動態電路的方程及其初始條件7.1一階電路的階躍響應7.7一階電路的零輸入響應7.2一階電路的零狀態響應7.3一階電路的全響應7.4首頁本章重點第7章一階電路的時域分析一階電路的零輸入響應、零狀態響應和全響應的概念及求解；重點一階電路的階躍響應概念及求解。1.動態電路方程的建立及初始條件的確定；返回含有動態元件電容和電感的電路稱動態電路。1.動態電路

7.1動態電路的方程及其初始條件當動態電路狀態發生改變時（換路）需要經歷一個變化過程才能達到新的穩定狀態。這個變化過程稱為電路的過渡過程。下頁上頁特點返回例0ti過渡期為零電阻電路下頁上頁+-usR1R2（t=0）i返回i=0,uC=Usi=0,uC

=0

k接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達到新的穩定狀態：k未動作前，電路處于穩定狀態：電容電路下頁上頁k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→)+–uCUsRCi+-前一個穩定狀態過渡狀態新的穩定狀態t1USuct0?i有一過渡期返回uL=0,i=Us/Ri=0,uL

=0

k接通電源后很長時間，電路達到新的穩定狀態，電感視為短路：k未動作前，電路處于穩定狀態：電感電路下頁上頁k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→)+–uLUsRi+-前一個穩定狀態過渡狀態新的穩定狀態t1US/Rit0?uL有一過渡期返回下頁上頁

(t→)+–uLUsRi+-k未動作前，電路處于穩定狀態：uL=0,i=Us/Rk斷開瞬間i=0,uL

=工程實際中在切斷電容或電感電路時會出現過電壓和過電流現象。注意k

(t→)+–uLUsRi+-返回過渡過程產生的原因電路內部含有儲能元件L、C，電路在換路時能量發生變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。電路結構、狀態發生變化換路支路接入或斷開電路參數變化下頁上頁返回應用KVL和電容的VCR得：若以電流為變量：2.動態電路的方程下頁上頁

(t>0)+–uCUsRCi+-例RC電路返回應用KVL和電感的VCR得：若以電感電壓為變量：下頁上頁

(t>0)+–uLUsRi+-RL電路返回有源電阻電路一個動態元件一階電路下頁上頁結論含有一個動態元件電容或電感的線性電路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱一階電路。返回二階電路下頁上頁

(t>0)+–uLUsRi+-CuC＋－RLC電路應用KVL和元件的VCR得：含有二個動態元件的線性電路，其電路方程為二階線性常微分方程，稱二階電路。返回一階電路一階電路中只有一個動態元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。描述動態電路的電路方程為微分方程；動態電路方程的階數通常等于電路中動態元件的個數。二階電路二階電路中有二個動態元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。下頁上頁結論返回高階電路電路中有多個動態元件，描述電路的方程是高階微分方程。動態電路的分析方法根據KVL、KCL和VCR建立微分方程；下頁上頁返回復頻域分析法時域分析法求解微分方程經典法狀態變量法數值法卷積積分拉普拉斯變換法狀態變量法付氏變換本章采用

工程中高階微分方程應用計算機輔助分析求解。下頁上頁返回穩態分析和動態分析的區別穩態動態換路發生很長時間后狀態微分方程的特解恒定或周期性激勵換路發生后的整個過程微分方程的通解任意激勵下頁上頁直流時返回

t=0＋與t=0－的概念認為換路在t=0時刻進行0－

換路前一瞬間

0＋

換路后一瞬間3.電路的初始條件初始條件為t=0＋時u，i

及其各階導數的值。下頁上頁注意0f(t)0－0＋t返回圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求開關閉合后電容電壓隨時間的變化。例解特征根方程：通解：代入初始條件得：在動態電路分析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。下頁上頁明確R－+CiuC(t=0)返回t=0+

時刻iucC+-電容的初始條件0下頁上頁當i()為有限值時返回q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。q

=CuC電荷守恒下頁上頁結論返回電感的初始條件t=0+時刻0下頁上頁當u為有限值時iLuL+-返回L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁鏈守恒換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。下頁上頁結論返回L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路定律電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。換路定律反映了能量不能躍變。下頁上頁注意返回電路初始值的確定(2)由換路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－電路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效電路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求

iC(0+)電容開路下頁上頁+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效電路+-10ViiC10k電容用電壓源替代注意返回iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0時閉合開關S,求

uL(0+)先求應用換路定律:電感用電流源替代解電感短路下頁上頁iL+uL-L10VS14+-iL10V14+-由0+等效電路求

uL(0+)2A+uL-10V14+-注意返回求初始值的步驟:1.由換路前電路（穩定狀態）求uC(0－)和iL(0－)；2.由換路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.畫0+等效電路。4.由0+電路求所需各變量的0+值。b.電容（電感）用電壓源（電流源）替代。a.換路后的電路（取0+時刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。下頁上頁小結返回iL(0+)=iL(0－)=iSuC(0+)=uC(0－)=RiSuL(0+)=-

