第

12

章彎曲變形

彎曲變形基本方程

計算梁位移的方法

簡單靜不定梁分析

梁的剛度條件與設計本章主要研究：單輝祖:工程力學1§1

引言

§2

梁變形基本方程

§3

計算梁位移的積分法

§4

計算梁位移的疊加法

§5

簡單靜不定梁§6

梁的剛度條件與合理設計單輝祖:工程力學2§1引言

彎曲變形及其特點

撓度與轉角單輝祖:工程力學3彎曲變形及其特點

撓曲軸是一條連續、光滑曲線對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向對稱面的平面曲線。

對于細長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計,因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交。撓曲軸

變彎后的梁軸，稱為撓曲軸。

研究彎曲變形的目的，進行梁的剛度計算，分析靜不定梁，為研究壓桿穩定問題提供有關基礎。單輝祖:工程力學4撓度與轉角轉角－撓度撓度與轉角的關系（小變形）撓度－橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移－撓曲軸方程轉角－橫截面的角位移－轉角方程（忽略剪力影響）（rad）單輝祖:工程力學5§2梁變形基本方程

撓曲軸微分方程

撓曲軸近似微分方程單輝祖:工程力學6撓曲軸微分方程（純彎）（推廣到非純彎）

w－彎矩引起的撓度smax<sp－撓曲軸微分方程單輝祖:工程力學7撓曲軸近似微分方程小變形時：－撓曲軸近似微分方程

小變形

坐標軸

w

向上應用條件：坐標軸

w

向下時：單輝祖:工程力學8§3計算梁位移的積分法撓曲軸微分方程與邊界條件積分法求梁位移

撓曲軸的繪制例題單輝祖:工程力學9撓曲軸微分方程與邊界條件約束處位移應滿足的條件梁段交接處位移應滿足的條件－位移邊界條件－位移連續條件利用位移邊界條件與連續條件確定積分常數單輝祖:工程力學10積分法求梁位移qA

=?EI=

常數建立撓曲軸近似微分方程并積分利用邊界條件確定積分常數由條件

(1),(2)

與式

(b)，得計算轉角（）單輝祖:工程力學11撓曲軸的繪制繪制依據

滿足基本方程

滿足位移邊界條件與連續條件繪制方法與步驟

畫

M圖

由位移邊界條件確定撓曲軸的空間位置

由M圖的正、負、零點或零值區，確定撓曲軸的凹、凸、拐點或直線區，即確定撓曲軸的形狀。單輝祖:工程力學12例題例12-1用積分法求梁的最大撓度，EI為常數解：1.建立撓曲軸近似微分方程并積分AC段CB段單輝祖:工程力學133.最大撓度分析（）當a>b

時位移邊界條件：位移連續條件：2.確定積分常數發生在AC段單輝祖:工程力學14§4計算梁位移的疊加法

疊加法

逐段分析求和法例題單輝祖:工程力學15疊加法方法分解載荷分別計算位移求位移之和當梁上作用幾個載荷時，任一橫截面的總位移，等于各載荷單獨作用時在該截面引起的位移的代數和或矢量和單輝祖:工程力學16逐段分析求和法分解梁分別計算各梁段的變形在需求位移處引起的位移求總位移在分析某梁段的變形在需求位移處引起的位移時，其余梁段視為剛體單輝祖:工程力學17Pwcpwcq求最大撓度f

例12-2求最大撓度f

=?單輝祖:工程力學18例12-3求最大撓度wc和C截面轉角θcwcwc單輝祖:工程力學19wcwc11wB2wc2單輝祖:工程力學20例題例12-4圖示階梯形梁，WC=?解：()()()單輝祖:工程力學21例12-5圖示組合梁，EI=常數，求

wB與qA()()解：單輝祖:工程力學22§5簡單靜不定梁

靜不定度與多余約束簡單靜不定梁分析方法例題單輝祖:工程力學23靜不定度與多余約束多余約束

凡是多于維持平衡所必須的約束多余反力

與多余約束相應的支反力或支反力偶矩靜不定度

＝未知支反力（力偶）數－有效平衡方程數靜不定度＝多余約束數4-3

=

1度靜不定5-3

=

2度靜不定靜不定梁

支反力（含力偶）數超過平衡方程數的梁單輝祖:工程力學24簡單靜不定梁分析方法選

FBy

為多余力－變形協調條件－物理方程－補充方程－平衡方程1度靜不定算例綜合考慮三方面求梁的支反力,EI=常數單輝祖:工程力學25判斷梁的靜不定度用多余力

代替多余約束的作用，得受力與原靜不定梁相同的靜定梁－相當系統計算相當系統在多余約束處的位移，并根據變形協調條件建立補充方程。由補充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力。通過相當系統計算內力、位移與應力等。依據－綜合考慮三方面關鍵－確定多余支反力分析方法與步驟相當系統相當系統注意:相當系統有多種選擇單輝祖:工程力學26例12-6圖示桿梁結構，已知A=3I/l2，試求桿

BC

的軸力。解：一度靜不定單輝祖:工程力學27例題例12-7求支反力解：1.

問題分析2.

解靜不定水平反力忽略不計,2多余未知力單輝祖:工程力學28例12-8懸臂梁

AB，用短梁

DG

加固，試分析加固效果.解：1.靜不定分析單輝祖:工程力學292.加固效果分析（剛度）減少50%減少39.9%3.加固效果分析（強度）單輝祖:工程力學30§6梁的剛度條件與合理設計

梁的剛度條件

梁的合理剛度設計

例題單輝祖:工程力學31梁的剛度條件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑動軸承處:單輝祖:工程力學32梁的合理剛度設計橫截面形狀的合理選擇材料的合理選擇使用較小的截面面積

A，獲得較大慣性矩

I

的截面形狀，例如工字形與盒形等薄壁截面影響梁剛度的力學性能是

E

，為提高剛度，宜選用E

較高的材料注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的

E

基本相同單輝祖:工程力學33

梁跨度的合理選取跨度微小改變，將導致撓度顯著改變例如

l

縮短

20％，dmax

將減少

48.8%單輝祖:工程力學34合理安排約束與加載方式q=F/l增加約束，制作成靜不定梁單輝祖:工程力學35