分式的知識點解析與培優分式的定義:假如A、B表達兩個整式,并且B中具有字母,那么式子叫做分式。判斷分式的依據:例:下列式子中，、8a2b、-、、、2-、、、、、、、中分式的個數為（）A、2B、3Ｃ、４Ｄ、5練習題:(1)下列式子中,是分式的有.；⑵;⑶;⑷;⑸;⑹.（7）(8)(９）分式故意義的條件是分母不為零;【B≠0】分式沒故意義的條件是分母等于零;【B=０】分式值為零的條件分子為零且分母不為零。【Ｂ≠0且A＝0即子零母不零】例２.注意：（≠０)例1：當x時,分式故意義;例2：分式中,當時，分式沒故意義例3:當x時,分式故意義。例４：當x時,分式故意義例5：,滿足關系時,分式無意義;例6:無論x取什么數時，總是故意義的分式是(）A．B．C.Ｄ.例7：使分式故意義的x的取值范圍為（）A．B.Ｃ．D.例8:分式無意義，則x的值為(）Ａ.2B．-1或-3C.－1D.3三、分式的值為零:使分式值為零:令分子=０且分母≠０,注意：當分子等于0時，看看是否使分母=0了,假如使分母=0了，那么要舍去。例1：當ｘ時,分式的值為0.例2：當ｘ時,分式的值為0.例3：假如分式的值為零,則a的值為()A．Ｂ.２C.－2D.．以上全不對例4：能使分式的值為零的所有的值是(）A.x=0Ｂ.ｘ-1Ｃ．x=０或x＝1D．或例5：要使分式的值為0,則ｘ的值為()A．3或-3 Ｂ.３C.-3D２例6:若，則a是()A.正數B．負數C.零D.任意有理數例9:當Ｘ＝時,分式的值為零。例10:已知-＝３,則＝。三、分式的基本性質:分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變。例１:；;假如成立，則ａ的取值范圍是_____＿＿_;例2：例３:假如把分式中的ａ和ｂ都擴大１0倍,那么分式的值（）A、擴大10倍B、縮小10倍C、是本來的20倍D、不變例4：假如把分式中的x,y都擴大10倍,則分式的值（)擴大1０0倍Ｂ.擴大10倍C.不變D.縮小到本來的例５:假如把分式中的x和ｙ都擴大2倍，即分式的值（）A、擴大2倍;Ｂ、擴大４倍；Ｃ、不變；D縮小2倍例６:假如把分式中的x和y都擴大2倍,即分式的值（）Ａ、擴大2倍；B、擴大4倍;C、不變;D縮小2倍例７：假如把分式中的x和y都擴大２倍,即分式的值()Ａ、擴大２倍;Ｂ、擴大4倍；C、不變;D縮小倍例８:若把分式的ｘ、y同時縮小12倍,則分式的值（??)Ａ.擴大12倍Ｂ.縮小12倍C．不變?D．縮小6倍例9:若x、y的值均擴大為本來的２倍,則下列分式的值保持不變的是（)A、Ｂ、C、Ｄ、例10:根據分式的基本性質,分式可變形為（)A.Ｂ.C.D.例１1:不改變分式的值,使分式的分子、分母中各項系數都為整數,；例１2：不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數為正數,＝。例１３．不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數為正數,則是()。四、分式的約分：關鍵先是分解因式。分式的約分及最簡分式:①約分的概念：把一個分式的分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分②分式約分的依據：分式的基本性質．③分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式.④約分的結果:最簡分式(分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式)約分重要分為兩類:第一類:分子分母是單項式的,重要分數字,同字母進行約分。