學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE20學必求其心得，業必貴于專精PAGE4.2空間圖形的公理（二）學習目標1。掌握公理4及等角定理.2。掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角．知識點一平行公理(公理4）思考在平面內,直線a，b,c，若a∥b，b∥c，則a∥c。該結論在空間中是否成立？梳理平行公理(1）文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行．(2）符號表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a∥b,b∥c）)?a∥c.知識點二空間兩直線的位置關系思考在同一平面內，兩條直線有幾種位置關系？觀察下面兩個圖形，你能找出既不平行又不相交的兩條直線嗎?梳理異面直線的概念(1)定義：不同在______________平面內的兩條直線．（2)異面直線的畫法(襯托平面法)如圖（1)（2)所示，為了表示異面直線不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托．(3)判斷兩直線為異面直線的方法①定義法；②兩直線既不平行也不相交．（4)空間兩條直線的三種位置關系①從是否有公共點的角度來分：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（沒有公共點\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（，）),有且僅有一個公共點—-)）②從是否共面的角度來分:eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（在同一平面內\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(,）)，不同在任何一個平面內-—））知識點三等角定理思考觀察圖，在長方體ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC與∠A′D′C′，∠ADC與∠D′A′B′的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系如何？梳理等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應________，則這兩個角________或________．知識點四異面直線所成的角思考在長方體A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，則“直線BC1與直線BC所成的角”與“直線AD1與直線BC所成的角"是否相等？梳理異面直線所成角的定義定義前提兩條異面直線a,b作法經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b結論我們把a′與b′所成的______________叫作異面直線a與b所成的角(或夾角）范圍記異面直線a與b所成的角為θ，則________________．特殊情況當θ＝________時，a與b互相垂直，記作：________.類型一公理4及等角定理的應用例1在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分別棱AD和A1D1的中點．求證：∠BMC＝∠B1M1C1.反思與感悟（1）空間兩條直線平行的證明：①定義法：即證明兩條直線在同一平面內且兩直線沒有公共點．②利用公理4找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．(2）“等角”定理的結論是相等或互補,在實際應用時，一般是借助于圖形判斷是相等，還是互補,還是兩種情況都有可能．跟蹤訓練1如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中,M，N分別是棱CD,AD的中點．求證：（1)四邊形MNA1C1是梯形；(2）∠DNM＝∠D1A1C1.類型二異面直線eq\x(命題角度1異面直線的判定）例2(1）若a，b是異面直線,b,c是異面直線,則a，c的位置關系是（)A．異面 B．相交或平行C．平行或異面 D．相交、平行或異面(2）如圖，已知正方體ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線?反思與感悟判斷兩直線是否為異面直線,只需判斷它們是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是異面直線．跟蹤訓練2(1)在四棱錐P－ABCD中，各棱所在的直線互相異面的有________對．（2)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？eq\x(命題角度2求異面直線所成的角）例3如圖所示，已知三棱錐A－BCD中,AB＝CD，且直線AB與CD成60°角，點M,N分別是BC，AD的中點，求直線AB和MN所成的角．反思與感悟（1）異面直線一般依附于某幾何體，所以在求異面直線所成的角時，首先將異面直線平移成相交直線,而定義中的點O常選取兩異面直線中其中一個線段的端點或中點或幾何體中的某個特殊點．（2）求異面直線所成的角的一般步驟①作角:平移成相交直線．②證明：用定義證明前一步的角為所求．③計算：在三角形中求角的大小，但要注意異面直線所成的角的范圍．跟蹤訓練3如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E,F分別為平面A′B′C′D′與AA′D′D的中心,則EF與CD所成角的度數是______．1．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是（)A．平行或異面 B．相交或異面C．異面 D．相交2．若OA∥O′A′,OB∥O′B′，且∠AOB＝130°,則∠A′O′B′為(）A．130°B．50°C．130°或50°D．不能確定3．下列四個結論中錯誤命題的個數是()①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；②平行于同一直線的兩直線平行；③若直線a，b，c滿足a∥b,b⊥c，則a⊥c;④若直線l1，l2是異面直線,則與l1,l2都相交的兩條直線是異面直線．