§3.1引言第3章二自由度系統多自由度系統指需要用兩個或兩個以上的獨立坐標才能描述其運動的振動系統。二自由度系統是最簡單的多自由度系統。矩陣知識補充§3.2運動微分方程例3.1圖為典型的二自由度彈簧、阻尼器質量系統。用牛頓第二定律建立它的運動微分方程：

1)分別在ml，m2建立坐標系Xl;X2以描述m1，m2的振動。坐標原點O1，O2分別取m1，m2的靜平衡位置。向右為坐標正向。

2)設m1，m2在F1(t),F2(t)作用下沿各自的坐標正向分別移動了x1，x2，分析此時m1，m2的受力情況。列微分方程的第一種方法：根據牛頓第二定律可以得到：

整理得：在多自由度系統振動理論中，廣泛使用矩陣記號。

記：位移向量

加速度向量

速度向量激勵向量

設

分別為系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

則

記為：

即：這種用矩陣寫出的運動微分方程與單自由度系統的運動微分方程非常相似。

質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣完全決定了系統的性質。

從上面的例子可以看出，這三個矩陣均是對稱矩陣，即系統的動能為

系統的彈性勢能為

能量耗散函數

列微分方程的第二種方法：能量法利用這三個函數可以分別求出三個矩陣的各個元素

1)求出系統的動能、勢能和能量耗散函數，2)然后利用式(3.3)求出系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。3)最終求出系統的運動微分方程。好處：由于系統的動能、勢能和能量耗散函數是標量，可以不考慮力的方向，免去了許多麻煩。因此：列微分方程有兩種方式：1)牛頓法：隔離體受力分析2)求偏導法：求系統動能\勢能和能量耗散函數，再求導（推薦方法）列微分方程的第二種方法：能量法基本步驟——彈性元件k2和阻尼元件c2使得系統的兩個質量的振動相互影響，并使剛度矩陣和阻尼矩陣不是對角矩陣.一般多自由度系統的運動微分方程中的質量、阻尼和剛度矩陣都可能不是對角矩陣，這樣微分方程存在耦合。——如果質量矩陣是非對角矩陣，稱方程存在慣性耦合；如果阻尼矩陣是非對角矩陣，稱方程存在阻尼耦合；如果剛度矩陣是非對角矩陣，稱方程存在彈性耦合。耦合問題：——如何消除方程的耦合是求解多自由度系統運動微分方程的關鍵。從數學上講，就是怎樣使系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣在某一坐標系下同時成為對角矩陣。耦合問題：§3.3不同坐標系下的運動微分方程例3.2汽車的二自由度振動模型如圖3—3所示。——汽車板簧以上部分被簡化成為一根剛性桿，具有質量m和繞質心的轉動慣量Ic。質心位于C點。

——分別在A點和B點與桿相連的彈性元件k1、k2為汽車的前、后板簧。只考慮桿的豎向運動（平動）和繞質心的轉動（轉動）。系統的動能和勢能為——這里用到了四個廣義坐標（變量）yA，yB，yC，q，我們需要取定其中兩個，而將其他兩個消去。1.取廣義坐標為yA，θ

則系統的動能為

運動微分方程為系統的勢能為2.取廣義坐標為yC和θ

系統的勢能為在yC，q下系統的動能為運動微分方程為：3.取廣義坐標為yA，yB§3.4無阻尼自由振動方程解耦:

尋找合適的描述系統振動的廣義坐標系，使得系統的質量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣在這個廣義坐標下為對角矩陣。——等價于尋找一個變換矩陣u，使得系統的質量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣按下式變為對角矩陣。運動微分方程為如果存在變換矩陣u使方程解耦。即當x=uy時，在y下的運動微分方程為上式相當于如下兩個彼此獨立的單自由度方程

如果系統初始條件為則方程的解為由此可以得到在x坐標系下方程的解也就是說，初始條件為：系統的自由振動是簡諧振動

思路：{x}坐標系下的微分方程和初始條件{x}坐標系下的微分方程解{y}坐標系下的微分方程和初始條件耦合，不能求解u坐標轉換解耦{y}坐標系下的微分方程解微分方程相互獨立，可求解u-1坐標逆轉換注：紅色路線代表走不通，綠色路線代表可走通例3.3如圖所示系統。設m1＝m2=m。這是個對稱系統，對稱點為k1的中點。取向右為x軸的正方向。

討論幾種特殊的初始條件下的振動。1．把m1，m2向右移動相同的距離x0，然后同時無初速度地放開。2．m1向左，m2向右，均移動x0，然后同時無初速度地放開。3.m1和m2的初始位移為零，而初始速度不為零，均為x’0

4.m1和m2的初始位移為零，而初始速度不為零，大小相等，均為x’0

，但方向相反。1．把m1，m2向右移動相同的距離x0，然后同時無初速度地放開。初始條件為：這是一個對稱的初始條件。在整個振動過程中：彈簧k1不變形，m1和m2受到的力大小、方向均相同，二者的質量又相同，因此它們的速度和位移也相同。這樣m1和m2之間的距離始終保持不變，二者就如同一個剛體。系統在這種情況下的等效為下圖。這是一個單自由度系統。2．m1向左，m2向右，均移動x0，然后同時無初速度地放開.初始條件為：——在振動過程中，系統的中點即k1的中點沒有運動，就像一個固定點。k1被分成相等的兩半，每一半的彈簧的剛度為2k1。在這種情況下的等效系統如下圖所示。

這是兩個彼此獨立，并且完全一樣的單自由度系統.

