第三章連續系統的時域分析教學要求：3、深刻理解系統單位沖激響應和階躍響應；4、牢固掌握卷積積分的運算規律、主要性質，熟練求取卷積積分；5、能夠應用卷積積分的方法求線性時不變系統的零狀態響應1、了解描述系統激勵與響應關系的微分方程時域求解方法；了解系統的特征方程、特征根的意義；2、深刻理解系統全響應的三種分解方式：

零輸入響應與零狀態響應；自由響應與強迫響應；瞬態響應與穩態響應;

教學重點與難點：

1、微分方程及其解的基本特點；2、階躍響應和沖激響應的求解；

3、卷積運算（難點）；

4、卷積及其在系統分析中的應用。3.1系統的微分方程描述及其求解3.1.1系統的微分方程RLC電路的微分方程為：n階LTI連續系統微分方程的通式齊次解特解

3.1.2微分方程的經典解微分方程的解可以分為齊次解和特解之和。自由響應強迫響應系統的全響應可以分解為自由響應與強迫響應之和。若設該微分方程的特征根為，則相應的特征方程為：根據特征方程的特征根的不同形式，決定齊次解的不同形式。（1）齊次解（自由響應）齊次解就是齊次微分方程的解（a）當特征方程存在n個不同的單根：、……則其解為：其中為待定常數，由系統的初始狀態決定（b）當特征方程存在r個重根和n-r個單根及則其解為：其中和為待定常數，由系統的初始狀態決定(2)特解微分方程的特解形式取決于外界激勵信號的函數形式。（P60）表3.1-1特征根為齊次解yh(t)【例1】

已知某二階線性時不變連續時間系統的微分方程如下

初始條件y(0)=1,y’(0)=2,輸入信號，求系統的完全響應y(t)。

1)求齊次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齊次解yh(t)特征方程為解：2)求非齊次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=

f(t)的特解yp(t)由輸入f(t)的形式，設方程的特解為將特解帶入原微分方程即可求得常數K=1/3解得

C1=5/2，C2=-11/63)求方程的全解代入初始值，得

3.1.3系統的零輸入響應和零狀態響應零輸入響應是指：外界激勵，系統靠初始儲能所維持的響應即；零狀態響應是指：系統初始儲能為零，系統靠外界激勵來維持的響應。可以將零輸入響應看成是一種系統內部特殊“電源”作用下的響應，即將初始狀態等效成理想電壓源或理想電流源。系統的響應可分為兩部分響應之和：1）零輸入響應（Zero－InputResponse）對微分方程，零輸入響應則是f(t)=0，僅由系統初始儲能所引起的響應y(t)零輸入響應的求解相當于求微分方程的齊次解，但條件應用不同。初始狀態2）零狀態響應（Zero-StateResponse）當系統中儲能為零時，由外加的輸入激勵信號f（t）產生的響應稱為零狀態響應。零狀態響應的解可表示為：

yf(t)=齊次解+特解初始狀態3）全響應y(t)的求法零輸入響應和零狀態響應都已求出，則全響應為自由響應448447632148476零狀態響應強迫響應零輸入響應)(ee)()()(11tycctytytypnitfnitxfxiiii++=+=??==ll32143421強迫響應自由響應)(e1tycpnitii+=?=l完全響應＝自由響應＋強迫響應＝零輸入響應＋零狀態響應＝齊次解＋特解＝暫態響應＋穩態響應全解【例2】已知系統的輸入輸出方程為起始狀態為 。求自由響應、強迫響應和零輸入響應、零狀態響應。得，特征根

λ=-3λ+3=0【解】首先求自由響應和強迫響應。由特征方程所以，齊次解為

設特解yp(t)=A，代入微分方程，得A=1。

所以

全解為

已知

所以由此，系統自由響應和強迫響應分別為

求零輸入響應和零狀態響應：可設零輸入響應、零狀態響應分別為因為 ，可分別解得

所以，系統零輸入響應和零狀態響應分別為

全響應強迫響應自由響應零狀態響應零輸入響應注：1、自由響應的變化規律取決于系統的特征根（固有頻率），強迫響應則取決于外加激勵的形式；2、瞬態響應表示隨著t的增長，響應最終趨于零的分量，穩態響應則表示了響應恒定或保持為某個穩定函數的關系。穩態響應瞬態響應3.2.1階躍響應階躍響應是指系統在階躍信號u(t)作用下所產生的零狀態響應。LTI系統f(t)=u(t)x(0)=0y(t)LTI系統的單位階躍響應3.2沖激響應與階躍響應對于一階系統

則階躍響應：特解特征根代入原微分方程，求特解的系數階躍響應所以階躍響應為3.2.2沖激響應LTI系統f(t)=δ(t)x(0)=0y(t)=h(t)圖：LTI系統單位沖激響應