RiS求iC(0+),uL(0+)例3解由0－電路得：下頁上頁由0+電路得：S(t=0)+–uLiLC+–uCLRiSiCRiS0－電路uL+–iCRiSRiS+–返回7.2一階電路的零輸入響應換路后外加激勵為零，僅由動態元件初始儲能產生的電壓和電流。1.RC電路的零輸入響應已知

uC

(0－)=U0

uR=Ri零輸入響應下頁上頁iS(t=0)+–uRC+–uCR返回特征根特征方程RCp+1=0則下頁上頁代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR返回下頁上頁或返回tU0uC0I0ti0令

=RC,稱為一階電路的時間常數電壓、電流是隨時間按同一指數規律衰減的函數；連續函數躍變響應與初始狀態成線性關系，其衰減快慢與RC有關;下頁上頁表明返回時間常數的大小反映了電路過渡過程時間的長短

=RC

大→過渡過程時間長小→過渡過程時間短電壓初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放電電流小放電時間長U0tuc0小大C

大（R一定）

W=Cu2/2

儲能大物理含義下頁上頁返回:電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。工程上認為,經過3－5

,

過渡過程結束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

下頁上頁注意返回能量關系電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設

uC(0+)=U0電容放出能量：電阻吸收（消耗）能量：下頁上頁uCR+－C返回2.

RL電路的零輸入響應特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0下頁上頁iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR返回tI0iL0連續函數躍變電壓、電流是隨時間按同一指數規律衰減的函數；下頁上頁表明-RI0uLt0iL+–uLR返回響應與初始狀態成線性關系，其衰減快慢與L/R有關;下頁上頁令

稱為一階RL電路時間常數

=L/R時間常數

的大小反映了電路過渡過程時間的長短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放電過程消耗能量小放電慢，

大大→過渡過程時間長小→過渡過程時間短物理含義電流初值iL(0)一定：返回能量關系電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。設

iL(0+)=I0電感放出能量：電阻吸收（消耗）能量：下頁上頁iL+–uLR返回一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初值引起的響應,都是由初始值衰減為零的指數衰減函數。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路下頁上頁小結返回一階電路的零輸入響應和初始值成正比，稱為零輸入線性。衰減快慢取決于時間常數同一電路中所有響應具有相同的時間常數。下頁上頁小結

=RC

=L/RR為與動態元件相連的一端口電路的等效電阻。RC電路RL電路返回動態元件初始能量為零，由t>0電路中外加激勵作用所產生的響應。方程：7.3一階電路的零狀態響應解答形式為：1.RC電路的零狀態響應零狀態響應非齊次方程特解齊次方程通解下頁上頁iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齊次線性常微分方程返回與輸入激勵的變化規律有關，為電路的穩態解變化規律由電路參數和結構決定的通解通解（自由分量，暫態分量）特解（強制分量）的特解下頁上頁返回全解uC

(0+)=A+US=0

A=－US由初始條件uC

(0+)=0

定積分常數

A下頁上頁從以上式子可以得出：返回-USuC‘uC“USti0tuC0電壓、電流是隨時間按同一指數規律變化的函數；電容電壓由兩部分構成：連續函數躍變穩態分量（強制分量）暫態分量（自由分量）下頁上頁表明+返回響應變化的快慢，由時間常數＝RC決定；大，充電慢，小充電就快。響應與外加激勵成線性關系；能量關系電容儲存能量：電源提供能量：電阻消耗能量：電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉換成電場能量儲存在電容中。下頁上頁表明RC+-US返回2.RL電路的零狀態響應已知iL(0－)=0，電路方程為：tiL0下頁上頁iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回uLUSt0下頁上頁iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回7.4一階電路的全響應電路的初始狀態不為零，同時又有外加激勵源作用時電路中產生的響應。以RC電路為例，電路微分方程：1.全響應全響應下頁上頁iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答為：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解=RC返回uC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0A=U0

-US由初始值定A下頁上頁強制分量(穩態解)自由分量(暫態解)返回2.全響應的兩種分解方式uC"-USU0暫態解uC'US穩態解U0uc全解tuc0全響應

=

強制分量(穩態解)+自由分量(暫態解)著眼于電路的兩種工作狀態物理概念清晰下頁上頁返回全響應=

零狀態響應

+

零輸入響應著眼于因果關系便于疊加計算下頁上頁零輸入響應零狀態響應S(t=0)USC+–RuC

(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC

(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC

(0－)=0返回零狀態響應零輸入響應tuc0US零狀態響應全響應零輸入響應U0下頁上頁返回3.三要素法分析一階電路一階電路的數學模型是一階線性微分方程：令

t=0+其解答一般形式為：下頁上頁特解返回分析一階電路問題轉為求解電路的三個要素的問題。用0+等效電路求解用t→的穩態電路求解下頁上頁直流激勵時：A注意返回例1已知：t=0

時合開關，求換路后的uC(t)解tuc2(V)0.6670下頁上頁1A213F+-uC返回例2t=0時,開關閉合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素為：下頁上頁iL+–20V0.5