第二類:分子分母是多項式的,把分子分母能因式分解的都要進行因式分解，再去找共同的因式約去。例１：下列式子（1)；（2）；(3)；(4)中對的的是（)Ａ、1個B、2個Ｃ、3個D、4個例2:下列約分對的的是(）A、;B、;C、；D、例3：下列式子對的的是（)AB.C.D．例4:下列運算對的的是（)B、C、D、例５:化簡的結果是（）A．B．C.D.例7:約分:;＝；；。例8:約分：=；；;;__＿__＿_____例9：分式，，，中，最簡分式有（)A．1個B.2個C.3個D.4個例８.分式，，，中是最簡分式的有（)。例９．約分：(１）；(2)例１０．通分:（1），；（２)，例1１.已知x2+3x＋1=0,求x2+的值.例１2.已知x+=3,求的值．分式的通分及最簡公分母:通分:重要分為兩類:第一類：分母是單項式;第二類:分母是多項式（要先把分母因式分解)分為三種類型：“二、三”型;“二、四”型；“四、六”型等三種類型。“二、三”型:指幾個分母之間沒有關系,最簡公分母就是它們的乘積。例如:最簡公分母就是。“二、四”型：指其一個分母完全涉及另一個分母，最簡公分母就是其一的那個分母。例如：最簡公分母就是“四、六”型：指幾個分母之間有相同的因式，同時也有獨特的因式，最簡公分母要有獨特的;相同的都要有。例如：最簡公分母是：這些類型自己要在做題過程中仔細地去了解和應用,仔細的去發現之間的區別與聯系。例１:分式的最簡公分母(）Ｂ．C．D.例２：對分式，，通分時，最簡公分母是(）A．２4x2y3B．1２ｘ２y2C.２４ｘｙ２D.１2ｘy2例3:下面各分式:,,,，其中最簡分式有（）個。Ａ．4 ?Ｂ.3? C.2 Ｄ.1例4：分式，的最簡公分母是．例５：分式a與的最簡公分母為＿__________＿＿___；例６:分式的最簡公分母為。五、分式的運算：分式的乘，除,乘方以及加減分式的乘法:乘法法測：·=.分式的除法:除法法則：÷＝·=分式的乘方:求n個相同分式的積的運算就是分式的乘方,用式子表達就是()ｎ分式的乘方,是把分子、分母各自乘方．用式子表達為：(）n=(n為正整數）分式的加減法則:同分母的分式相加減，分母不變,把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變為同分母分式,然后再加減。混合運算:運算順序和以前同樣。能用運算率簡算的可用運算率簡算。例題:計算：(1）(2)（3)(4)（5）(6)(8)(９）(10)求值題:(1）已知：,求的值。已知：，求的值。（3）已知:,求的值。乘方例題：計算：(1）（2）==(４)=(5)（6)(7）已知：求的值。（８)．當分式--的值等于零時,則ｘ＝_＿___。(9)．已知a+b＝3,aｂ=1，則＋的值等于__＿__。（10）.先化簡，再求值:-＋,其中a=。8、分式的加減：分式加減主體分為：同分母和異分母分式加減。1、同分母分式不用通分,分母不變,分子相加減。2、異分母分式要先通分，在變成同分母分式就可以了。通分方法:先觀測分母是單項式還是多項式，假如是單項式那就繼續考慮是什么類型，找出最簡公分母,進行通分;假如是多項式，那么先把分母能分解的要因式分解，考慮什么類型,繼續通分。分類：第一類:是分式之間的加減,第二類：是整式與分式的加減。例1:=例2:＝例3：=例４:＝例５計算：（1)(2)(3）(４）－－.例6：化簡＋+等于()A．B．C.D．例7：（2)（4）－（6）(8)（9)（10）+.