第一章集合與常用邏輯用語章末總結教學目標及核心素養教學目標1.能夠掌握集合的概念、元素與集合間的關系、集合與集合間的關系、集合的基本運算.；2.熟練地掌握集合的Venn圖表示法和數軸表示法,培養數形結合思想；3.能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要條件的證明；4.掌握全稱命題與特稱命題真假性的判定且能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．核心素養a.數學抽象：集合的概念、元素與集合間的關系、集合與集合間的關系、命題間的關系的判斷；b.邏輯推理：判斷集合間的關系、兩個命題滿足什么條件；c.數學運算：求集合的交集、并集、補集；d.直觀想象：通過數形結合在數軸上畫出相應的集合區間；e.數學建模：轉化思想的應用：將集合間的關系、命題間的關系轉化為數據，再求相關問題.專題一集合的表示【例1】

設集合A={0,1,2},則集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的個數是(

)A.1 B.3 C.5 D.9分析:正確理解集合B中x,y的取值,結合集合中元素的特征寫出集合B.主題串講

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解析:因為A={0,1,2},又集合B中元素為x-y,且x∈A,y∈A,所以x的可能取值為0,1,2,y的可能取值為0,1,2.當x=0時,y=0或1或2,此時對應的x-y的值為0,-1,-2;當x=1時,y=0或1或2,此時對應的x-y的值為1,0,-1;當x=2時,y=0或1或2,此時對應的x-y的值為2,1,0.綜上可知,集合B={-2,-1,0,1,2},所以集合B中元素的個數為5.答案:C解題技巧：1.若已知集合是用描述法給出的,則讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關鍵.2.若已知集合是用列舉法給出的,則整體把握元素的共同特征是解題的關鍵.3.對集合中的元素要進行驗證,保證集合內的元素不重復.【跟蹤訓練1】

設集合A={x∈Z|0<x<4},B={x|(x-4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},則集合M中元素的個數為(

)A.3 B.4 C.5 D.6解析:由已知可得A={1,2,3},B={4,5},則a的取值可能為1,2,3,b的取值可能為4,5.故a+b的值可能為5,6,7,8,即集合M中有4個元素.答案:B專題二集合間的基本關系【例2】

已知集合A={x|0≤x<4},B={x|x<a},若A?B,求實數a的取值集合.分析:將集合A在數軸上表示出來,再將B在數軸上表示出來,使得A?B,即可求出a的取值范圍.解:將集合A表示在數軸上(如圖),要滿足A?B,表示數a的點必須在表示4的點處或在表示4的點的右邊,所以所求a的取值集合為{a|a≥4}.解題技巧：1.利用集合的基本關系求參數的問題,借助數軸分析時,要驗證參數能否取到端點值.2.要注意空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.【變式訓練2】

已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若N?M,則實數a的值為

.

解析:當N=?,即a=0時,符合題意;當N≠?時,a≠0,綜上,實數a的值為0或1或-1.答案:0或1或-1專題三集合的基本運算(1)當a=-1時,求A∩B和A∪B;(2)若(?RA)∩B=B,求實數a的取值范圍.分析:(1)先將a=-1代入集合B,再借助數軸求解;(2)先將(?RA)∩B=B轉化為B??RA,再分B=?和B≠?兩種情況討論.解:(1)當a=-1時,B={x|-2<x<1},∵(?RA)∩B=B,∴B??RA.當B=?時,2a≥a+2,解得a≥2;解題技巧：1.若所給集合是有限集,則首先把集合中的元素一一列舉出來,然后結合交集、并集、補集的定義來求解.另外,針對此類問題,在解答過程中也常常借助Venn圖來求解.這樣處理起來比較直觀、形象,且解答時不易出錯.2.若所給集合是無限集,則常借助數軸,首先把已知集合及全集分別表示在數軸上,然后再根據交集、并集、補集的定義求解,這樣處理比較形象直觀,解答過程中注意邊界問題.【跟蹤訓練3】

設全集U=R,集合A={x|x≤-2或x≥5},B={x|x≤2}.求:(1)?U(A∪B);(2)記?U(A∪B)=D,C={x|2a-3≤x≤-a},且C∩D=C,求a的取值范圍.解:(1)由A={x|x≤-2或x≥5},B={x|x≤2},可知A∪B={x|x≤2或x≥5}.又全集U=R,故?U(A∪B)={x|2<x<5}.(2)由(1)得D={x|2<x<5}.由C∩D=C,得C?D.①當C=?時,有-a<2a-3,解得a>1;綜上可知a的取值范圍為a>1.