A．1B．2C．3D．44．如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．（填序號)5．如圖所示,在正方體ABCD—A1B1C1D1中．（1)求A1C1與B1C所成角的大小；(2）若E,F分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小．1．判定兩直線的位置關系的依據就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．2．在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉化,這是我們學習立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強調的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°,90°]，解題時經常結合這一點去求異面直線所成角的大小．作異面直線所成的角．可通過多種方法平移產生，主要有三種方法:①直接平移法（可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補形平移法（在已知圖形中,補作一個相同的幾何體，以便找到平行線）．答案精析問題導學知識點一思考成立．知識點二思考平行與相交．教室內的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側所在的直線；六角螺母中直線AB與CD.梳理(1）任何一個(4）①平行異面相交②平行相交異面知識點三思考從圖中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.梳理平行相等互補知識點四思考相等．梳理銳角（或直角)0°〈θ≤90°90°a⊥b題型探究例1證明在正方形ADD1A1中，M，M1分別為AD,A1D1的中點,∴A1M1綊AM，∴四邊形AMM1A1是平行四邊形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B,∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM。由平面幾何知識可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角．∴∠BMC＝∠B1M1C1。跟蹤訓練1證明（1）如圖，連接AC，在△ACD中，∵M,N分別是CD,AD的中點，∴MN是△ACD的中位線，∴MN∥AC，MN＝eq\f（1，2)AC.由正方體的性質得AC∥A1C1，AC＝A1C1?！郙N∥A1C1,且MN＝eq\f（1,2）A1C1,即MN≠A1C1,∴四邊形MNA1C1是梯形．(2）由（1）可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補．而∠DNM與∠D1A1C1均為銳角，∴∠DNM＝∠D1A1C1。例2D[異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明a、b異面，直線c的位置可如圖所示．］(2)解由異面直線的定義可知,棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線．跟蹤訓練2(1)8解析與AB異面的有側棱PD和PC,同理，與底面的各條邊異面的都有兩條側棱，故共有異面直線4×2＝8(對）．(2）解還原的正方體如圖所示．異面直線有三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.例3解如圖，取AC的中點P，連接PM,PN,因為點M，N分別是BC，AD的中點，所以PM∥AB，且PM＝eq\f（1,2）AB；PN∥CD，且PN＝eq\f(1，2）CD，所以∠MPN（或其補角）為AB與CD所成的角．所以∠PMN(或其補角）為AB與MN所成的角．因為直線AB與CD成60°角，所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°。又因為AB＝CD，所以PM＝PN。（1)若∠MPN＝60°，則△PMN是等邊三角形，所以∠PMN＝60°，即AB與MN所成的角為60°.（2）若∠MPN＝120°，則易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即AB與MN所成的角為30°。綜上，直線AB與MN所成的角為60°或30°。跟蹤訓練345°解析連接B′D′,則E為B′D′的中點，連接AB′，則EF∥AB′，又CD∥AB，所以∠B′AB為異面直線EF與CD所成的角，即∠B′AB＝45°.當堂訓練1．B［如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,AA1與BC是異面直線，又AA1∥BB1，AA1∥DD1,顯然BB1∩BC＝B，DD1與BC是異面直線，故選B.］2．C［根據定理,∠A′O′B′與∠AOB相等或互補，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.]3．B[①④均為錯誤命題．①可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直．④如圖甲所示，c、d與異面直線l1、l2交于四個點，此時c、d異面；當點A在直線l1上運動(其余三點不動）時，會出現點A與B重合的情形,如圖乙所示,此時c、d共面相交．]4．②④解析①中，∵G，M是中點,∴AG綊BM，∴GM綊AB綊HN，∴GH∥MN，即G，H,M，N四點共面；②中，∵H,G，N三點共面，且都在平面HGN內，而點M顯然不在平面HGN內，∴H，G，M，N四點不共面，即GH與MN異面；③中，∵G,M是中點，∴GM綊eq\f(1,2）CD,∴GM綊eq\f（1，2)HN，即GMNH是梯形，則GH,MN必相交,∴H，G，M，N四點共面;④中，同②，G，H，M，N四點不共面，即GH與MN異面．5.解(1）如圖所示，連接AC,AB1.由六面體ABCD－A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形，∴AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．在△AB1C中，