例8:計算的結果是（)ABCＤ例9：請先化簡:,然后選擇一個使原式故意義而又喜歡的數代入求值.例１0：已知：求的值。分式的混合運算:例1:例2:例3:例4:例５:例6:例7：例8：１0、分式求值問題:例1:已知ｘ為整數,且＋+為整數,求所有符合條件的x值的和.例2:已知ｘ＝2,y＝，求÷的值．例3:已知實數x滿足4x２-4ｘ+l=Ｏ,則代數式2x＋的值為_＿___＿_＿．例４：已知實數ａ滿足a２+2a-8=0,求的值．例5：若求的值是（).Ａ．B．C．D.例6：已知,求代數式的值例７：先化簡,再對取一個合適的數，代入求值.練習題:,其中x=５．,其中ａ=5（3)，其中a＝-３，b=2（4）；其中a=85；（5）,其中x=－１(6)先化簡,再求值:÷(x+2－)．其中ｘ=－２．（7）(8)先化簡,，再選擇一個你喜歡的數代入求值.11、分式其他類型試題：例1:觀測下面一列有規律的數：,，,,,,……根據其規律可知第ｎ個數應是＿__(n為正整數）例2:觀測下面一列分式:根據你的發現，它的第8項是,第ｎ項是。例3:當ｘ=＿___＿＿_時,分式與互為相反數.例4：在正數范圍內定義一種運算☆，其規則為☆=,根據這個規則☆的解為(?）A.B．Ｃ．或1D.或例5:已知，則;例6:已知,則（）A.? Ｂ．C.D．例７：已知，求的值;例8:設,則的值是()A.B．0C．1Ｄ.1２、化為一元一次的分式方程：(１)分式方程：含分式，并且分母中含未知數的方程——分式方程。（2)解分式方程的過程,實質上是將方程兩邊同乘以一個整式（最簡公分母),把分式方程轉化為整式方程。解分式方程時,方程兩邊同乘以最簡公分母時,最簡公分母有也許為0,這樣就產生了增根,因此分式方程一定要驗根。(3)解分式方程的環節：（1）能化簡的先化簡；（2)方程兩邊同乘以最簡公分母,化為整式方程；(3）解整式方程；(４)驗根.例1：假如分式的值為－1,則x的值是;例2：要使的值相等,則x=_＿_＿_＿__＿_。例3:當m＝_＿＿__時,方程=2的根為.例4：假如方程的解是x＝5，則a＝。例5:(1)(2）例6:解方程：例7：已知:關于ｘ的方程無解，求a的值。例8：已知關于x的方程的根是正數，求ａ的取值范圍。例9:若分式與的2倍互為相反數，則所列方程為_＿__＿_______＿__＿_____＿___＿_；例１0：當ｍ為什么值時間？關于的方程的解為負數?例1１:解關于的方程例12：解關于x的方程:例13:當a為什么值時,的解是負數?例14:先化簡，再求值:,其中x,y滿足方程組例15知關于x的方程的解為負值，求ｍ的取值范圍。練習題:（1)（2)(3)(4)（5)（6）(7)(8)(9）１3、分式方程的增根問題:（1）增根應滿足兩個條件：一是其值應使最簡公分母為0,二是其值應是去分母后所的整式方程的根。(２)分式方程檢查方法:將整式方程的解帶入最簡公分母,假如最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。例1:分式方程+1=有增根，則m＝例２：當ｋ的值等于時，關于x的方程不會產生增根；例3：若解關于ｘ的分式方程會產生增根，求m的值。例４：取時，方程會產生增根；例5：若關于x的分式方程無解,則m的值為＿＿_＿__。例６:當k取什么值時？分式方程有增根.例7:若方程有增根，則m的值是()A．4Ｂ．３C．－3D.１例8:若方程有增根,則增根也許為(）A、0B、2Ｃ、0或2D、１１5、分式的應用題：（１)列方程應用題的環節是什么？(1)審;（２）設；(3）列;(4）解；(5)答.（2)應用題有幾種類型;基本公式是什么？