專題四充分條件、必要條件的判斷及應用解析：要使不等式x2－2ax＋a>0的解集為R，應有Δ＝(－2a)2－4a<0，即4a2－4a<0，所以0<a<1，此即為“關于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集為R”的充要條件，因此一個必要不充分條件是0≤a≤1.答案：C(2)已知x，y都是非零實數，且x>y，求證：的充要條件是xy>0.解題技巧：專題五全稱量詞命題與存在量詞命題的否定【例5】寫出下列命題的否定,并判斷其真假:(1)有些質數是奇數;(2)菱形的對角線互相垂直;(4)不論m取何實數,方程x2+2x-m=0都有實數根.解析:(1)“有些質數是奇數”是特稱命題,其否定為“所有質數都不是奇數”,它是假命題.(2)“菱形的對角線互相垂直”是全稱命題,其否定為“有的菱形的對角線不垂直”,它是假命題.(4)“不論m取何實數,方程x2+2x-m=0都有實數根”是全稱命題,其否定為“存在實數m0,使得方程x2+2x-m0=0沒有實數根”,它是真命題.解題技巧：(1)一般地,寫含有一個量詞的命題的否定,首先要明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并找到其量詞的位置及相應結論,然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞,存在量詞改成全稱量詞,同時否定結論.(2)對于省略量詞的命題,應先挖掘命題中隱含的量詞,改寫成含量詞的完整形式,再依據規則來寫出命題的否定.第二章一元二次函數、方程和不等式章末復習課第三章函數的概念與性質章末總結教學目標及核心素養教學目標1.掌握函數的概念；2.了解分段函數，會畫分段函數的圖像；3.理解函數性質并且熟練運用；4.能用函數與方程的思想解決實際問題．核心素養a.數學抽象：函數的概念；b.邏輯推理：函數性質的由來；c.數學運算：求定義域、值域、函數解析式等；d.直觀想象：抽象函數解不等式；e.數學建模：通過建立函數模型，借助函數與方程的思想解決實際問題.專題一函數概念主題串講

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【跟蹤訓練1】題型二分段函數解題技巧1.求分段函數的函數值的方法（1）確定要求值的自變量屬于哪一段區間.（2）代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當出現的形式時，應從內到外依次求值.2.求某條件下自變量的值的方法先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后相應求出自變量的值，切記代入檢驗.3.作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.【跟蹤訓練2】專題三

函數的性質應用(2)若f(x)滿足f(-x)=f(x),且f(x)在(-∞,-1]上是增函數,則(

)解析:∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2),答案:D解題技巧

應用函數的單調性與奇偶性判斷函數值的大小時,先利用函數的奇偶性將自變量轉化到同一個單調區間上,再根據函數的單調性對函數值的大小作出比較.【跟蹤訓練3】題型四冪函數【例4】

（1）函數f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)是增函數,試確定m的值.分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且當x>0時是增函數,可先利用冪函數的定義求出m的值,再利用單調性確定m的值.解:根據冪函數的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當m=3時,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函數;當m=-2時,f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數,不符合要求.故m=3.（2）

已知函數y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,則a,b,c的大小關系為

(

)A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案:A解析:由冪函數的圖象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.解題技巧

1.判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形式,即:(1)系數為1;(2)指數為常數;(3)后面不加任何項.反之,若一個函數為冪函數,則該函數必具有這種形式.2.對于函數y=xα(α為常數)而言,其圖象有以下特點:(1)恒過點(1,1),且不過第四象限.(2)當x∈(0,1)時,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);當x∈(1,+∞)時,指數越大,冪函數的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).(3)由冪函數的圖象確定冪指數α與0,1的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或y=,y=x3)來判斷.(4)當α>0時,冪函數的圖象在區間(0,+∞)上都是增函數;當α<0時,冪函數的圖象在區間(0,+∞)上都是減函數.（1）如果冪函數y=(m2-3m+3)

的圖象不過原點,求實數m的取值.