3.m1和m2的初始位移為零，而初始速度不為零，均為x’0.初始條件為:這也是一個對稱的初始條件.系統等效為：2m系統的響應：——系統兩個自由度以w1為頻率做簡諧振動。同時達到極值，同時為零。它們之間的相位差為零。4.m1和m2的初始位移為零，而初始速度不為零，大小相等，均為x’0

，但方向相反。又是一個反對稱的初始條件。系統等效為：系統的響應：——系統兩個自由度以w2為頻率做簡諧振動。同時達到極值，同時為零。它們之間的相位差為p。小結：對于任意的初始條件

可以分解為如下的四種初始條件之和：1)2)3)4)根據疊加原理，圖3—4(a)所示系統在任意初始條件下的自由振動響應為:由例3.3可以看到，二自由度無阻尼系統在某些特定的初始條件下的自由振動是簡諧振動。——振動的特點:系統的兩個自由度以相同的頻率振動，它們之間的相位差為零或p，它們的坐標之比是與系統的物理參數有關而與時間無關的常數。1)這種振動稱為系統的固有振動。

2)這種坐標之比稱為固有振型，簡稱振型。

3)固有振動時的頻率稱為系統的固有頻率，振型與固有頻率是一一對應的。——二自由度系統存在兩種頻率的固有振動，因此有兩個固有頻率，兩個固有振型。二自由度系統在任意初始條件下無阻尼自由振動是這兩個固有振動的線性組合。——用圖形直觀顯示固有振動時各個坐標之間的相互位置關系，稱為振型圖。

例3.3的振型圖如圖所示直接從系統的微分方程出發求出系統的固有頻率和振型。

圖示系統自由振動的運動微分方程為:設系統的固有振動時的解為代入得：關于Al，A2的線性齊次代數方程組。如果有非零解，則需滿足：二階行列式展開得解之得1)將w1代入方程式得到令{u1}就是與w1對應的第一階振型

因此得到u11，u21的比值：則即{u1}，{u2}乘上任一個非零的常數仍然滿足式。所以：可把響應{x(t)}看為向量空間中隨時間變化的向量，振型{u}給出了空間中的不隨時間改變的一個方向，振型的大小需要人為給定。固有頻率和它所對應的振型完全由質量矩陣和剛度矩陣決定，與外部激勵無關，是系統固有的性質。由知：得到了wl，{u1}和w2，{u2}后，可以解方程系統的解：設：如果初始條件為則有解出A1，A2和初始相位j1，j2

通解兩個解的線性組合A1{u1}g1(t)+A2{u2}g2(t)令即：因此用矩陣描述：將A1、A2、j1、j2和[u]代入式(3.14)，即可得到任意二自由度系統無阻尼自由振動的解。求得bij后由下式計算各個自由度的振幅A1，A2和初始相位j1，j2

歸納：二自由度無阻尼系統的求解方法1、確定坐標系，并根據振動系統的動能、勢能函數確定質量、剛度矩陣系統的運動微分方程2、獲得系統特征方程：，求得各階固有頻率；3、將固有頻率代回，確定振型；4、由振型得到變換矩陣[u];5、例3.4耦合擺兩個完全一樣的單擺以彈簧相聯。單擺長L，質量為m。解：取單擺與垂線的夾角q1，q2為描述系統運動的廣義坐標。系統的動能和勢能分別為特征方程為展開得到1)將w1代入廣義特征值問題得：得到：2)將w2代入廣義特征值問題得：u11=u21=1解得：u12=-1，u22=1并有考慮如下的初始條件即初始時只有一個桿有初始位移由式(3.17)可得到由式(3.18)得由式(3.14)得解為這時系統的動能和勢能為:其中：第一階固有振動為：它的動能和勢能為：第二階固有振動為：它的動能和勢能為：因此有系統的動能和勢能分別是各階固有振動的動能和勢能之和。振動能量可以按振型分解，在振動中系統的各階固有振動是相互獨立的，彼此沒有能量交換。令由三角和差化積公式得如果彈簧的剛度很小，則而由于k很小，這樣Dw遠小于w0，可以把cosDwt和sinDwt看成隨時間變化的振幅，它們的變化周期為：顯然這時的響應如圖：從圖中可以看出：

1)t=0時，左擺振幅為q0，右擺振幅為0(不動)