基本上有四種:a.行程問題:基本公式：路程＝速度×時間而行程問題中又分相遇問題、追及問題.b．數字問題：在數字問題中要掌握十進制數的表達法．ｃ.工程問題：基本公式：工作量=工時×工效．ｄ.順水逆水問題:v順水=v靜水+v水．v逆水=ｖ靜水－v水．工程問題:例1:一項工程,甲需x小時完畢，乙需y小時完畢,則兩人一起完畢這項工程需要＿__＿__小時。例2：小明和小張兩人練習電腦打字，小明每分鐘比小張少打6個字，小明打1２0個字所用的時間和小張打１80個字所用的時間相等。設小明打字速度為x個/分鐘，則列方程對的的是（)A．B.C.Ｄ.例3:某工程需要在規定日期內完畢,假如甲工程隊獨做,恰好如期完畢;假如乙工作隊獨做,則超過規定日期3天,現在甲、乙兩隊合作2天,剩下的由乙隊獨做,恰好在規定日期完畢,求規定日期．假如設規定日期為x天,下面所列方程中錯誤的是(）A.B.C.D.例４:一件工程甲單獨做小時完畢,乙單獨做小時完畢，甲、乙二人合作完畢此項工作需要的小時數是()．A.B.C．D.例5：趙強同學借了一本書,共２80頁，要在兩周借期內讀完，當他讀了一半時,發現平時天天要多讀２1頁才干在借期內讀完.他讀了前一半時,平均天天讀多少頁?假如設讀前一半時,平均天天讀x頁,則下列方程中,對的的是()B、C、D、例6：某煤廠原計劃天生產1２0噸煤，由于采用新的技術，天天增長生產3噸,因此提前2天完畢任務,列出方程為(）ABＣD例７:某工地調來7２人參與挖土和運土工作，已知3人挖出的土1人恰好能所有運走,問如何調配勞動力才使挖出來的土能及時運走且不窩工?要解決此問題,可設派人挖土.列方程①；②;③;④.例8:八（1）、八(２）兩班同學參與綠化祖國植樹活動,已知八(1)班每小時比八（2)班多種2棵樹,八（1）班種6６棵樹所用時間與八(2)班種６0棵樹所用時間相同,求:八(1)、八(２）兩班每小時各種幾棵樹？例９：某一一項工程預計在規定的日期內完畢,假如甲獨做剛好能完畢，假如乙獨做就要超過日期3天，現在甲、乙兩人合做2天，剩下的工程由乙獨做，剛剛好在規定的日期完畢,問規定日期是幾天？例１0:服裝廠接到加工72０件衣服的訂單，預計天天做４8件，正好可以準時完畢,后因客戶規定提前5天交貨,則天天應比原計劃多做多少件?例11:為加快西部大開發的步伐，決定新修一條公路,甲、乙兩工程隊承包此項工程。假如甲工程隊單獨施工，則剛好可以按期完畢;假如乙工程隊單獨施工就要超過６個月才干完畢。現在甲、乙兩隊先共同施工4個月，剩下的由乙隊單獨施工，則也剛好可以按期完畢。問師宗縣本來規定修好這條公路需多長時間？例１2：某工程由甲、乙兩隊合做６天完畢,廠家需付甲、乙兩隊共435０元；乙、丙兩隊合做1０天完畢，廠家需付乙、丙兩隊共4750元；甲、丙兩隊合做５天完畢所有工程的，廠家需付甲、丙兩隊共27５０元。(1）求甲、乙、丙各隊單獨完畢所有工程各需多少天?(２)若工期規定不超過20天完畢所有工程,問可由哪隊單獨完畢此項工程花錢最少?請說明理由。價格價錢問題：例1：“五一”江北水城文化旅游節期間,幾名同學包租一輛面包車前往旅游，面包車的租價為１8０元，出發時又增長了兩名同學,結果每個同學比本來少攤了3元錢車費,設參與游覽的同學共x人，則所列方程為??( ?)A． B.Ｃ.?D．例2:用價值1０0元的甲種涂料與價值240元的乙種涂料配制成一種新涂料,其每公斤售價比甲種涂料每公斤售價少3元，比乙種涂料每公斤的售價多1元，求這種新涂料每公斤的售價是多少元？若設這種新涂料每公斤的售價為ｘ元，則根據題意可列方程為__＿____＿．