解:由冪函數的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;當m=1時,m2-m-2=-2,函數為y=x-2,其圖象不過原點,滿足條件;當m=2時,m2-m-2=0,函數為y=x0,其圖象不過原點,滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.【跟蹤訓練4】（2）如圖所示,曲線C1與C2分別是函數y=xm和y=xn在第一象限內的圖象,則下列結論正確的是(

)A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0

D.m>n>0解析:畫出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個函數圖象交于點(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個點的位置關系可知,n<m<0.故選A.答案:A題型五函數模型的應用【例5】

某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果,假設每箱售價不得低于50元且不得高于55元.市場調查發現,若每箱以50元的價格銷售,平均每天銷售90箱.價格每提高1元,平均每天少銷售3箱.①求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數關系式;②求該批發商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數關系式;③當每箱蘋果的售價為多少元時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?解:①根據題意,得y=90-3(x-50),化簡,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②因為該批發商平均每天的銷售利潤=平均每天的銷售量×每箱銷售利潤.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9

600(50≤x≤55,x∈N).③因為w=-3x2+360x-9

600=-3(x-60)2+1

200,所以當x<60時,w隨x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以當x=55時,w有最大值,最大值為1

125.所以當每箱蘋果的售價為55元時,可以獲得最大利潤,且最大利潤為1

125元.解題技巧

1.一次函數模型的應用利用一次函數求最值,常轉化為求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答時,注意系數a的正負,也可以結合函數圖象或其單調性來求最值.2.二次函數模型的應用構建二次函數模型解決最優問題時,可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數的單調性等方法求最值,也可以根據函數圖象的對稱軸與函數定義域的對應區間之間的位置關系討論求解,但一定要注意自變量的取值范圍.1、商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價為每個20元,茶杯每個5元,該商店推出兩種優惠辦法:①買一個茶壺贈一個茶杯;②按總價的92%付款.某顧客需購買茶壺4個,茶杯若干個(不少于4個),若購買茶杯x(個),付款y(元),試分別建立兩種優惠辦法中y與x之間的函數解析式,并討論該顧客買同樣多的茶杯時,兩種辦法哪一種更優惠?【跟蹤訓練5】解:由優惠辦法①可得函數解析式為y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).由優惠辦法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),令y1-y2=0,得x=34.所以,當購買34個茶杯時,兩種優惠辦法付款相同;當4≤x<34時,y1<y2,即優惠辦法①更省錢;當x>34時,y1>y2,優惠辦法②更省錢.第四章指數函數與對數函數章末總結教學目標及核心素養教學目標1.了解指數函數、對數函數的定義；2.掌握指數函數、對數函數的圖像及其性質，并會運用；3.會求函數的零點；4.能用函數與方程的思想解決實際問題．核心素養a.數學抽象：指數函數、對數函數的概念；b.邏輯推理：借助圖像求函數零點；c.數學運算：指數、對數的有關運算；d.直觀想象：函數圖象；e.數學建模：通過建立函數模型，借助函數與方程的思想解決實際問題.f.數據分析：指數函數、對數函數的圖像和性質應用.專題一指數、對數的有關運算問題主題串講

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解題技巧

進行指數式的運算時,要注意運算或化簡的先后順序,一般應將負指數轉化為正指數、將根式轉化為指數式后再計算或化簡,同時注意冪的運算性質的應用;對數運算要注意對數運算性質的正用與逆用,注意對底數的轉化、對數恒等式以及換底公式的靈活運用,還要注意對數運算與指數運算之間的關系及其合理地轉化.【跟蹤訓練一】題型二指數函數、對數函數的定義和性質又t=x2-2x+2=(x-1)2+1,0≤x≤3,∴當x=1時,tmin=1;當x=3時,tmax=5.故1≤t≤5,A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c答案:A例2(4)已知不等式2x+3-2m>0在區間[0,+∞)內恒成立,求實數m的取值范圍.解:原不等式可變形為2m-3<2x,要使此不等式在區間[0,+∞)內恒成立,只需2m-3小于y=2x在區間[0,+∞)內的最小值.當x∈[0,+∞)時,由y=2x的單調性可知y=2x在區間[0,+∞)內的最小值是20=1,所以有2m-3<1,解得m<2.故實數m的取值范圍為(-∞,2).解題技巧1.求定義域注意事項（1）分母不等于零；（2）偶次方根大于等于零；（3）對數函數中真數大于零.2.一般采用換元法轉化為兩個函數，再利用兩個函數的單調性與圖像求值域，換元后注意新元范圍.3.分別判斷a,b,c與0和1的大小,利用中間量法比較大小.4.恒成立問題，采用分離參數，轉化為求最值問題.【跟蹤訓練2】解析:（1）要使函數有意義,則需6x-36≥0,即6x≥62.又函數y=6x在R上是增函數,則x≥2.（2）要使函數有意義,則需1-log3x≥0,即log3x≤1=log33.又函數y=log3x在區間(0,+∞)內是增函數,則x≤3.又x>0,則0<x≤3.答案:（1）[2,+∞)；（2）(0,3].2.若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在區間(-∞,1]上是減函數,則a的取值范圍為(

)A.[1,2) B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)答案:A3.已知a=log2e,b=ln2,c=,則a,b,c的大小關系為(

