學業分層測評(一)集合的含義(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．下列對象能構成集合的是()①NBA聯盟中所有優秀的籃球運動員，②所有的鈍角三角形，③2023年諾貝爾經濟學獎得主，④大于等于0的整數，⑤莘縣第一中學所有聰明的學生．A．①②④ B．②⑤C．③④⑤ D．②③④【解析】由集合中元素的確定性知，①中“優秀的籃球運動員”和⑤中“聰明的學生”不確定，所以不能構成集合．【答案】D2．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三邊，則△ABC一定不是()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【解析】因為集合中元素具有互異性，所以a，b，c互不相等，因此選D.【答案】D3．下面有三個命題：①集合N中最小的數是1；②若－a?N，則a∈N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值是2.其中正確命題的個數是()A．0個 B．1個C．2個 D．3個【解析】因為自然數集中最小的數是0，而不是1，所以①錯；對于②，取a＝eq\r(2)，則－eq\r(2)?N，eq\r(2)?N，所以②錯；對于③，a＝0，b＝0時，a＋b取得最小值是0，而不是2，所以③錯．【答案】A4．下列正確的命題的個數有()①1∈N；②eq\r(2)∈N*；③eq\f(1,2)∈Q；④2＋eq\r(2)?R；⑤eq\f(4,2)?Z.A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解析】∵1是自然數，∴1∈N，故①正確；∵eq\r(2)不是正整數，∴eq\r(2)?N*，故②不正確；∵eq\f(1,2)是有理數，∴eq\f(1,2)∈Q，故③正確；∵2＋eq\r(2)是實數，∴2＋eq\r(2)∈R，所以④不正確；∵eq\f(4,2)＝2是整數，∴eq\f(4,2)∈Z，故⑤不正確．【答案】B5．給出下列說法，其中正確的個數為()(1)由1，eq\f(3,2)，eq\f(6,4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，eq\f(1,2)這些數組成的集合有5個元素；(2)方程(x－3)(x－2)2＝0的解組成的集合有3個元素；(3)由一條邊為2，一個內角為30°的等腰三角形組成的集合中含有4個元素．A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)不正確．對于一個給定的集合，它的元素必須是互異的，即集合中的任意兩個元素都是不同的，而eq\f(3,2)與eq\f(6,4)相同，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))與eq\f(1,2)相同，故這些數組成的集合只有3個元素．(2)不正確．方程(x－3)(x－2)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝2，因此寫入集合時只有3和2兩個元素．(3)正確．若2為底邊長，則30°角可以是頂角或底角；若2為腰長，則30°角也可以是頂角或底角，故集合中有4個元素．【答案】B二、填空題6．由m－1,3m，m2－1組成的三元素集合中含有－1，則m的值是________.【導學號：97030003【解析】當m＝0時，三個數分別為－1,0，－1，組成的集合中只有兩個元素，不合題意；當m＝－eq\f(1,3)時，三個數分別為－eq\f(4,3)，－1，－eq\f(8,9)，符合題意，即m只能取－eq\f(1,3).【答案】－eq\f(1,3)7．設集合A是由1，k2為元素組成的集合，則實數k的取值范圍是________．【解析】∵1∈A，k2∈A，結合集合中元素的性質可知k2≠1，解得k≠±1.【答案】k≠±18．由實數t，|t|，t2，－t，t3所構成的集合M中最多含有________個元素．【解析】由于|t|至少與t和－t中的一個相等，故集合M中至多有4個元素．當t＝－2時，t，－t，t2，t3互不相同，此時集合M中元素最多，為4個．【答案】4三、解答題9．設非空數集A滿足以下條件：若a∈A，則eq\f(1,1－a)∈A，且1?A.(1)若2∈A，你還能求出A中哪些元素？(2)“3∈A”和“4∈A”能否同時成立？【解】(1)若2∈A，則eq\f(1,1－2)＝－1∈A，于是eq\f(1,1－－1)＝eq\f(1,2)∈A，而eq\f(1,1－\f(1,2))＝2.所以集合A中還有－1，eq\f(1,2)這兩個元素．(2)若“3∈A”和“4∈A”能同時成立，則eq\f(1,1－a)＝3且eq\f(1,1－a)＝4，由eq\f(1,1－a)＝3解得a＝eq\f(2,3)，由eq\f(1,1－a)＝4解得a＝eq\f(3,4)，矛盾，所以“3∈A”和“4∈A”不能同時成立．10．設P、Q為兩個非空實數集合，P中含有0,2,5三個元素，Q中含有1,2,6三個元素，定義集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，則P＋Q中元素的個數是多少？【導學號：97030004】【解】∵當a＝0時，b依次取1,2,6，得a＋b的值分別為1,2,6；當a＝2時，b依次取1,2,6，得a＋b的值分別為3,4,8；當a＝5時，b依次取1,2,6，得a＋b的值分別為6,7,11.由集合元素的互異性知P＋Q中元素為1,2,3,4,6,7,8,11，共8個．[能力提升]1．集合A含有兩個元素a－3和2a－1，則實數a【解析】由集合中元素的互異性，可得a－3≠2a－1，所以a≠－2.即實數a的取值范圍為a≠【答案】a≠－22．設P、Q是兩個數集，P中含有0,2兩個元素，Q中含有1,2兩個元素，定義集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，則P＋Q中元素的個數是________．【解析】由于a∈P，a＝0或2，b∈Q，b＝1或2，因此a＋b的值為1,2,3,4，共4個．【答案】43．集合A中的元素y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，則t的值為________．【解析】依題意A＝{y∈N|y＝－x2＋1}＝{y∈N|y≤1}＝{0,1}．又t∈A，∴t＝0或1.【答案】0或14．若所有形如3a＋eq\r(