例3：某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人１５0人,甲、乙兩種工種的工人的月工資分別為60０元和１000元，現規定乙種工種的人數不少于甲種工種人數的2倍，問甲、乙同種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少?例4:為了幫助遭受自然災害的地區重建家園，某學校號召同學們自愿捐款。已知第一次捐款總額為4800元,第二次捐款總額為5000元,第二次捐款人數比第一次捐款人數多20人，并且兩次人均捐款額恰好相等。那么這兩次各有多少人進行捐款？例５:隨著IT技術的普及，越來越多的學校開設了微機課.某初中計劃拿出72萬元購買電腦，由于團隊購買,結果每臺電腦的價格比計劃減少了50０元，因此實際支出了64萬元.學校共買了多少臺電腦？若每臺電腦天天最多可使用4節課,這些電腦天天最多可供多少學生上微機課？(該校上微機課時規定為單人單機)例6:光明中學兩名教師帶領若干名三好學生去參與夏令營活動，聯系了甲、乙兩家旅游公司，甲公司提供的優惠條件是:１名教師收行業統一規定的全票，其余的人按折收費,乙公司則是:所有人所有按8折收費．經核算甲公司的優惠價比乙公司的優惠價便宜，那么參與活動的學生人數是多少人？例7：某商廈用8萬元購進奧運紀念運動休閑衫，面市后供不應求,商廈又用17.6萬元購進了第二批這種襯衫,所購數量是第一批購進數量的2倍,但單價貴了４元，商廈銷售這種運動休閑衫時每件定價都是58元，最后剩下的1５0件按八折銷售，不久售完,請問在這兩筆生意中,商廈共贏利多少元?順水逆水問題:例１:Ａ、Ｂ兩地相距４８千米,一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地,共用去9小時，已知水流速度為４千米/時，若設該輪船在靜水中的速度為ｘ千米/時,則可列方程(）A、B、C、Ｄ、例2：一只船順流航行90km與逆流航行６0km所用的時間相等,若水流速度是2km/h,求船在靜水中的速度，設船在靜水中速度為xkｍ/h,則可列方程（）＝Ｂ、＝Ｃ、+3＝D、+3＝例３:輪船順流航行6６千米所需時間和逆流航行４8千米所需時間相同,已知水流速度是每小時３千米,求輪船在靜水中的速度。行程問題:例1：在一段坡路,小明騎自行車上坡的速度為每小時V1千米,下坡時的速度為每小時V2千米，則他在這段路上、下坡的平均速度是每小時（)千米B、千米C、千米Ｄ、無法擬定例2:甲、乙兩人分別從兩地同時出發,若相向而行，則小時相遇;若同向而行,則小時甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的()A．倍? Ｂ．倍 Ｃ．倍? Ｄ.倍例3：八年級A、B兩班學生去距學校4.５千米的石湖公園游玩,Ａ班學生步行出發半小時后，Ｂ班學生騎自行車開始出發,結果兩班學生同時到達石湖公園,假如騎自行車的速度是步行速度的3倍，求步行和騎自行車的速度各是多少千米／小時？例4:A、B兩地的距離是80公里,一輛公共汽車從Ａ地駛出3小時后,一輛小汽車也從A地出發，它的速度是公共汽車的３倍，已知小汽車比公共汽車遲2０分鐘到達B地，求兩車的速度。例5：甲、乙兩火車站相距１28０千米，采用“和諧”號動車組提速后，列車行駛速度是本來速度的3.２倍,從甲站到乙站的時間縮短了１1小時,求列車提速后的速度。數字問題：例1:一個分數的分子比分母小6,假如分子分母都加１，則這個分數等于,求這個分數．例2:一個兩位數,個位數字是2,假如把十位數字與個位數字對調,所得到的新的