)A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>b解析:因為c==log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+∞)上單調遞增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1.因為y=ln

x在(0,+∞)上單調遞增,且b=ln

2,所以ln

2<ln

e=1,即b<1.綜上可知,c>a>b.故選D.答案:D專題三

指數函數、對數函數圖象的應用例3（1）已知a>0,且a≠1,函數y=ax與y=loga(-x)的圖象可能是(

)解析:由y=loga(-x)的定義域為(-∞,0)知,圖象應在y軸左側,可排除A,D選項.當a>1時,y=ax應為增函數,y=loga(-x)應為減函數,可知B項正確;而對C項,由y=ax的圖象知y=ax為減函數,則0<a<1,y=loga(-x)為增函數,與C項中y=loga(-x)的圖象不符.答案:B例3（2）若直線y=2a與函數y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的圖象有兩個公共點,則a的取值范圍是

.

解析:當a>1時,通過平移變換和翻折變換可得如圖(1)所示的圖象,解題技巧

指數函數、對數函數圖象的應用有兩個方面:一是已知函數解析式求作函數圖象,即“知式求圖”,此類題目往往是選擇題,常借助于指數函數、對數函數的圖象特征來解決;二是判斷方程的根的個數時,通常不具體解方程,而是轉化為判斷指數函數、對數函數等圖象的交點個數問題.這就要求畫指數函數、對數函數的圖象時盡量準確,特別是一些關鍵點要正確,比如,指數函數的圖象必過點(0,1),對數函數的圖象必過點(1,0).【跟蹤訓練三】答案:D答案:B題型四函數的零點與方程的根例4設方程lgx+x=3的實數解為x0,則x0所在的一個區間是(

)A.(3,+∞) B.(2,3)C.(1,2) D.(0,1)解析:由lg

x+x=3得lg

x=3-x.分別畫出方程lg

x=3-x兩邊對應的函數圖象,如圖所示.由圖知它們的交點x0在區間(2,3)內.答案:B解題技巧

【跟蹤訓練四】1.設函數f(x)=ax+2a+1(a≠0),在-1≤x≤1上f(x)存在一個零點,求實數a的取值范圍.解:因為函數f(x)在-1≤x≤1上存在一個零點,所以f(-1)f(1)≤0,即(-a+2a+1)(a+2a+1)≤0,即(a+1)(3a+1)≤0.題型五函數模型的應用

例5夏天,大家都喜歡吃西瓜,而西瓜的價格往往與西瓜的質量相關.某人到一個水果店去買西瓜,價格表上寫的是:3千克以下,每千克0.8元;大于等于3千克且小于等于4.5千克時,每千克1元;4.5千克以上,每千克1.2元.此人挑了一個西瓜,稱重后店主說5元1角,1角就不要了,給5元吧,可這位聰明的顧客馬上說,你不僅沒少要,反而多收了我的錢.當顧客講出理由后,店主只好承認了錯誤,照實收了錢.你知道顧客是怎樣判斷店主算錯了嗎?解:設這位顧客所購西瓜重x千克,應付款y元,當0<x<3時,0<y<2.4;當3≤x≤4.5時,3≤y≤4.5;當x>4.5時,y>5.4.故所付款不可能是5.1元,所以店主算錯了.解題技巧

解答函數實際應用問題時,一般要分哪四步進行?(1)審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型；(2)建模——將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識建立相應的數學模型；(3)求模——求解數學模型，得出數學模型；(4)還原——將數學結論還原為實際問題．【跟蹤訓練五】1.某服裝廠現有甲種布料42米,乙種布料30米,現計劃用這兩種布料生產M,L兩種型號的校服共40件.已知做一件M型號的校服需用甲種布料0.8米,乙種布料1.1米,可獲利45元;做一件L型號的校服需用甲種布料1.2米,乙種布料0.5米,可獲利30元.設生產M型號的校服件數為x,用這批布料生產這兩種型號的校服所獲的利潤為y(單位:元).(1)寫出y(單位:元)關于x(單位:件)的函數解析式,并求出自變量x的取值范圍;(2)該廠在生產這批校服時,當M型號的校服為多少件時,能使該廠所獲的利潤最大?最大利潤為多少?解:(1)生產M型號的校服為x件時,生產L型號的校服為(40-x)件,因此生產兩種型號的校服所獲利潤y=45x+30(40-x),即y=15x+1

200.所以自變量x的取值為15或16.(2)因為y=15x+1

200,y隨x的增大而增大,所以當x=16時,y取最大值15×16+1

200=1

440,即工廠安排生產M型號的校