變換來確定復雜函數的傅里葉變換。而且定理為獲得兩個函數的卷積提供了另一途徑，即將兩函數的變換式相乘，再對乘積作逆變換。2、相關定理（1）互相關定理★FFFFF2023/2/438卷積定理證明2023/2/439互相關定理證明互譜能量密度（2）自相關定理★稱為信號f(x,y)的能譜密度3、巴塞伐定理和廣義巴塞伐定理在應用中上述積分都可以表示某種能量。本定理表明對能量的計算，既可以在空域進行，也可以在頻域進行。從物理上看，這是能量守恒的體現，故也稱為能量積分定理。F4、傅里葉積分定理5、導數定理設則有-1FF=-1FFFFF王仕璠《信息光學原理與應用》P29證明：F-1FF5、矩定理由導數定理可得下面的零階、一階和二階矩定理（1）零階矩定理（2）一階矩定理（3）、二階矩定理例題：？利用了高斯函數的傅里葉變換也是高斯函數！例題：求矩形函數的傅里葉變換FF例題：求高斯函數的傅里葉變換FF例題：求余弦函數的傅里葉變換FF例題：求三角函數的傅里葉變換利用卷積定理FFFFF下面利用卷積定理的圖解方法求三角函數的傅里葉變換。這種方法，用圖形表示出函數在空間域和頻率域的對應關系，分析思路直觀且便于記憶。*0-112023/2/451原函數?頻譜函數原函數?頻譜函數11常用函數的傅里葉變換對2023/2/4521.6線性系統定義一個系統對輸入f1和f2的輸出響應為g1、g2，則有若對于任意復常數a1和a2，當輸入函數為a1f1(x,y)+a2f2(x,y)時，輸出為則此系統為線性系統。LLL由線性系統的定義可知，線性系統具有疊加性質，即系統對幾個輸入的線性組合的整體響應就等于各單個輸入產生的響應的線性組合。利用線性系統的疊加性質，可以方便地求出系統對于任意復雜輸入的響應。方法是：首先，我們把復雜的輸入分解成許多更加基本的函數，即“基元”函數的線性組合。而基元函數的響應是較容易單獨確定的。這些基元函數的響應再經線性組合，就可以得到復雜輸入所對應的輸出，這是線性系統的最大好處。基元函數通常是指不能再分解的基本函數。在線性分析系統中，常用的基元函數有函數、余弦函數、和復指數函數。脈沖響應以函數作為基元函數，研究輸入與輸出的關系利用函數的篩選性質，任何輸入函數都可以分解為函數的線性組合這個積分可以看成是x,y平面上無窮多個不同位置（，）處的以權重為系數的線性疊加函數L的意義是：輸入平面上位于x=,y=處的單位脈沖（點光源）通過系統后在輸出平面上得到的分布。所以它是脈沖響應或點擴散函數。對于給定的光學系統，點擴散函數一般與輸入點脈沖的位置（,）有關。令脈沖響應式（*）通常稱為疊加積分，它描述了線性系統輸入和輸出的變換LLL顯然，線性系統的性質完全由它對單位脈沖的響應表征。只要知道系統對位于輸入平面上所有可能的點上的脈沖的響應，就可以通過疊加積分而完全確定系統的輸出。另外，如果系統的輸入和輸出之間滿足疊加積所描述的關系，就可以認為這是一個線性系統。令脈沖響應式（*）通常稱為疊加積分，它描述了線性系統輸入和輸出的變換Lh的波形可能并不相同。其函數形式與輸入時刻有關，記為四、線性不變系統一個線性系統的性質可能是隨時間（或空間位置）變化的。例如，一個電路系統，不同時刻輸入的時間脈沖信號，其響應L顯然，要做到這一點，是相當困難的。不過對于線性系統的一個重要子類——線性不變系統，分析才變得十分簡單。若輸入脈沖延遲時間，其響應僅僅有相應的時間延遲，而函數形式不變，即L我們稱這樣的線性系統是時不變系統。這種系統輸入與輸出之間的變換關系是確定的，不隨時間變化。固定電阻、電容、電感的特性在一段時間內，可看作是不隨時間變化的，它們組成的電路是時不變的。一個空間脈沖（如單位點光源）在輸入平面上位移，線性系統的響應函數形式不變，只是產生相應的位移，即L這樣的系統稱為空間不變系統或位移不變系統對于線性不變系統，疊加積分式變為式中h(x,y)是坐標原點單位脈沖響應，它可以表征線性空不變系統的性質。上式（**）積分稱為卷積積分，其含義仍舊是指：把輸入函數f(x,y)分解為無窮多個函數的線性組合，每個脈沖都按其位置加權，然后把系統對于每個脈沖的響應疊加在一起就得對于f(x,y)的整體響應。與（*）式不同的是，不論輸入脈沖位置如何，系統脈沖響應的函數的形式是相同的。因而系統的作用可以用一個脈沖響應函數來表征。2023/2/461五、線性不變系統的傳遞函數上式是輸入和輸出關系在空域表示，利用卷積定理，可以得到頻率的關系式。輸入頻譜輸出頻譜系統的傳遞函數或頻率響應它決定了輸入頻譜中各種頻率成分通過系統時將發生什么樣的變化。說明：對線性平移不變系統，可以采用兩種研究方法。一是在空域通過輸入函數與脈沖響應函數的卷積求得輸出函數；二是在頻域求得輸入函數與脈沖響應兩者各自的頻譜函數的積。再對該積求逆傅里葉變換求得輸出函數。線性不變系統的本征函數定義：如果函數f(x,y)滿足條件式中a為一復數，叫本征值，則稱f(x,y)為算符所表征的系統的也就是說，系統的本征函數是一個特定的輸入函數，相應的輸出函數等于輸入函數與一復常數的乘積。由上面的討論可知，復指數函數可以形式不變地通過線性不變系統，因此，它正是線性不變系統的本征函數。在分析線性不變系統時，取復指數函數為基元函數是非常方便的。L本征函數L對于非相干處理系統，系統對光強是線性的，這種系統可以把一個實值輸入變換成一個實值輸出，也是一種常見的系統，這類系統的傳遞函數是厄米的，即有：令振幅傳遞函數相位傳遞函數偶函數奇函數1.7.1單色光波場的復振幅表示單色光場中某一點P在時刻t的光振動可表示為式中是光波的時間頻率。a(P)和（P）分別是P點的光振動的振幅和初相位。1.7二維光場分析一個理想的單色光波對于時間和空間都是無限的。考察實際發光過程，它總是發生在一定時間和一定空間范圍內，所以理想單色光波是不存在的。但是在實際存在的光波中，有的光波僅僅包含以某一頻率為中心的很窄的頻率范圍，即窄帶光。單色光的結論可以推廣到窄帶光。對寬帶的非單色光，可以將它們分解為單色光。然后再應用單色光的有關結論。根據歐拉公式，一個余弦函數可以表示為相應的復指數函數的實部。因此，u(P,t)也可以表示為如下式子式中Re{}表示對括號內復函數取實部。顯然，利用復指數函數表示光振動，便于把相位中空間部分（P）和由時間變量決定的部分2t分開來。定義一個新物理量U（P）—單色光場中P點的復振幅

它與時間無關，而僅是空間位置的函數。對于單色光波，由于頻率恒定，由時間變量確定的相位因子exp(-j2t)對于光場中各點來說均是相同的。光場中光振動的空間分布完全由復振幅U隨空間位置的變化所確定。1、球面波的復振幅從點光源發出的光，其波面表現為球面波。我們常把一個復雜的光源看做是許多點光源的集合，因此，點光源是一個重要的基本光源，球面波是基本的波面形式。（設點光源初相為零）發散波a0是距光源單位距離處的振幅會聚波（設點光源初相為零）發散波任一點P處的復振幅為--波數同理，對于會聚球面波，其復振幅為下面討論球面波在直角坐標系中光場的分布表達式許多問題中，我們所關心的往往是某個確定平面的上的光場分布，所以下面重點討論某一特定平面上復振幅的數學表達式。0當xy平面上只考慮一個對s點張角不太大的范圍，這時有傍軸條件作泰勒級數展開，略去高階項得上式代入發散球面波復振幅公式得到xy平面上產生的復振幅分布為2023/2/471在相位因子中包括兩項：描述了位相隨x,y平面坐標的變化我們稱之為球面波的（二次）相位因子，當平面上復振幅分布的表達式中包含有這一因子，就可近似認為距離該平面z處有一點光源發出的球面波經過這個平面。exp(jkz)是常量位相因子x,y平面上位相相同的點的軌跡，即等相位線方程為式中c表示某一常量。不同c值所對應的等相位線構成一簇同心圓，它們是球形波面與x,y平面的交線。要注意的是相位值差2的同心圓之間的間隔并不相等，而是由中心向外愈來愈密集。當光源位于x0，y0平面的坐標原點上，傍軸近似下，發散球面波在x,y平面上復振幅分布為2023/2/473會聚球面波在x,y平面上復振幅分布為它表示經過x,y平面向距離為處會聚的球面波在該平面產生的復振幅分布。2、平面波的復振幅平面波也是光波最簡單的一種形式。點光源發出的光經透鏡準直，或者把點光源移到無窮遠處，可以近似獲得平面波。沿方向傳播的單色平面波，在光場中P（x,y,z)點產生的復振幅可以表示為式中，a表示常量振幅，cos,cos,cos為傳播方向的方向余弦。利用式中是常量位相因子，不隨x,y平面坐標變化。2023/2/476稱為平面波線性相位因子若平面上復振幅分布的表達式中包含這一因子，就可知道它代表一個方向余弦為cos,cos的平面波經過該平面。等位相線的方程是不同C值所對應的等位相線是一些平行斜線。下圖中用虛線表示出相位值差2的一組波面與x,y平面的交線，即等相位線，它們是一組等距離的平行斜線。由于相位值相差2的點光振動實際相同，所以平面上復振幅分布的基本特點是以相位值2為周期分布。這是平面波傳播的空間周期特點在x,y平面上的具體表現。它是下面討論平面波空間頻率概念的基礎。01.7.2平面波的空間頻率平面波的空間頻率是信息光學中常用的基本物理量，深入理解這個概念的物理含義是很重要的。X如圖，研究波矢k在x0z平面內的簡單情況。這時波面垂直于x0z平面。由于等相位線方程為與不同C對應的等相位線是一些與x軸垂直的平行直線。復振幅在xy平面上周期分布的空間周期可以用相位差為2的兩相鄰等位線的間距X表示。所以有X方向的空間頻率為（單位長度內變化的周期數）其單位是周/mm因為等相位線平行于y軸，復振幅沿y方向不變，可認為沿y方向空間周期Y=，相應的空間頻率為這樣一來，傳播方向余弦為（cos,0）的單色平面波在xy平面上復振幅的周期分布就可用x,y方向的空間頻率來描述上式直接通過空間頻率表示x,y平面上的復振幅分布。由空間頻率與傳播方向余弦之間的對應關系，可以認為該式代表一個傳播方向余弦為cos=